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(共24张PPT)
1 探索勾股定理
【北师·数学八年级上册】
第2课时 勾股定理（2）
知识回顾
上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？
直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2 + b2 = c2。
A
C
B
a
b
c
你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何说明的？与同伴进行交流。
b
a
c
尝试·思考
为了计算图中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，得到图①、图②。
b
a
c
B
A
C
D
a
b
c
B
A
C
D
b
a
c
①
②
（1）将所有三角形和正方形的面积用含 a，b，c 的式子表示出来。
（2）图①、图②中正方形 ABCD 的面积分别是多少？你有哪些
表示方式？
（3）你能分别利用图①、图②验证勾股定理吗？
勾股定理在我国有着悠久的历史。汉末三国初数学家、天文学家赵爽在给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾、股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。”他利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理。后人通常把图①称为“赵爽弦图”，2002年国际数学家大会会标的主要
图案（如图②）就取材于此图。
①
②
新知探索
a
b
a
c
b
c
a
b
大正方形的面积可以表示为c2。
也可以表示为 。
4× ab+(b-a)2
因为c2=4× ab+(b-a)2
=2ab+b2-2ab+a2
=a2+b2
所以c2=a2+b2
1.赵爽弦图
朱实
黄实
2.割补法
a
b
b
b
b
c
c
c
c
a
a
a
设大正方形的面积为 S，
则 S = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab。
又因为 S = 4× ab + c2 = 2ab + c2，
1
2
所以 a2 + b2 = c2。
你能看懂下图是如何验证勾股定理吗？
中国的“青朱出入图”
以直角三角形的勾、股、弦为边，分别作出正方形
勾自乘为朱方
股自乘为青方
弦2=朱方+青方
弦2=勾2+股2
3.青朱出入图
4.拼接法
a
b
c
b
a
c
设梯形的面积为 S，
则 S = (a+b)(a+b) = (a2 +b2+2ab)，
1
2
1
2
又因为 S = ab + ab+ c2
= (2ab + c2)，
1
2
1
2
1
2
1
2
所以 a2 + b2 = c2。
有一类证明方法较为独特，单靠移动部分图形就直观地证明了勾股定理，被誉为“无字的证明”。
古印度的“无字证明”
意大利画家达·芬奇的方法
5.无字的证明
勾股定理在数学发展中起到了重大的作用，其证明方法据说有 400 多种，有兴趣的同学可以继续研究，或到网上查阅勾股定理的相关资料。
在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路 400 m 处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距 400 m；过了 10 s，测得汽车与他相距 500 m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这 10 s 的平均速度吗？
例 题
你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？
400 m
500 m
C
B
公路
A
分析：根据题意，可以画出右图，其中点 A 表示王叔叔所在位置，点 C、点 B 表示两个时刻蓝方汽车的位置。由于王叔叔距离公路 400 m，因此∠C 是直角，这样就可以由勾股定理来解决这个问题。
解：由勾股定理，可以得到
AB2 = BC2 + AC2，
也就是 5002 = BC2 + 4002，
所以 BC = 300 m。
蓝方汽车 10 s 行驶了 300 m，
那么它平均每秒行驶
300÷10 = 30 (m)，
因此，蓝方汽车这 10 s 的平均速度为 30 m/s。
400 m
500 m
C
B
公路
A
思考交流
如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗？
说说你的判断和理由，并与同伴进行交流。
b
a
c
b
a
c
①在钝角三角形中，三边长分别为a，b，c，其中 c 为最大边长，
则 a2 + b2 < c2；
b
a
c
b
a
c
②在锐角三角形中，
三边长分别为a，b，c，其中 c 为最大边长，
则 a2 + b2 > c2。
S = 9
S = 25
S = 10
S = 9
S = 10
S = 13
随堂练习
如图是某沿江地区交通平面图的一部分（单位：km），为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接 M，O，Q 三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是 5000 万元/km，该沿江高速公路的建设成本预计是多少？
解：可以计算出 MO、OQ
长度分别为 50 km，130 km，
合计长度为 180 km，建设成本预计为 90 亿元。
【课本P6 随堂练习】
30
40
50
120
题型 勾股定理在实际生活中的运用
某条例规定小汽车在城街路上行驶速度不得超过 70 km/h。
如图，一辆小汽车在一条城街路上沿直线由东向西匀速行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪 A 处的正前方 30 m 的 C 处，过了 2 s 后，测得小汽车在 B 处与车速检测仪 A 间距离为 50 m，这辆小汽车超速了吗？请通过计算进行说明。
解：在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝30 m，AB ＝ 50 m。
根据勾股定理，得 BC2 ＝ AB2 －AC2 ＝502－302 ＝1600，
所以 BC ＝ 40 m。
因为小汽车 2 s 行驶了40 m，
所以它的速度为 ＝ 20 m/s。
因为 20 m/s ＝ 72 km/h，且 72 >70，
所以这辆小汽车超速了。
40
2
如图，笔直的公路上 A，B 两点相距 25 km，C，D 为两村庄，
DA ⊥ AB 于点 A，CB⊥ AB 于点 B，已知 DA ＝ 15 km，
CB ＝ 10 km，现在要在公路的 AB 段上建一个土特产品收购
站 E，使得 C，D 两村到收购站 E 的距离相等，则收购站 E 应建在离 A 点多远处？
练 习
解：因为DA⊥AB 于点 A，CB⊥AB 于点 B，所以∠A=∠B=90°，所以 AE2+AD2=DE2 ，BE2+BC2=EC2 。
由题意可知 DE=EC，所以 AE2 +AD2=BE2+BC2 。
设 AE=x km，则 BE=AB－AE=(25－x) km。
因为 DA=15 km，CB=10 km，
所以 x2 +152=(25－x)2+102 ，
解得 x=10，所以 AE=10 km。
所以收购站 E 应建在离 A 点 10 km 处。
课堂小结
验证勾股定理及应用
拼图验证
应用
1.拼出图形
2.写出图形面积的表达式
3.找出相等关系
4.导出勾股定理
课后作业
从课后习题中选取
完成练习册本课时的习题

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