资源简介

(共26张PPT)
第一章　勾股定理
　勾股定理的应用
如图，一个长为2.5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙角的距离为
1.5 m，则梯子顶端与地面的距离h为 m.
2　
知识点1　勾股定理的应用(方程思想)
【例1】(北师教材P13例改编)如图，有一个池塘，其底边长为10尺，一
根芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺.如果把该芦苇沿与
水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的点B'.这
个池塘水的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解：设池塘水的深度是x尺，则这根芦苇的长度是(x＋1)尺.
根据题意，得∠ACB'＝90°，B'C＝ ＝5(尺).
∴AC2＋B'C2＝AB'2，即x2＋52＝(x＋1)2，
解得x＝12.
∴x＋1＝12＋1＝13.
答：这个池塘水的深度是12尺，这根芦苇的长度是13尺.
【变式1】(北师教材P13尝试·思考改编)如图，正方形纸片的边长为4
cm，点M是边CD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点A落在点M
处，折痕EF分别交AD，BC于点E，F，求DE的长.
解：∵正方形ABCD的边长为4，点M为边CD的中点，
∴DM＝CM＝2.
设AE＝x，则EM＝x，DE＝4－x.
由勾股定理，得DM2＋DE2＝EM2，
即22＋(4－x)2＝x2，解得x＝ .
∴DE＝4－ ＝ (cm).
知识点2　利用勾股定理求最短路径长
【例2】(北师教材P16)如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面
上圆的周长等于18 cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到
上底面上与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短
路程是多少？
解：根据题意，得蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是圆柱展开后线段AB
的长，如图所示.
解：根据题意，得蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是圆柱展开后线段AB
的长，如图所示.
根据题意，得AC＝12 cm，BC＝9 cm，∠C＝90°.
∴AB2＝AC2＋BC2＝122＋92＝225，
即AB＝15 cm.
答：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm.
【变式2】(北师教材P18T1(2))如图，一个无盖的长方体形盒子的长、
宽、高分别为8 cm，8 cm，12 cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面
爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最
短路程是多少？
解：将长方体按如图1所示的方式展开后，AB2＝122＋162＝400，即AB
＝20 cm.
解：将长方体按如图1所示的方式展开后，
AB2＝122＋162＝400，即AB＝20 cm.
将长方体按如图2所示的方式展开后，
AB2＝82＋202＝464＞400.
∴蚂蚁按如图1所示的方式爬行时路程最短，最短路程是20 cm.
1. 如图，长方体的长、宽、高分别为4 cm，3 cm，12 cm，则BD'
＝ .
第1题图
13 cm　
2. 如图，一轮船以20 n mile/h的速度从港口A出发向东北方向航行，另
一轮船以15 n mile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行，则2 h
后，两船相距(　D　)
A. 35 n mile B. 40 n mile
C. 45 n mile D. 50 n mile
第2题图
D
3. 市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要露
出杯子3 cm以上.如图是某款自带勺子的杯子的简化图，杯身是圆柱形，
杯子的内径是9 cm，杯子内侧高度为12 cm，则勺子的长度至少为
(　D　)
A. 15 cm B. 5 cm C. 12 cm D. 18 cm
第3题图
D
4. (北师教材P22T11改编)如图是一个边长为3的正方体木箱，点P在一条
棱上，且AP＝2，一只蚂蚁从点P出发沿木箱表面爬行到点B，则蚂蚁
爬行的最短路程为 .
第4题图
5　
5. 如图，三级台阶每一级的长宽高分别是5 cm，3 cm和1 cm，A和B是
这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的
食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为 cm.
第5题图
13　
6. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF. 若
AB＝4，BC＝8，则BE的长为(　C　)
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
第6题图
C
7. (北师教材P22T10)一架云梯长25 m，如图那样斜靠在一面墙上.当这
架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙7 m.
(1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？
解：(1)如图，在Rt△ABO中，由勾股定理，得AO2＋BO2＝AB2，
解：(1)如图，在Rt△ABO中，由勾股定理，得AO2＋BO2＝AB2，
即AO2＋72＝252，解得OA＝24.
答：这架云梯的顶端到地面的距离是24 m.
7. (北师教材P22T10)一架云梯长25 m，如图那样斜靠在一面墙上.当这
架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙7 m.
得AO2＋BO2＝AB2，
(2)如果云梯的顶端从A处下滑4 m到达A'处时，它的底端从B处滑动到
B'处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是4 m吗？
解：(2)由(1)可知，OA＝24 m，
∴A'O＝AO－AA'＝24－4＝20(m).
在Rt△A'OB'中，由勾股定理，得A'O2＋B'O2＝A'B'2，
即202＋B'O2＝252，解得B'O＝15.
∴BB'＝OB'－OB＝15－7＝8(m).
∴云梯底端在水平方向滑动的距离不是4 m，而是8 m.
　勾股定理的应用
1. 如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵树高4 m，两树相距8 m.一只
鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行(　B　)
A. 8 m
B. 10 m
C. 12 m
D. 14 m
B
2. 如图，正方体的棱长为1，一只蚂蚁从顶点A沿正方体表面爬行到顶
点B，则蚂蚁爬行的最短距离的平方是(　D　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第2题图
D
3. 如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长5 m、高3 m的台阶上
铺设红地毯，已知台阶的宽为3 m，则共需购买红地毯(　A　)
A. 21 m2 B. 45 m2 C. 24 m2 D. 12 m2
第3题图
A
4. 求各图中阴影部分的面积(阴影部分分别是正方形、长方形、半圆)：
cm2 cm2 cm2
25　
51　
8π　
5. 如图，一张直角三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将该纸片折叠，使折叠后点A与点B重合，折痕DE与边AC交于点D，与边AB交于点E，则折痕DE的长为 .
第5题图
　
6. 2024年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一
个底面周长为12 cm、高为9 cm的圆柱状粮仓模型如图所示，现要在此模
型的侧面从点A出发到点B处贴一条彩色装饰带，则装饰带的长度最短
为 cm.
第6题图
15　
7. 小明从家出发向正北方向走了150 m，接着向正东方向走到离家直线
距离为250 m的地方，则小明向正东方向走的距离为 m.
200　
8. 如图，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A＝53°，∠B＝37°，AB
＝5 km，BC＝4 km.若每天凿0.3 km，需要几天才能把隧道AC凿通？
解：∵∠A＝53°，∠B＝37°，
∴∠C＝90°.
∴AC2＝AB2－BC2＝52－42＝9，即AC＝3 km.
∴3÷0.3＝10(天).
答：需要10天才能把隧道AC凿通.
解：∵∠A＝53°，∠B＝37°，
∴∠C＝90°.
∴AC2＝AB2－BC2＝52－42＝9，即AC＝3 km.
∴3÷0.3＝10(天).
答：需要10天才能把隧道AC凿通.
9. 如图，一个长5 m的梯子AB，斜靠在一竖直的墙上，这时 AO的距离
为4 m，如果梯子的顶端A沿墙下滑1 m，那么梯子底端B外移多少米？
解：在Rt△ABO中，BO2＝AB2－AO2＝52－42＝9，
即BO＝3 m.
在Rt△COD中，DO2＝CD2－CO2＝52－32＝16，
即DO＝4 m.
∴BD＝DO－BO＝1(m).
答：梯子底端B外移1 m.
解：在Rt△ABO中，BO2＝AB2－AO2＝52－42＝9，
即BO＝3 m.
在Rt△COD中，DO2＝CD2－CO2＝52－32＝16，
即DO＝4 m.
∴BD＝DO－BO＝1(m).
答：梯子底端B外移1 m.
10. 学校运动场上垂直竖立的旗杆的顶端A系有一根升旗用的绳子，绳子
垂直到地面时还剩1 m长在地面(如图1)，小芳为了测量旗杆AB的高度，
将绳子拉直，使绳子的另一端C刚好着地(如图2)，量得BC＝5 m，求旗
杆AB的高度.
解：设AB＝x m，则AC＝(x＋1)m.
在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，
∴x2＋52＝(x＋1)2，
解得x＝12.
答：旗杆AB的高度为12 m.
解：设AB＝x m，则AC＝(x＋1)m.
在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，
∴x2＋52＝(x＋1)2，
解得x＝12.
答：旗杆AB的高度为12 m.
11. 如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2 km，BB1＝4 km，A1B1＝8 km，现要在高速公路上 ， B1之间设一个出口P， 使A，B两个村庄到出口P的距离之和最短，求这个最短距离和.
解：如图 ，延长AA1，在AA1的延长线上截取A1A2＝AA1.
过点A2作A2B2⊥BB1，交BB1的延长线于点B2.连接A2B1，
连接A2B交MN于点P，连接PA. 则点P即为使A，B两个村庄到P的距离之和
最短的点P.
∵AA1⊥MN，BB1⊥MN，A2B2⊥BB1，
∴AA1∥BB1，∠A2A1B1＝∠B1B2A2＝90°.
∴∠A1A2B1＝∠B2B1A2.
在△A1A2B1和△B2B1A2中，
∴△A1A2B1≌△B2B1A2(AAS).
∴A1A2＝B2B1＝AA1＝2 km，A1B1＝B2A2＝8 km.
∴BB2＝BB1＋B2B1＝6 km.
在Rt△A2BB2中，∠B1B2A2＝90°，
∴A2B2＝ ＋ ＝82＋62＝100.
∴A2B＝10 km.
∵A1A2＝AA1，AA1⊥MN，
∴MN垂直平分AA2.∴PA2＝PA.
∴最短距离和为PA＋PB＝PA2＋PB＝A2B＝10 km.
11. 如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2 km，BB1＝4 km，A1B1＝8 km，现要在高速公路上 ， B1之间设一个出口P， 使A，B两个村庄到出口P的距离之和最短，求这个最短距离和.(共26张PPT)
第一章　勾股定理
探索勾股定理 第1课时
1. 探究：如图，每个小方格边长为1，三个正方形A，B，C的边长分别
为a，b，c，完成下表.(提示：用割补法求SC)
SA SB SC
左图
右图
∴SA＋SB SC，即a2＋b2 c2.(填“＞”“＜”或“＝”)
9
9
18
4
4
8
＝　
＝　
2. 勾股定理：直角三角形两直角边的 等于 的平方.
如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么
＋ ＝ .
几何语言：
∵ ，∴ .
平方和　
斜边　
a2　
b2　
c2　
∠C＝90°　
a2＋b2＝c2　
知识点1　探索勾股定理
【例1】图中字母A所代表的正方形的面积为 ，B为 .
625　
144　
【变式1】(北师教材P8T4改编)毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达
哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所
有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.如图，若正方形
A，B，C，D的边长分别是2，3，1，2，则正方形G的面积是 .
8　
知识点2　利用勾股定理求边长
【例2】(北师教材P8T2改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝
3，AB＝5，求AC的长和△ABC的面积.
解：∵∠C＝90°，
∴AC2＝AB2－BC2＝16，即AC＝4.
∴S△ABC＝ AC·BC＝6.
【变式2】(北师教材P8T2改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC
＝5 cm，AC＝12 cm，求AB的长和△ABC的周长.
解：∵∠C＝90°，
∴AB2＝AC2＋BC2＝169，即AB＝13 cm.
∴C△ABC＝AC＋BC＋AB＝30(cm).
知识点3　勾股定理的简单应用
【例3】(北师教材P2引入)如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢
索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的
钢索？
解：如图，依题意，AC⊥CB.
根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝82＋62＝100.
∴AB＝10 m.
∴需要10 m长的钢索.
解：如图，依题意，AC⊥CB.
根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝82＋62＝100.
∴AB＝10 m.
∴需要10 m长的钢索.
【变式3】(北师教材P8T3)如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面3 m
处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4 m处.旗杆折断之前有多高？
解：如图，依题意，AC⊥CB. 根据勾股定理，得
AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝25.
∴AB＝5 m.
∴旗杆折断之前的高度为3＋5＝8(m).
解：如图，依题意，AC⊥CB. 根据勾股定理，得
AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝25.
∴AB＝5 m.
∴旗杆折断之前的高度为3＋5＝8(m).
1. (构造直角三角形)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格
中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为 .
第1题图
2. (整体思想)在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则AB2＋AC2＝(　D　)
A. 10 B. 20 C. 50 D. 100
5　
D
3. (分类讨论)已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长的平
方为 .
4. (方程思想)若一个直角三角形两直角边长之比为3∶4，斜边长为20
cm，则此三角形的面积为 .
5. (北师教材P20T3改编)如图，在△ABC中，∠A＝90°，则三个半圆面
积S1，S2，S3的关系为 .
第5题图
25或7　
96 cm2　
S1＝S2＋S3　
6. (作高构造直角三角形)(北师教材P9T6)如图，求等腰三角形ABC
的面积.
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵AC＝BC＝5 cm，AB＝6 cm，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝ AB＝3(cm).
∴CD2＝AC2－AD2＝16，得CD＝4 cm.
∴S△ABC＝ AB·CD＝12 (cm2).
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵AC＝BC＝5 cm，AB＝6 cm，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝ AB＝3(cm).
∴CD2＝AC2－AD2＝16，得CD＝4 cm.
∴S△ABC＝ AB·CD＝12 (cm2).
7. (数学活动探究)有一道题：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝
13，求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思
路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.
解：根据题意，得CD＝14－x.
∵AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，
∴152－x2＝132－(14－x)2，
解：根据题意，得CD＝14－x.
∵AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，
∴152－x2＝132－(14－x)2，
解得x＝9.
∴AD＝12.
∴S△ABC＝ BC·AD＝84.
如图，过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x，用含x的代数式表示
CD；

根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型，求AD的长，再计算三角形的面积.
第一章　勾股定理
探索勾股定理 第2课时　
1. 复习勾股定理：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则
.
2. 一个直角三角形ABC的斜边长为1，则AB2＋BC2＋AC2＝ .
a2＋b2＝
c2　
2　
知识点1　勾股定理的验证
【例1】(北师教材P8T5改编)利用下图可验证勾股定理.请把下面的验证
过程补充完整.
验证：梯形的面积可表示为 ，
此外，梯形的面积还可表示为 　 ab　＋ 　 ab　＋ 　 c2　，
∴ 　 (a＋b)2　＝ 　 ab＋ ab＋ c2　.
(a＋b)2　
ab　
ab　
c2　
(a＋b)2　
ab＋ ab＋ c2　
整理，得 .
∴ .
a2＋ b2＋ab＝ab＋ c2　
a2＋b2＝c2　
【变式1】(北师教材P20T4改编)如图，用4个全等的直角三角形拼成一个
大正方形.
(1)大正方形的面积为 ；
(2)大正方形的面积还可以表示为 ；
(3)于是得到等式 ，化简为 .
(a＋b)2　
4· ab＋c2　
(a＋b)2＝4· ab＋c2　
a2＋b2＝c2　
知识点2　勾股定理的实际应用
【例2】(北师教材P5例)在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一
条东西向公路400 m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶.他用
红外测距仪测得汽车与他相距400 m；过了10 s，测得汽车与他相距500
m.你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10 s的平均速度吗？
解：∵∠C＝90°，
由勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝5002－4002＝90 000，
即BC＝300 m.
∴300÷10＝30(m/s).
答：蓝方汽车的速度为30 m/s.
解：∵∠C＝90°，
由勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝5002－4002＝90 000，
即BC＝300 m.
∴300÷10＝30(m/s).
答：蓝方汽车的速度为30 m/s.
【变式2】(北师教材P6T1)如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济
发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三个城市的沿江高速公路，已
知该沿江高速公路的建设成本是5 000万元/km，该沿江高速公路的造价
预计是多少？
解：∵∠MNO＝90°，∠OPQ＝90°，
由勾股定理，得MO2＝NM2＋NO2＝302＋402＝2 500，
OQ2＝PO2＋PQ2＝502＋1202＝16 900.
∴MO＝50 km，OQ＝130 km.
∴5 000×(50＋130)＝900 000(万元).
答：该沿江高速公路的造价预计是900 000万元.
解：∵∠MNO＝90°，∠OPQ＝90°，
由勾股定理，得MO2＝NM2＋NO2＝302＋402＝2 500，
OQ2＝PO2＋PQ2＝502＋1202＝16 900.
∴MO＝50 km，OQ＝130 km.
∴5 000×(50＋130)＝900 000(万元).
答：该沿江高速公路的造价预计是900 000万元.
1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股
定理的是(　D　)
A B C D
D
2. 一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图如图所示，根据图中标出
的尺寸(单位：mm)，可得出两圆孔中心A，B之间的距离为 mm.
第2题图
100　
3. 如图，在高为3 m，斜坡长为5 m的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度
至少要(　C　)
A. 5 m B. 6 m C. 7 m D. 8 m
第3题图
C
4. 如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西25°的方向航行8 n mile到达A
处，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西65°的方向航行15 n mile到达B
处，这时两轮船相距 n mile.
第4题图
17　
5. (北师教材P23T13改编)小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，
如图，已知电梯的长、宽、高分别是4 m，3 m，12 m，那么电梯内能放
入这些木条的最大长度是 m.
第5题图
13　
6. (北师教材P9T7)如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2 m的半
圆形，一个长、宽、高分别是1.2 m，1 m，0.8 m的箱子能放进储藏室
吗？请说明理由.
解：能放进储藏室.理由如下：
解：能放进储藏室.理由如下：
如图，四边形ABDC是长方形，AB∥CD，AB＝CD＝1 m，OA＝OB＝
1.2 m.
过点O作OE⊥AB交AB于点E，连接OA，OB.
∵OE⊥AB，OA＝OB，∴AE＝BE＝ AB＝0.5 m.
∴OE2＝OA2－AE2＝1.22－0.52＝1.19.
∵1.19＞0.82＝0.64，
∴长、宽、高分别是1.2 m，1 m，0.8 m的箱子能放进储藏室.(共14张PPT)
第一章　勾股定理
章末复习
知识点1　勾股定理
1. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b和c分别
表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.
2. 在直角三角形中，已知任意两边长，可求第三边的长度.
知识点2　勾股定理的逆定理
1. 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直
角三角形.
2. 利用三边的边长关系判断三角形是否为直角三角形.
知识点3　勾股数
满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数.
知识点4　勾股定理的应用
1. 常需构造直角三角形求边长.
2. 在直角三角形中：
①已知两边可直接求第三边；
②已知一边及另两边的关系，可设x列方程求解.
1. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝4，则正方形
ABDE的面积为(　B　)
A. 18 B. 48
C. 65 D. 72
B
2. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，图中阴影部分的
面积为 .
50　
3. △ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三
角形的是(　C　)
A. b2＝(a＋c)(a－c)
B. ∠A＝∠B＋∠C
C. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
D. a＝6， b＝8，c＝10
C
4. 三边长为3，4，5的三角形的面积为 .
5. 下列各组数为勾股数的是(　D　)
A. ， ， B. 52，122，132
C. 5，15，20 D. 9，40，41
6　
D
6. 一棵高12 m的大树被折断，折断处A距地面的距离AC＝4.5 m(点B为
大树顶端着地处).在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底
部C的距离CD＝6.5 m，点D在CB的延长线上，求大树顶端着地处B到
小轿车的距离BD.
解：由题意，得AB＝12－4.5＝7.5(m).
在Rt△ABC中，
BC2＝AB2－AC2＝7.52－4.52，即BC＝6 m.
∴BD＝CD－BC＝6.5－6＝0.5(m).
答：大树顶端着地处B到小轿车的距离BD为0.5 m.
解：由题意，得AB＝12－4.5＝7.5(m).
在Rt△ABC中，
BC2＝AB2－AC2＝7.52－4.52，即BC＝6 m.
∴BD＝CD－BC＝6.5－6＝0.5(m).
答：大树顶端着地处B到小轿车的距离BD为0.5 m.
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是 AC 上的一点，CE＝50 m，
BC＝130 m，BE＝120 m.
(1)判断△ABE的形状，并说明理由；
解：(1)△ABE是直角三角形.理由如下：
∵BE2＋CE2＝1202＋502＝16 900＝1302＝BC2，
∴△BEC是直角三角形，且∠BEC＝90°.
∴∠AEB＝90°.
∴△ABE是直角三角形.
解：(1)△ABE是直角三角形.理由如下：
∵BE2＋CE2＝1202＋502＝16 900＝1302＝BC2，
∴△BEC是直角三角形，且∠BEC＝90°.
∴∠AEB＝90°.
∴△ABE是直角三角形.
(2)求△ABC的周长.
解：(2)设AB＝AC＝x m，则AE＝(x－50)m.
在Rt△ABE中，BE2＋AE2＝AB2，即1202＋(x－50)2＝x2，
解得x＝169.
∴AB＝AC＝169 m.
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝468(m).
解：(2)设AB＝AC＝x m，则AE＝(x－50)m.
在Rt△ABE中，BE2＋AE2＝AB2，即1202＋(x－50)2＝x2，
解得x＝169.
∴AB＝AC＝169 m.
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝468(m).
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是 AC 上的一点，CE＝50 m，
BC＝130 m，BE＝120 m.
8. 如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时
消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24
m.(云梯最多能伸长到30 m，消防车高3 m)
(1)B处与地面的距离为 ；
21 m　
(2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6 m的D处有一小孩没有
及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的
距离AC应为多少米？
解：(2)由题意，得BD＝6 m.
∵CD＝30 m，OD＝OB＋BD＝18＋6＝24(m)，
∴OC2＝CD2－OD2＝302－242＝324.
∴OC＝18 m.
∴AC＝OA－OC＝24－18＝6(m).
答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为应6 m.
8. 如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时
消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24
m.(云梯最多能伸长到30 m，消防车高3 m)
9. 有一辆装满货物的小车，高2.5 m，宽1.6 m，要开进如图所示的上边
是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2 m，长方形的长是
2.3 m.
(1)这辆小车能否通过此桥洞？说明理由；
解：(1)能.理由如下：
如图1，M，N为卡车的宽度，过点M，N分别作AB的垂线
交半圆于点C，D，过点O作OE⊥CD，垂足为E，连接OC.
则CD＝MN＝1.6 m，AB＝2 m.
由图，得CE＝DE＝0.8 m.
在Rt△OCE中，OE2＝OC2－CE2＝12－0.82＝0.36，
∴OE＝0.6 m.
∴CM＝2.3＋0.6＝2.9 m＞2.5 m.
∴这辆小车能通过此桥洞.
(2)为了适应需求，想把桥洞改为双行道，并且要使宽为1.2 m，高为2.8
m的小车能安全通过，那么桥洞的宽至少应增加到多少米？
解：(2)如图2，根据题意，得CG＝BE＝2.8 m，
BG＝OF＝1.2 m，EF＝AD＝2.3 m.
∴BF＝0.5 m.
在Rt△OBF中，OB2＝OF2＋BF2＝1.22＋0.52＝1.69，
∴OA＝OB＝1.3 m.
∴桥洞的宽至少增加到1.3×2＝2.6(m).
解：(2)如图2，根据题意，得CG＝BE＝2.8 m，
BG＝OF＝1.2 m，EF＝AD＝2.3 m.
∴BF＝0.5 m.
在Rt△OBF中，OB2＝OF2＋BF2＝1.22＋0.52＝1.69，
∴OA＝OB＝1.3 m.
∴桥洞的宽至少增加到1.3×2＝2.6(m).
9. 有一辆装满货物的小车，高2.5 m，宽1.6 m，要开进如图所示的上边
是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2 m，长方形的长是
2.3 m.
10. 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以
证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，
另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ab×4＋
(b－a)2，从而得到等式c2＝ ab×4＋(b－a)2，化简便得结论a2＋b2＝
c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称
之为“双求法”.现在，请你用“双求法”解决下面两个问题：
(1)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝
3，BC＝4，求CD的长；
解：(1)在Rt△ABC中，AB2＝32＋42＝25.
∴AB＝5，
由面积的两种算法，得 ×3×4＝ ×5×CD，解得CD＝ .
10. 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以
证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，
另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ab×4＋
(b－a)2，从而得到等式c2＝ ab×4＋(b－a)2，化简便得结论a2＋b2＝
c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称
之为“双求法”.现在，请你用“双求法”解决下面两个问题：
(2)如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝
6，设BD＝x，求x的值.
解：(2)在Rt△ABD中，AD2＝42－x2＝16－x2，
在Rt△ADC中，AD2＝52－(6－x)2＝－x2＋12x－11，
∴16－x2＝－x2＋12x－11，解得x＝ .
解：(2)在Rt△ABD中，AD2＝42－x2＝16－x2，
在Rt△ADC中，AD2＝52－(6－x)2＝－x2＋12x－11，
∴16－x2＝－x2＋12x－11，解得x＝ .(共23张PPT)
第一章　勾股定理
　一定是直角三角形吗
1. 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足
，那么这个三角形是直角三角形.
几何语言：∵ ，∴
.
a2＋b2＝
c2　
a2＋b2＝c2　
△ABC是直角三角形，且∠C
90°　
2. 满足 的三个 数，称为勾股数.
常见的一些勾股数：3，4，5；6，8，10；5，12，13；8，15，17.
a2＋b2＝c2　
正整　
知识点1　利用勾股定理的逆定理证明直角三角形
【例1】在△ABC中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，求证：△ABC是直
角三角形.
证明：∵AC2＋BC2＝25＋144＝169＝AB2，
∴△ABC是直角三角形.
证明：∵AC2＋BC2＝25＋144＝169＝AB2，
∴△ABC是直角三角形.
【变式1】(北师教材P11T1改编)判断由线段a，b，c组成的三角形是不
是直角三角形？如果是直角三角形，请指出哪一个角是直角.
(1)a＝9，b＝12，c＝15；
解：(1)∵a2＋b2＝81＋144＝225＝c2，
∴该三角形是直角三角形，其中边c所对的角是直角.
(2)a＝4，b＝5，c＝6.
解：(2)∵a2＋b2＝16＋25＝41≠c2，
∴该三角形不是直角三角形.
解：(1)∵a2＋b2＝81＋144＝225＝c2，
∴该三角形是直角三角形，其中边c所对的角是直角.
解：(2)∵a2＋b2＝16＋25＝41≠c2，
∴该三角形不是直角三角形.
知识点2　勾股定理及其逆定理综合
【例2】如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8 m，BC＝6
m，AD＝24 m，CD＝26 m，求四边形ABCD的面积.
解：如图，连接AC.
∵∠B＝90°，AB＝8 m，BC＝6 m，
∴AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝100，即AC＝10 m.
∵AD＝24 m，CD＝26 m，
∴AC2＋AD2＝102＋242＝676＝CD2.
∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°.
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ AB·BC＋ AC·AD＝ ×8×6＋
×10×24＝144(m2).
【变式2】如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝3 cm，AB＝4
cm，CD＝12 cm，BC＝13 cm，求四边形ABCD的面积.
解：如图，连接BD.
∵AB⊥AD，AD＝3 cm，AB＝4 cm，
∴BD2＝AD2＋AB2＝32＋42＝25，即BD＝5cm.
在△BDC中，BD2＝25，CD2＝122＝144，CB2＝132＝169，即BD2＋
DC2＝CB2，
∴△BDC为直角三角形，且∠BDC＝90°.
∴ ＝ － ＝ BD·DC－ AB·AD＝ ×5×12－
×4×3＝24(cm2).
知识点3　勾股数问题
【例3】下列各组数中，是勾股数的为(　C　)
A. 1，2，3 B. 4，5，6
C. 3，4，5 D. 0.3，0.4，0.5
【变式3】能与8，15组成一组勾股数的是(　C　)
A. 6 B. 8 C. 17 D. 20
C
C
1. (北师教材P11习题T1改编)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别
为a，b，c，且a2－b2＝c2，则下列说法正确的是(　C　)
A. ∠C是直角 B. ∠B是直角
C. ∠A是直角 D. ∠A是锐角
2. 若△ABC 的三边长a，b，c满足｜a－5｜＋｜12－b｜＋(c－13)2＝
0，则△ABC是(　A　)
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
C
A
3. 已知一个三角形的三边长分别是9 cm，15 cm，12 cm，则这个三角形
的面积为 cm2.
4. 如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上.
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)S△ABC＝ ；
54　
5　
(3)边AC上的高为 .
2　
解：(1)△ABC是直角三角形.理由如下：
由图，得AB2＝22＋42＝20，BC2＝22＋12＝5，AC2＝32＋42＝25.
∴AB2＋BC2＝AC2.
∴△ABC是直角三角形.
5. (北师教材P11随堂练习T2改编)如图，在正方形ABCD中，AE＝
AD，DF＝ CD，判断△BEF是不是直角三角形，并说明理由.
解：△BEF是直角三角形.理由如下：
在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C＝∠D＝90°.
∵AE＝ AD，DF＝ CD，
∴DE＝ AD，CF＝ AD.
∴BE2＝AB2＋AE2＝ AD2，EF2＝DE2＋DF2＝ AD2，
BF2＝CB2＋CF2＝ AD2.
∴BF2＝BE2＋EF2.
∴△BEF是直角三角形.
6. (中考新考法·阅读探究)阅读以下解题过程：
已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，判断
△ABC的形状.
解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，①
∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2).②
∴c2＝a2＋b2.③
∴△ABC为直角三角形.④
(1)上述解题过程从哪一步开始出现错误？写出错误的步骤序
号： ；
(2)错误的原因是 ；
(3)本题正确的结论是 .
③　
忽略了a2－b2＝0的情况　
△ABC是等腰三角形或直角三角形　
1. 下列各组数分别为三条线段长，其中能作为直角三角形三边长的是
(　A　)
A. 9，12，15 B. 2，3，5
C. 8，12，15 D. 6，12，14
2. 下列各组数中，是勾股数的为(　D　)
A. 3，4，7 B. 32，42，52
C. 1.5，1.2，1.3 D. 7，24，25
A
D
3. 在△ABC 中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且(b＋
c)(b－c)＝a2，则下列说法正确的是(　B　)
A. ∠A＝90° B. ∠B＝90°
C. ∠C＝90° D. ∠A＞90°
4. 在下列正方形网格中，各有一个三角形，其中不是直角三角形的是
(　C　)
A B C D
B
C
5. 在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝
1∶2∶3；③AB∶BC∶AC＝3∶4∶5；④∠A＝∠B＝∠C. 能确定
△ABC是直角三角形的条件有(　C　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 个
6. (易错题)已知两线段的长分别是4，3，则第三条线段长度的平方
是 时，这三条线段构成直角三角形.
C
25或7　
7. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，求证：∠A＝90°.
证明：∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AC2＋AB2＝82＋62＝102＝BC2.
∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°.
证明：∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AC2＋AB2＝82＋62＝102＝BC2.
∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°.
8. 如图，在△ABC中，E为边AB上的一点，连接CE并延长，过点A作
AD⊥CE，垂足为D. 若AD＝7，CD＝24，AB＝20，BC＝15，求
证：AB⊥BC.
证明：∵AD⊥CE，
∴∠D＝90°.
∵AD＝7，DC＝24，
∴AC2＝AD2＋CD2＝72＋242＝625.
∵AB＝20，BC＝15，
∴AB2＋BC2＝202＋152＝625.
∴AB2＋BC2＝AC2.
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°.
∴AB⊥BC.
9. 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直
角三角形，如图所示的三个图中，正确的是 .(填序号)
②　
10. 如图，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD 的顶点都在小正方
形的顶点上.
(1)求四边形ABCD的面积；
解：(1)四边形ABCD的面积为5×5－ ×1×5－ ×2×4－ ×1×2－
×1×4－1×1＝ .
(2)连接BD，则∠BCD是直角吗？说明理由.
解：(2)是.理由如下：
由勾股定理，得BC2＝22＋42＝20，CD2＝12＋22＝5，
BD2＝32＋42＝25，
∴BC2＋CD2＝BD2.
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD是直角.
11. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D. 如果AD＝6，BD＝9，
CD＝4，那么∠BAC是直角吗？为什么？
解：∠BAC是直角.
理由如下：
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∴AD2＋BD2＝AB2，AD2＋CD2＝AC2.
∵AD＝6，BD＝9，CD＝4，∴AB2＝117，AC2＝52.
∵BC＝BD＋CD＝13，∴BC2＝169.
∴AB2＋AC2＝BC2.
∴△BAC是直角三角形，且∠BAC是直角.
解：∠BAC是直角.
理由如下：
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∴AD2＋BD2＝AB2，AD2＋CD2＝AC2.
∵AD＝6，BD＝9，CD＝4，∴AB2＝117，AC2＝52.
∵BC＝BD＋CD＝13，∴BC2＝169.
∴AB2＋AC2＝BC2.
∴△BAC是直角三角形，且∠BAC是直角.
12. 满足a2＋b2＝c2的三个正整数称为一组勾股数，观察下列表格：
a b c a，b，c之间的关系
3 4 5 32＋42＝52
5 12 13 52＋122＝132
7 24 25 72＋242＝252
9 40 41 92＋402＝412
11 60 61 112＋602＝612
… … … …
(1)找出表中各组勾股数的两个共同点:
解：(1)①各组勾股数均满足a2＋b2＝c2；
②各组勾股数中最小的数为奇数，另外两个数是两个连续正整数.
(2)猜想各组勾股数反映出来的规律，并说明你的猜想是正确的；
解：(2)设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续正整数n，n＋1的
和，则m，n，n＋1构成一组勾股数.理由如下：
∵m2＝n＋(n＋1)，
∴m2＋n2＝n＋(n＋1)＋n2＝n2＋2n＋1＝(n＋1)2.
∴m，n，n＋1是一组勾股数.
解：(2)设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续正整数n，n＋1的和，则m ，n，
n＋1构成一组勾股数.理由如下：
∵m2＝n＋(n＋1)，
∴m2＋n2＝n＋(n＋1)＋n2＝n2＋2n＋1＝(n＋1)2.
∴m，n，n＋1是一组勾股数.
a b c a，b，c之间的关系
3 4 5 32＋42＝52
5 12 13 52＋122＝132
7 24 25 72＋242＝252
9 40 41 92＋402＝412
11 60 61 112＋602＝612
… … … …
(3)写出当a＝17时的一组勾股数.
解：(3)17，144，145.
解：(3)17，144，145.
a b c a，b，c之间的关系
3 4 5 32＋42＝52
5 12 13 52＋122＝132
7 24 25 72＋242＝252
9 40 41 92＋402＝412
11 60 61 112＋602＝612
… … … …

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