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(共7张PPT)
习题 1.2
湘教版·八年级数学上册
第1章 因式分解
1.在下列括号内填写适当的多项式：
（1）－2x2+10x－6xy=－2x( )
x－5+3y
【选自教材P8习题1.2 第1题】
（3）6x4y2+14x2y=2x2y( )
3x2y+7
x+y
2.把下列多项式因式分解：
（1）－4x2+10x；
（2）－5xy+3y2 －y；
（3）3x4y2－x2y3；
解：原式=－2x·2x+5·2x
=2x (5－2x)
解：原式=－5x·y+ y·3y－1·y
=y(3y－5x－1)
解：原式=x2y2·3x2－x2y2·y
=x2y2(3x2－y)
【选自教材P8习题1.2 第2题】
（5）x(x+y)(y－x)－y(x+y)(x－y)；
解：原式=x(x+y)(y－x)+y(x+y)(y－x)
=(x+y)2(y－x)
（4）15x3y－21x2y3+6x2y2；
解：原式=3x2y·5x－3x2y·7y2+3x2y·2y
=3x2y(5x－7y2+2y)
（1）(x－1)(x2+x+1)+(x+1)(x2+x+1) ；
解：原式=(x－1+x+1)(x2+x+1)
=2x(x2+x+1)
3.把下列多项式因式分解：
【选自教材P8习题1.2 第3题】
（2）x(y－3)－(2y－6)；
原式=x(y－3)－2(y－3)
=(x－2)(y－3)
（3）(y－x)2(x+y)2－ (x－y)2(x+y)；
原式=(x－y)2(x+y)2－(x－y)2(x+y)
=(x－y)2(x+y)· (x+y)－(x－y)2(x+y)
=(x－y)2(x+y)(x+y－1)
（5）2x3y2－x2y3.
原式=x2y2·x－x2y2·y
=x2y2 (x－y)
（4）x(x2－xy)－(4x2－4xy)；
原式=x2(x－y)－4x(x－y)
=(x2－4x)(x－y)
=x(x－4)(x－y)
4.已知x2+3x=－2，求5xn+2+15xn+1+10xn(n为正整数)的值.
∴原式=5xn·x2+5xn·3x+5xn·2
=5xn(x2+3x+2)
解：∵x2+3x=－2
=0
【选自教材P8习题1.2 第4题】
=5xn(－2+2)(共16张PPT)
1.2 提公因式法
提多项式公因式
湘教版·八年级数学上册
第1章 因式分解
请在下列各式等号右边的括号前填入“+” 或“－”号，使等式成立:
(1) 2－a =_____( a－2 )；
(2) y－x =_____ ( x－y )；
(3) b + a =_____( a + b )；
(4) －m－n =______( m + n )；
(5) ( a－b )3 = (－a + b )3
－
－
+
－
－
复习导入
解： x(x－2)－3(x－2)
把下列多项式因式分解：
(1) x(x－2)－3(x－2);
(2) x(x－2)－3(2－x).
=(x－2)(x－3)
x－2
x－2
x(x－2)－3(2－x)
x－2
2－x
2－x转化为－(x－2)
=x(x－2)－3[－(x－2)]
=x(x－2)+3(x－2)
=(x－2)(x+3)
探索新知
把下列多项式因式分解：
(1) 2a(b＋c)－3(b＋c)；
(2) (a＋b)(a－b)－a－b.
(2) 原式＝(a＋b)(a－b)－(a＋b)
＝(a＋b)(a－b－1).
解：(1) 原式＝(2a－3)(b＋c).
练习
公因式为单项式时：
1. 定系数：找多项式各项系数的最大公约数．
2. 定字母：找多项式各项相同的字母．
3. 定指数：相同字母的最低的次数.
变形为(x－y)2
思考：如何确定多项式各项的公因式？
6
x 、y、(x－y)
6xy (x－y)2
x、y最低次数是 1、
(x－y)最低次数是2
多
式子
式子
例5 把多项式 12xy (x－y)2－18x y(y－x) 因式分解.
变形为(x－y)2
解 12xy (x－y) －18x y(y－x)
=12xy (x－y) －18x y(x－y)
=6xy(x－y) ·2y－6xy(x－y) ·3x
=6xy(x－y) (2y－3x).
公因式为6xy(x－y)2
例5 把多项式 12xy (x－y)2－18x y(y－x) 因式分解.
把10a2(x＋y)2－5a(x＋y)3因式分解时，应提取的公因式是（ ）
练习
A. 5a B. (x+y)2
C. 5(x+y)2 D. 5a(x+y)2
D
例6 把多项式 2x3y－10xy2 因式分解.
分析 2＝2×，10＝5×2×，所以公因式的系数为 2.
解 2x3y－10xy2
＝2xy·x2－2xy·5y
＝2xy(x2－5y).
将多项式 x3y2－ x2y3 因式分解，对比其他同学的答案，你们的结果一样吗？
分析 ＝×，所以公因式的系数为 .
解 x3y2－ x2y3
＝x2y2·x－x2y2·y
＝x2y2
随堂练习
1.把下列多项式因式分解：
(1) x(x－y)+y2(x－y)；
(2) x(x－y)+y2(y－x)；
解：原式=(x+y2)(x－y)
解：原式=x(x－y)－y2(x－y)
=(x－y2)(x－y)
【选自教材P8 练习】
(3) a2(x－y)2+ab(y－x)2；
(4) 4x2y(x－y)－6xy2(x－y)；
解：原式=a2(x－y)2+ab(x－y)2
=a(a+b)(x－y)2
解：原式=2xy(x－y)·2x－2xy(x－y)·3y
=2xy(x－y)(2x－3y)
(5) 8x2－12x；
解：原式＝4x·2x－4x·3
＝4x(2x－3).
(6) 4x3y－2x2y2.
解：原式＝2x2y·2x－2x2y·y
＝2x2y(2x－y).
2.已知a－b－c=2，求a(a－b－c)+b(c－a+b)+ c(b+c－a)的值.
解： a(a－b－c)+b(c－a+b)+c(b+c－a)
=a(a－b－c)－b(a－b－c)－c(a－b－c)
=(a－b－c)2
因为a－b－c=2，所以原式=22=4.
3.观察右边因式分解的过程：
x2－xy+4x－4y
=(x2－xy)+(4x－4y)
=x(x－y)+4(x－y)
=(x－y)(x+4).
请你仿照该因式分解的方法，把ad－ac－bc+bd因式分解.
解：ad－ac－bc+bd
=(ad－ac)+(bd－bc)
=a(d－c)+b(d－c)
=(d－c)(a+b)
提多项式公因式法
注意
1. 分解因式是一种恒等变形；
2. 公因式要提尽；
3. 整项提出莫漏 1；
4. 提负号，要注意变号
课堂小结
公因式为多项式时：
1. 定系数：找多项式各项系数的最大公约数．
2. 定字母：找多项式各项相同的式子．
3. 定指数：相同式子的最低的次数.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业(共15张PPT)
1.2 提公因式法
提单项式公因式
湘教版·八年级数学上册
第1章 因式分解
新课导入
分别说出xy，3xz中次数大于0的因式，其中有相同的因式吗？
xy 3xz
x
y
x
z
由此看出，xy，3xz有相同的因式x.
几个多项式的相同因式称为它们的公因式.
如何把多项式xy+3xz因式分解？
xy+3xz
提取公因式x
乘法分配率
=x·y+x·3z
=x(y+3z)
如果一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法．
探索新知
例1 把多项式 4x2－6x3 因式分解．
分析： 1. 定系数：多项式由 4x 和 －6x3 这两项组成，它们的系数分别为 4，－6，不考虑其符号，则 4 与 6 的最大公因数是 2；
2. 定字母：这两项都含有字母 x，
3. 定指数： x 的最低次数为 2.
因此，可提出公因式 2x .
解：4x2－6x3 = 2x (2－3x).
例2 把多项式 8x y4－12xy z 因式分解．
解： 8x y4－12xy z＝ 4xy · 2xy －4xy · 3z
＝4xy (2xy －3z).
三名同学对多项式 2x ＋4x 进行因式分解，结果如下：
(1) 2x + 4x = 2(x + 2x)； (2) 2x + 4x = x(2x + 4)；
(3) 2x + 4x = 2x(x + 2).
上述结果正确吗？用提公因式法分解因式时，你认为应注意什么？
注意：公因式要提尽.
(1) 错误. 理由：公因式没有提尽，还可以提出公因式 x.
(2) 错误. 理由：公因式没有提尽，还可以提出公因式 2.
(3) 正确.
注意：提公因式后，第三项还剩下数字 1.
例3 把多项式 5x －3xy＋x 因式分解.
分析： 1. 定系数：多项式由 5x ，－3xy 和 x 这三项组成，它们的系数分别为 5，－3，1，不考虑其符号，则5，3，1的最大公因数是 1；
2. 定字母：这三项都含有字母 x，
3. 定指数： x 的最低次数为1.
因此，可提出公因式x.
解：5x －3xy＋x＝x(5x－3y＋1).
例4 把多项式 －3x ＋6xy－3xz 因式分解.
分析：多项式 －3x ＋6xy－3xz 的首项系数为负数，一般先将负号提取出来，此时括号内各项都要改变符号，然后进行因式分解.
解：－3x ＋6xy－3xz = －(3x －6xy＋3xz)
=－3x(x－2y＋z).
注意：首项有负常提负.
1. 因式分解：
(1) 3a3c2＋12ab3c； (2) 3a －9ab；
(3) －5a + 25a.
解：(1) 3a3c2＋12ab3c＝3ac(a2c＋4b3).
(2) 3a －9ab = 3a(а－3b).
(3) －5a + 25a = －5a(a－5).
针对训练
2. 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值.
所以 原式＝ab(a ＋ b)＝4×7＝28.
解：因为 a＋b＝7，ab＝4，
方法总结：含 a±b，ab 的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用 a±b 和 ab表示的式子，然后将 a±b，ab 的值整体代入即可.
1.说出下列多项式中各项的公因式：
(1) 5x＋2xy；
(2) πx3+πx2；
(3) －12x2y＋18xy－15y.
3y
πx2
巩固练习
【选自教材P6 练习第1题】
x
2.在下列括号内填写适当的多项式：
（1）3x4－2x3+x=x( );
（2）－30x3y2＋48x2yz=－6x2y( ).
3x3－2x2+1
5xy－8z
【选自教材P6 练习第2题】
3.把下列多项式因式分解：
（1）3xy－15y2＋9y；
（2）7x3y－4x2y3＋18xy2；
（3）12x4y2z3＋4x3yz2－8x2yz4；
原式=3y·x－3y·5y＋3y·3=3y(x－5y+3)
原式=xy(7x2－4xy2＋18y)
原式=4x2yz2(3x2yz＋x－2z2)
【选自教材P6 练习第3题】
（4）－6x3y2－4x2y3＋10x2y2.
原式=－2x2y2(3x+2y－5)
课堂小结
2. 确定公因式的方法：
一看系数，二看字母，三看指数.
1. 提公因式法分解因式步骤 (分两步)：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式.
3. 用提公因式法分解因式应注意的问题：
(1) 公因式要提尽；
(2) 小心漏项；
(3) 多项式的首项取正号.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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