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浙江省温州市十校联合体2024-2025学年高二下学期6月期末联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．展开式中的系数是（ ）
A．1 B． C． D．3
3．已知圆锥高为2，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，那么向量在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
5．设a，b，c，d是非零实数，，则“a，b，c，d成等比数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知的外接圆的半径为5，a是角A的对边，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的值域是，则m的值为（ ）
A．2 B． C． D．
8．已知函数的定义域为，且对任意实数x，y都有，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的周期是4 C．是偶函数 D．
二、多选题
9．已知为复数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．如果，那么
B．
C．方程表示在复平面内对应的点的轨迹是圆
D．
10．已知函数在处的切线斜率为2，则下列命题正确的是（ ）
A． B．有且只有一个极小值，且极小值等于
C．的值域是 D．若，则恒成立
11．用平面截如图放置的正四面体ABCD，下列说法正确的是（ ）
A．当截面为平行四边形时，正四面体有两条棱所在的直线平行平面
B．截面可能是直角梯形
C．若平面分别与棱AB，AC，AD交于点E，F，G，，，，则平面与平面BCD夹角的余弦值为
D．设点F在棱AC上，点G在棱AD上（均包含端点），且，，其中．如果平面经过B，F，G三点，那么平面与平面BCD夹角的余弦值的取值范围为
三、填空题
12．已知、为一次试验中的两个事件，，，则 ．
13．在中，，边和上的两条中线和相交于点，那么的值为 ．
14．如图所示，已知双曲线的左右焦点分别为和，过和分别作两条互相平行的直线和，与双曲线的左支交于A、B两点（A在x轴上方），与双曲线的右支交于C、D两点（C在x轴上方），若，，则（e是双曲线的离心率）等于 ．
四、解答题
15．鱼饼是温州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，而且深受外来游客的赞赏小张从事鱼饼生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户，小张把一年采购鱼饼的数量x（单位：箱）在的客户采购的数量制成下图及下表：
采购数x
客户数 10 10 5 20 5
(1)根据表格中的数据求出频率分布直方图中的数据a，b，c，并估计客户采购数的第25百分位数；
(2)为感谢新老客户的大力支持，小张要在国庆节开展促销活动．促销活动可以在门店内举行，也可以在门店外举行．已知在门店内的促销活动可以获得利润2千元；门店外的促销活动，如果不遇有雨天气可以获得利润8千元，如果遇到有雨天气则会带来经济损失3千元．9月30日气象台预报国庆节当地的降水概率是P．从利润期望的角度考虑，小张最终选择了在门店外进行促销活动，求降水概率P的取值范围．
16．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求A；
(2)如果且的面积为，求角B的大小．
17．已知正方体棱长为1，点E为正方形内（含边界）一动点．

(1)若，证明：面面；
(2)若面面，求直线EB与平面ABCD所成角的正弦值的最大值．
18．已知椭圆．
(1)若M是椭圆C的焦点，求b的值；
(2)若P为椭圆在第一象限上的点，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，直线PA，PB分别与x轴和y轴交于点S和T．记，面积分别为，若为定值，求椭圆C的标准方程．
19．已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)对任意，不等式恒成立，求a的取值范围；
(3)对任意，不等式恒成立，求a的取值范围．
浙江省温州市十校联合体2024-2025学年高二下学期6月期末联考数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C A A B B D BCD ABD
题号 11
答案 AD
1．C
【详解】因为集合，集合，
所以.
故选：C
2．D
【详解】由通项公式，，
令，得，
可得项的系数为.
故选：D.
3．C
【详解】因为圆锥的高为2，母线与底面成角为45°，
所以母线长为.圆锥底面半径为2.
所以圆锥的表面积为.
故选：C.
4．A
【详解】中，∵，∴，
所以在方向上的投影向量为：
.
故选：A.
5．A
【详解】由题意知，为非零向量，
充分性：当a，b，c，d成等比数列时，则，所以，则，故充分性满足；
必要性：当时，则，取，显然，但a，b，c，d不成等比，故必要性不满足，
所以“a，b，c，d成等比数列”是“”的充分不必要条件，故A正确.
故选：A.
6．B
【详解】，，，
，
，，
又的外接圆的半径为5，，
.
故选：B.
7．B
【详解】，在单调递减，则值域为，
当时，，则函数的值域为，
又函数的值域是，所以，
当时代入上面值域，，不符合题意；
当时代入上面值域，，符合题意；
综上，.
故选：B.
8．D
【详解】对于A，当时，
，
对任意实数x恒成立，所以，解得，故A错误；
对于B，时，，
，
，即的周期不可能为4，故B错误；
对于C，时，，
即，，故C错误；
对于D，由，
得，
令，则，又，
所以数列是首项为，公比为3的等比数列，
，
，故D正确；
故选：D.
9．BCD
【详解】对于A，复数不能比较大小，故A错误；
对于B，设，
则，，
所以成立，故B正确；
对于C，方程表示在复平面内对应的点的轨迹是圆，故C正确；
对于D，设，
则，，
，，，
所以成立，故D正确.
故选：BCD
10．ABD
【详解】由，则，
则，即，故A正确；
此时，，
令，得或；令，得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
则时，取得极小值，故B正确；
又，，
所以的值域不是，故C错误；
因为，
则时，，
而，则恒成立，故D正确.
故选：ABD.
11．AD
【详解】A.当截面为四边形，说明平面截正四面体的四个面，如图，平面为平面
因为，平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，所以，平面，平面，所以，
同理，其他棱所在直线都与平面相交，故A正确；
B.若，且，由A可知，，因为是正四面体，则，所以，则梯形为等腰梯形，不可能是直角梯形，故B错误；
C. 如图，建立空间直角坐标系，设棱长为12，则，，，，则，，，，
设平面的一个法向量，
，令，则，
则，
平面的法向量为，所以，
所以平面与平面BCD夹角的余弦值为，故C错误；
D.由，则平面与平面的夹角的取值范围，只需考虑两个临界值，一个是点分别是的中点时，另一个是点在处，点在处（或点在处，点在处，这两种情况两个平面的夹角一样）
设棱长为2，则
第一个临界情况，当点分别是的中点时，，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
所以平面的一个法向量为，
平面的一个法向量，
，
第二个临界情况不妨设点在处，点在处，这时平面与平面的夹角为平面和平面的夹角，如图，取的中点，连结，
则，，所以为平面与平面的夹角，
，，，
所以平面与平面BCD夹角的余弦值的取值范围为，故D正确.
故选：AD
12．
【详解】由题意可得
.
故答案为：.
13．10
【详解】因为边和上的两条中线和相交于点，
所以点为的重心，
则，
因为是边的中点，
所以，即，
所以.
故答案为：10
14．
【详解】设的角平分线交与，
，，设，
则，
又，，
所以，，
又为的角平分线，所以，
，，
在中，，
在中，，
所以，
整理得，，解得（舍去），
所以，
在中，，
又，
所以，
所以.
故答案为：.
15．(1)，125
(2)
【详解】（1）
第25百分位数落在区间内，
设第25百分位数为x，
由
得到．
（2）设在门店内促销的利润为X千元，
设在门店内促销的利润为Y千元, Y的分布列为
Y 8
P p

由题意得，即.
16．(1)
(2)或．
【详解】（1）由两角和差公式，
由正弦定理
又在中，，
则
进而
因为，
所以，即．
因为，所以，即．
（2）方法一：根据正弦定理，,
所以的面积为
．
由,
可得,，
因为，
所以或，所以或．
方法二：根据三角形面积公式，，
可得,
结合,
可得或者．
当时，，所以；
当时，，所以；
因此或．
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，所以三点共线，
所以，又因为，所以．
因为面ABCD，面ABCD，所以．
因为面面，所以面．
又因为面，所以面面．
（2）方法一：
由
可知．
从而．
又因为，
所以E在线段上．
过E做平面ABCD的垂线且交于F，则F在直线AC上，连BF，BE
则即为直线EB与平面ABCD所成角
．
取最短时，取最大，
在中，，
为中点时，，此时最短，
．

方法二：
以D为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
那么，设．
由，
可得面的一个法向量为，
由，
可得面的一个法向量为．
于是由可得．
所以．面ABCD的一个法向量为．
设直线EB与平面ABCD所成角为，那么
．
因此当时取到最大值．

18．(1)
(2)
【详解】（1）由M是椭圆C的焦点，得半焦距，所以.
（2）设点，由为椭圆在第一象限上的点，得，
依题意，，直线，直线 ，
于是，
，解得，
所以椭圆C的标准方程为.
19．(1)增区间是，减区间是
(2)
(3)
【详解】（1）此时，从而
所以当时，当时
因此的增区间是，的减区间是
（2）得
则在上单增
唯一，得
当时，单减,
当时，单增，
又
得
因为关于递减，而且当时
所以，进而
（3）得
在上单增，则得恒成立
得
当时，单增
当时，单减

因为，则

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