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2025年河南省驻马店市确山县部分私立初中联考三模数学试题
一、单选题
1．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．2
2．是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然自然语言处理工具，其技术底座有着多达亿个模型参数，数据“亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示的几何体是由一个球体和一个正方体组成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．下列不等式组中，无解的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
7．若a是大于1的正整数，且满足，则n的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．现有4张卡片，正面上分别标有汉字我、爱、中、华，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面汉字恰好是“中”和“华”的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，是直径，点是圆上一点，在的延长线上取一点，是的切线，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量，叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知硝酸钾和氯化钾在水中的溶解度与温度的关系如图①所示，溶液浓度的计算方法如图②，下列说法错误的是（　　）
信息窗 1.溶液百分比浓度 =×100% ； 2.溶质质量＋溶剂质量＝溶液质量； 3.在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液．
图① 图②
A．硝酸钾的溶解度随温度变化的情况比氯化钾明显
B．当时，硝酸钾的溶解度等于氯化钾的溶解度
C．当时，硝酸钾加入水中得到的溶液浓度为
D．当时，氯化钾加入水中得到的是饱和氯化钾溶液
二、填空题
11．某种书定价是8元，购买本这种书需要 元，
12．某校在“科学教育月”期间开展了科普知识竞赛，25名参赛同学的得分情况如图所示．这些同学成绩的众数是 分．
13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的点A的坐标为，E是线段上一点，且，沿折叠后B点落在点F处，那么点F的坐标为 ．
15．如图，线段为平面内一个动点，且，连接，以为斜边在上方作直角，使得．，连接，则的最大值为 ，最小值为 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．为宣传家乡旅游文化，信阳市第九中学九年级举行了主题为“浉河远方”的演讲比赛活动．满分为分，得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或分为优秀．下面是八年级一班、二班学生成绩分布折线统计图和成绩统计分析表：
学生成绩统计表
班级 平均数（分） 中位数（分） 合格率 优秀率
一班
二班
(1)学生成绩统计表中_____，_____；
(2)小丽同学说：“这次比赛我得了7分，在我们班里排名属于中游略上！”请你判断小丽是哪个班级的同学，并说明理由；
(3)上面两个班级，你认为哪个班级的成绩好一些？并说明你的依据．
18．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像和矩形都在第一象限，平行于轴，且，，点A的坐标为．
(1)直接写出，，三点的坐标；
(2)若将矩形向下平移，矩形的两个顶点A、恰好同时落在反比例函数的图像上，请求出矩形的平移距离和的值．
19．如图，是一张锐角三角形纸片．
(1)按下面的步骤完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）
①作的平分线，交于点；
②作的垂直平分线，分别交、于点和．
(2)连接、，证明得到的四边形为菱形．
20．如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，处为一辆行驶中的小汽车，为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到处时，测得处、处的俯角分别为和，此时，小明在桥梁的入口处测得无人机的仰角为.已知桥梁的总长度为，求此时小汽车距桥梁入口的距离的长.（结果精确到，参考数据：，，，，，，）
21．某市为弘扬中华优秀传统文化，提升知名度，准备举办大型灯笼会．某超市看准商机，分别花费320元购进了A，B两种类型的灯笼，购进A种类型灯笼的数量比B种类型灯笼多4个，且每个A种类型灯笼的成本比每个B种类型灯笼的成本少20%．
(1)求A，B种类型的灯笼成本各多少元；
(2)该超市计划购进两种灯笼共100个，且每个B种类型灯笼的售价为元，A种类型灯笼的售价为元．设购进B种类型灯笼a个，售卖这两种灯笼可获得的利润为w元．
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进B种类型灯笼的数量不超过A种类型灯笼的数量的，则购进B种类型灯笼多少个时，销售这批灯笼可以获得最大利润？最大利润是多少？
22．在郑州北四环外的惠济桥村，藏着一座郑州最古老的石拱桥，据史书记载和考古证实，惠济桥已有1000多年的历史，始建于隋唐，延续至宋元，历代多次重修，现存石桥为明代建筑，作为南唐大运河上的一座著名石桥，惠济桥既是隋唐大运河通济渠上的珍贵遗存，也是古城郑州千年变迁的重要见证．如图，惠济桥的中间桥拱截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，最高点E到水面的距离为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)为方便通行船只，在距离水面高处的抛物线桥拱处设置一台照明灯，求这台照明灯距离桥拱的中轴线（y轴）的距离．
(3)现有一艘小船高，宽，这艘小船能否通过该拱桥？通过计算说明你的结论．
23．（1）阅读思考：
问题：如图1，点是等边边上一点，过点作于点，点关于的对称点为，连接，，延长交于点，探究线段与的数量关系．
小明的思路如下：由对称性可得，．由等边三角形性质知，，则，所以和的位置关系为_____①_____，有．在中有，在中有，所以和的数量关系为_____②_____．
填空：请在①和②两处填上正确的结论分别为__________、__________．
（2）探究证明：
如图2，小华同学将（1）的等边改为一般的等腰，已知，．交射线于点，其它条件不变，请你猜想与的数量关系，并就图2说明理由．（结果包含）
（3）解决问题：
如图3，在四边形中中，对角线平分，，，，，点是射线上一点，过点作，分别交射线，于点，，连接．若时，直接写出的长．

参考答案
1．A
解：∵，
∴的绝对值是，
故选：A．
2．D
解：亿=，
故选：D．
3．C
解：如图，∵，，
∴，
∴，
故选：C．
4．A
解：球的左视图一个大圆，正方体的左视图是一个正方形，
该几何体的左视图是一个大圆与一个正方形，
故选：A．
5．D
解：A. 的解集为x＜﹣3，故本选项不合题意；
B. 的解集为﹣3＜x＜2，故本选项不合题意；
C. 的解集为x＞2，故本选项不合题意；
D. 无解，
故选：D．
6．A
解：∵E、F分别是的中点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的周长，
故选：A．
7．C
解：由已知得：，
即，
，
故选：
8．B
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的这两张卡片正面汉字恰好是“中”和“华”的结果有2种，
∴抽取的这两张卡片正面汉字恰好是“中”和“华”的概率为．
故选：B．
9．D
解：连接，如下图
∵是的切线，
∴，即，
∴，
，
．
，
，
．
∴，，
是等边三角形，
．
在中，是直径，
，
，
即，
，
，
∴阴影部分的面积
．
故选：D．
10．C
解：由图象可知：
A．硝酸钾的溶解度随温度变化的情况比氯化钾明显，故选项A说法正确，不符合题意；
B．当时，硝酸钾的溶解度等于氯化钾的溶解度，故选项B说法正确，不符合题意；
C．当时，硝酸钾加入水中得到的溶液浓度为，故选项C说法错，符合题意；
D．当时，氯化钾加入水中得到的是饱和氯化钾溶液，故选项D说法正确，不符合题意．
故选：C．
11．
解：某种书定价是8元，购买本
则总价元，
故答案为．
12．98
解：∵得分为98分的人数有9人，人数最多，
∴这些同学成绩的众数为98分，
故答案为：98．
13．．
∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴△==4+12k=0，
解得k=．
故答案为：．
14．（，2）
解：作于点D，于点G，
∵，沿折叠后B点落在点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F的坐标为．
答案为：．
15．
解：如图，以为斜边，在上方作等腰直角，连接，
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即点C在以点D为圆心，为半径的圆上，
∴当B、C、D三点共线且点C在的延长线上时，最大，最大值为；
当B、C、D三点共线且点C在线段上时，最小，最小值为，
故答案为：；．
16．（1）；（2）
（1）原式
（2）原式
17．(1)，
(2)小丽是八年一班的学生，理由见解析
(3)二班的成绩好一些，理由见解析
（1）解：将一班学生成绩从小到大排列如下：3，6，6，6，6，6，7，9，，．
排在第5位和第6位的数字都是6，
所以（分）；
（分）；
（2）小丽得7分，高于一班成绩的中位数6分，低于二班成绩的中位数分，又因为小丽的成绩在班里排名属于中游略上，所以可以判断小丽是八年一班的学生；
（3）二班的平均分和中位数高于一班，即二班的成绩好一些．
18．(1)B（1，3），C（3，3），D（3，4）
(2)平移的距离为，
（1）解：∵四边形ABCD是矩形，x轴，且AB＝1，AD＝2，点A的坐标为（1，4），
∴AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，
∴B（1，3），C（3，3），D（3，4）；
（2）解：设矩形平移后A的坐标是（1，4 x），C的坐标是（3，3 x），
∵A、C落在反比例函数的图像上，
∴k＝1（4 x）＝3（3 x），解得x＝，
即矩形平移后A（1，），C（3，），
∴平移的距离＝，．
19．(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
（1）如图，①即为所求；②即为所求；
（2）连接和，如图，
∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理可证：，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
20．米
解：过点D作于点E，
根据题意可得，，，
设米，则米，米，
∴，
解得，
∴米，
在中，
米，
∴米，
答：小汽车距桥梁入口的距离的长为米．
21．(1)A灯笼成本为每个元，B灯笼成本为每个元
(2)①w与a的函数关系式为；②购进A灯笼25个时，销售这批灯笼可以获得最大利润，最大利润为元
（1）解：设B灯笼成本为每个x元，则A灯笼成本为每个(元)，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
(元)，
答：A种类型灯笼成本为每个16元，B种类型灯笼成本为每个20元；
（2）解：①设购进B种类型灯笼a个，则购买A种类型灯笼个，
则
，
与a的函数关系式为；
②∵购进B种类型灯笼的数量不超过A种类型灯笼的数量的，
，
解得，
，，
当时，
（元）；
答：购进B种类型灯笼25个时，销售这批灯笼可以获得最大利润，得最大利润为元．
22．(1)
(2)距离水面高处照明灯距离桥拱的中轴线（y轴）的距离是
(3)这艘小船能通过该拱桥
（1）解：由题意可得：，，
设抛物线的解析式为，
把代入得：，
解得，
抛物线的解析式为
（2）在中，
令，
得，
解得，
距离水面高处照明灯距离桥拱的中轴线（y轴）的距离是
（3）这艘小船能通过该拱桥．理由如下：
在中，
令，
得，
解得，
，
，
这艘小船能通过该拱桥．
23．（1），（2），理由见解析（3）或
解：（1）∵点关于的对称点为，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，则，
∴（内错角相等，两直线平行），
∴，
在中，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2），理由如下，
∵，点关于的对称点为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴；
（3），对角线平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵过点作，
∴，即，
∵，，，
∴，，
∵，
∴分两种情况讨论：
第一种情况，点在线段上，

根据（2）中的结论可得，，
∵，
∴在中，，
∴，
在中，，
∴；
第二种情况，如图所示，点在线段外，，过点作于点，

由上述证明可得，，
∴，，
∴四边形是矩形，即，
已知，，，，
在中，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．

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