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(共8张PPT)
习题 1.3
湘教版·八年级数学上册
第1章 因式分解
1.把下列多项式因式分解：
（1）x2－49；
（3）9(x－y)2－25；
（4）(x2－y)2－(2y－2)2 ；
解：原式=(x+7)(x－7)
原式=(x2+y－2) (x2－3y+2)
【选自教材P13 习题1.3 第1题】
（2）x2－y2 ；
原式=(x+y)(x－y)
原式=[3(x－y)+5][3(x－y)－5]
1.把下列多项式因式分解：
（5）x4－81；
原式=(x2+9)(x2－9)
【选自教材P13 习题1.3 第1题】
（6）3x6－3x2.
原式=3x2(x4－1)
=(x2+9)(x+3)(x－3)
=3x2(x2+1)(x2－1)
=3x2(x2+1)(x+1)(x－1)
2.把下列多项式因式分解：
（2）25x2+20xy+4y2；
原式=(5x)2+2·5x·2y+(2y)2
【选自教材P13 习题1.3 第2题】
（1）x2+14x+49；
解：原式=x2+2·x·7+72
=(x+7)2
=(5x+2y)2
（3）－x2+14xy－49y2 ；
（4）x4－2x3+x2；
原式=x2(x2－2x+1)
=x2(x2－2·x·1+12)
原式=－(x2－14xy+49y2)
=－[x2－2·x·7y+(7y)2]
=－(x－7y)2
=x2(x－1)2
（5）x4－8x2y2+16y4 ；
原式=(x2)2－2·x2·4y2+(4y2)2
=(x2－4y2)2
=[(x+2y)(x－2y)]2
（6）(x+y)2+12(x+y)+36.
原式=(x+y)2+2·(x+y)·6+62
=(x+2y)2(x－2y)2
=(x+y+6)2
3.把下列多项式因式分解：
（1）4x2－(y2－2y+1)；
（2）(x4+4x2+4)－4y2；
（3）(x+4)(x+1)+3x+12；
（4）(x－y)2+6(x－y)+9.
解：原式=4x2－(y－1)2
=(2x－y+1)(2x+y－1)
原式=(x2+2)2－4y2
=(x2+2+2y)(x2+2－2y)
原式=(x+4)(x+1)+3(x+4)
=(x+4)(x+4)
【选自教材P13 习题1.3 第3题】
=(x+4)2
原式=(x－y)2+2·(x－y)·3+32
=(x－y+3)2
4.两个连续奇数的平方差能被8整除吗？说明理由.
解：设这两个连续奇数为2n－1、2n+1(n为整数).
=4n·2
【选自教材P13 习题1.3 第4题】
由题意得 (2n+1)2－(2n－1)2
=8n
8n能被8整除，故两个连续奇数的平方差能被8整除.
5.当a取什么值时，多项式9x2+ax+16能利用完全平方公式进行因式分解？
解：由 9x2+ax+16应满足完全平方式的特点
得
=±24
【选自教材P13 习题1.3 第5题】
则 a=±(2×3×4)2
9x2+ax+16=(3x)2+ax+42=(3x±4)2(共18张PPT)
1.3 公式法
用完全平方公式进行因式分解
湘教版·八年级数学上册
第1章 因式分解
1. 什么叫因式分解？
把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式
2. 我们已经学过哪些因式分解的方法？
① 提公因式法
② 平方差公式
a2 － b2 = (a + b)(a － b)
复习导入
请说出完全平方公式.
完全平方公式1： ，
完全平方公式2： .
(x＋y) = x ＋2xy＋y
(x－y) = x －2xy＋y
在完全平方公式 1 中，将 y 用 2 代入得到等式
把这个等式从右到左使用，就可以把多项式
x ＋4x＋4 因式分解： x ＋4x＋4 = .
(x＋2) = .
(x＋2)
x ＋4x＋4
探索新知
例5 把多项式 9x2－6x＋1 因式分解.
分析 由于9x2 = (3x)2， 1 = 1 ，2·3x·1 = 6x，因此 9x2－6x＋1 符合完全平方式 2 右边的形式，于是从右到左使用完全平方公式 2，就可把 9x2－6x＋1 因式分解.
解： 9x2－6x＋1
= (3x－1)2.
= (3x)2－2 · 3x · 1 + 12
典例精析
与同学交流，具有什么特征的多项式可以运用完全平方公式分解因式？
2
x
y
+ y2
±
= (x ± y)
x2
首2
+ 尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方.
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
例6 把下列多项式因式分解：
(1) －4x2＋12xy－9y2；
解：(1) －4x2＋12xy－9y2
＝－(4x －12xy＋9y )
＝－[(2x) －2·2x·3y＋(3y) ]
＝－(2x－3y) .
分析 (1)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 －(4x2－12xy＋9y2)，然后再利用公式因式分解.
(2) x5＋2x3y＋xy2.
分析 (2) 中有公因式 x，应先提出公因式，再进一步因式分解；
(2) x5＋2x3y＋xy2
＝x(x4＋2x y＋y )
＝x[(x ) ＋2·x ·y＋y ]
＝x(x ＋y) .
例7 把多项式 x4－2x2＋1 因式分解.
解： x4－2x2＋1
＝(x ) －2·x ·1＋1
＝(x －1)
＝[(x＋1)(x－1)]
＝(x＋1) (x－1) .
因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止.
可以利用完全平方公式把多项式 (x＋y) －4(x＋y)＋4 因式分解吗？试一试.
分析：将 x＋y 看成一个整体，如 x＋y = m，则原式化为 m2 － 4m + 4.
解：(x＋y) －4(x＋y)＋4
＝(x＋y) －2·(x＋y)·2＋2
＝(x＋y－2) .
1.分解因式：
(1) －3a2x2 + 24a2x－48a2；
(2) ( a2 + 4 )2－16a2.
＝(a2+4+4a)(a2+4－4a)
解：(1) 原式＝－3a2(x2－8x+16)
＝－3a2(x－4)2.
(2) 原式＝(a2+4)2－(4a)2
＝(a+2)2(a－2)2.
有公因式要先提公因式
要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
练习
2.利用完全平方公式简便计算：
(1) 1002 － 2×100×99 + 99 ；
(2) 342 + 34×32 + 162.
解：(1) 原式 = (100 － 99)
(2) 原式 = (34 + 16)2
本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.
= 1.
= 2500.
随堂练习
1.下面的多项式能否用完全平方公式分解因式？说明理由.
【选自教材P13 练习 第1题】
（1）x2－12xy+36y2；
解：(1)能.可以看作x与6y的差的完全平方.
原式= x2－2 · x · 6y + (6y)2
=(x－6y)2
（2）x2－10xy－25；
(2)不能.－25无法看作是一个数的平方。
（3）9x2y2－3xy+1；
(3)不能.中间项不是3xy与1的积的2倍.
（4）－2xy－x2－y2 ；
(4)能.先提出一个负号，剩下的部分可以看成是x与y的和的完全平方的。
原式= －(x2+2xy+y2)
=－(x+y)2
2.把下列多项式因式分解：
（1）x2+2x+1；
解：原式=x2+2·x·1+12
=(x+1)2
（2）x2+8x+16；
原式=x2+2·x·4+42
=(x+4)2
（3）x2－10x+25；
原式=x2－2·x·5+52
=(x－5)2
（4）16y2－24y+9；
原式=(4y)2－2·4y·3+32
=(4y－3)2
【选自教材P13 练习 第2题】
（5）x4+2x2+1；
原式=(x2)2+2·x2·1+12
=(x2+1)2
（6）3x4+6x3y+3x2y2.
原式=3x2(x2+2·x·y+y2)
=3x2(x+y)2
(2) 原式＝20232－2×2023×2022+20222
3. 计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92；
(2)20232－2023×4044＋20222.
解：(1) 原式＝(38.9－48.9)2
＝100
＝(2023－2022)2
＝1
4. (1) 已知a－b＝3，求 a(a－2b)+b2的值；
(2) 已知ab＝2，a+b＝5，求a3b+2a2b2+ab3的值.
原式＝2×52＝50.
解：(1) 原式＝a2－2ab+b2＝(a－b)2.
当a－b＝3时，原式＝32＝9.
(2) 原式＝ab(a2+2ab+b2)＝ab(a+b)2.
当ab＝2，a+b＝5 时，
5.已知 x2－4x+y2－10y+29＝0，求 x2y2+2xy+1 的值.
＝112＝121.
解：由题可知 x2－4x+y2－10y+29
因为(x－2)2≥ 0，(y－5)2≥ 0，
所以x－2＝0，y－5＝0，
所以x＝2，y＝5.
所以 x2y2 + 2xy +1＝(xy +1)2
几个非负式的和为 0，则这几个非负式都为 0
＝x2－4x+4+y2－10y+25
＝(x－2)2+(y－5)2
＝0，
课堂小结
利用完全平方公式因式分解
公式
a2±2ab＋b2 = (a±b)2
特点
（1）要求多项式有三项；
（2）其中两项是某数或式的平方和，另一项则是这两数或式的乘积的 2 倍，符号可正可负.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业(共18张PPT)
1.3 公式法
用平方差公式进行因式分解
湘教版·八年级数学上册
第1章 因式分解
如图，在边长为 a 米的正方形上剪掉一个边长为 b 米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么等式？
a米
b米
b米
a米
(a－b)米
a2－b2=(a+b)(a－b)
复习导入
像上面那样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法.
x －25＝ ＝ .
在平方差公式中，将 y 用 5 代入得到等式：
(x＋5)(x－5)＝ ＝ .
x －5
x －25
把这个等式从右到左使用，就可以把多项式x －25因式分解：
x －5
(x＋5)(x－5)
探索新知
(5x)2 － (2y)2
例1 把多项式 25x －4y 因式分解.
= (5x+2y)(5x－2y).
x
x
y
y
+
(
)
(
－
)
x2 － y2 =
解：原式=
5x
2y
5x
5x
2y
2y
2y
分析 由 25x ＝(5x) 和 4y ＝(2y) 可知，
×
下列多项式能否用平方差公式来因式分解？为什么？
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成： ( )2 － ( )2的形式.
（1）a2 + b2
（2） － a2 － b2
－ (a2+b2)
y2－x2
（3） － x2 + y2
（4）x2 － 25y2
(x+5y)(x－5y)
（5）m2 － 1
(m+1)(m－1)
√
√
×
√
方法总结：公式中的 x、y 无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
+
(
)
(
－
)
x
x
y
y
x2 － y2 =
把多项式 (x＋y) －(x－y) 因式分解.
解：原式＝
[(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)]
＝2x·2y＝4xy.
例2 把多项式 x4－y4 因式分解.
解： x4－y4＝(x2)2－(y2)2
＝(x2＋y2)(x2－y2)
＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y).
因式分解后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.
分解因式：
(1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2.
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b).
(2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
若用平方差公式分解后的结果中还有公因式，一定要继续提公因式分解
练习
例3 把多项式 x5－x3y 因式分解.
分析 多项式 x5－x3y 的各项有公因式 x3，故应先提公因式，然后运用公式法进行因式分解.
解：x5－x3y ＝x3(x2－y )
＝x3(x＋y)(x－y).
方法总结：因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再运用公式．注意因式分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
因式分解：
(1) 5m2a4 － 5m2b4； (2) a2 － 4b2 － a － 2b.
＝ (a＋2b)(a－2b－1).
＝ 5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b).
解：(1) 原式＝ 5m2(a4－b4)
＝ 5m2(a2＋b2)(a2－b2)
(2) 原式＝ (a2－4b2)－(a＋2b)
＝ (a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
练习
例4 把多项式 x4 － 9 因式分解.
解： x4－9＝(x2)2－32
＝(x2＋3)(x2－3)
＝(x2＋3)[ x2－()2 ]
＝(x2＋3)(x＋)(x－).
方法总结：在进行因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止.
用简便方法计算：
(1) 6.12－3.92； (2) 0.122－0.882.
解：(1) 原式＝(6.1＋3.9)(6.1－3.9)
＝10×2.2＝22.
(2) 原式＝(0.12＋0.88)(0.12－0.88)
＝1×(－0.76)＝－0.76.
随堂练习
1.把下列多项式因式分解：
（2）x2－16y2；
（1）1－25y2；
=(x+4y)(x－4y)
=(1+5y)(1－5y)
【选自教材P11 练习 第1题】
（3）(x－y)2－(x+y)2；
=[(x－y)+(x+y)][(x－y)－(x+y)]
=2x·(－2y)
=－4xy
（4）x4－81y4；
=(x2+9y2)(x2－9y2)
=(x2+9y2)(x+3y)(x－3y)
（5）x3－xy2；
=x(x2－y2)
=x(x+y)(x－y)
（6）x6－3x4；
=x4(x2－3)
=x4(x+)(x－)
2.用简便方法计算：
（1）49.62－50.42；
（2）13.32－11.72.
解:原式=(49.6+50.4)(49.6－50.4)
=100×(－0.8)
=－80
原式=(13.3+11.7)(13.3－11.7)
=25×1.6
=40
（3）0.152－0.352.
原式=(0.15+0.35)(0.15－0.35)
=0.5×(－0.2)
=－0.1
【选自教材P11 练习 第2题】
3. 已知4m+n=40，2m－3n=5，求(m+2n)2 － (3m －n)2 的值．
原式=－40×5=－200.
解：原式 = (m+2n+3m－n)(m+2n－3m+n)
= (4m+n)(3n－2m)
= －(4m+n)(2m－3n).
当4m+n=40，2m－3n=5时，
平方差公式分解因式
公式
a2 － b2 = (a + b)(a － b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解
课堂小结
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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