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上大附中高一下学期期中考试数学试卷
试卷满分 150 分, 答题时间: 120 分钟 2025.4.9
一. 填空题(本大题满分 38 分,第 1-10 题每题 3 分,第 11-12 题每题 4 分)只要求直接 填写结果, 每个空格填对得满分, 否则一律得零分.
1. 不等式 的解集为_____
2. 函数 的最小正周期为_____
3. 在锐角 中,若 ,则 等于_____.
4. 已知复数 是纯虚数,则复数 的虚部为_____
5. 已知复数 满足 ,则 _____.
6. 已知 ,若 与 夹角为锐角,则 的取值范围为_____.
7. 设 是平面上两个不共线的向量, ; 若 三点共线,则 的值为_____
8. 已知 中,三边分别为 ,所对角为 、 、 ,若 , 则 _____
9. 在 中, 为 中点, , ,则 _____._____
10. 已知如果 是方程 的两根,则 _____.
11. “向量” 一词来自力学、解析几何中的有向线段. 最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿. 已知平面向量 为单位向量, . 若平面向量 满足 ,则 的最大值是_____.
12. 对任意闭区间 ,用 表示函数 在 上的最小值. 若正数 满足 ,则 的取值集合为_____.
二. 选择题(本大题满分 12 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结 论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号用 铅笔写在答题卷上,选 对得 3 分, 不选、选错或者选出的代号超过一个, 一律得零分.
13. 以下命题:① 与 是否相等与 的方向无关；②两个具有公共终点的向量,一定是共线向量；③两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量. 其中, 正确命题的个数是 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
14. 要得到函数 的图象,只需将函数 的图象上所有的点的 ( )
A. 横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平行移动 个单位长度
B. 横坐标伸长到原来的 2 倍；再向右平行移动 个单位长度
C. 横坐标缩短到原来的 ,再向右平行移动 个单位长度
L 横坐标缩短到原来的 ,再向左平行移动 个单位长度
15. 若集合 , 且 ,则 、 之间的关系是( )
16. 设函数 。若实数 使得 对任意的实数 恒成立,则 的值等于 ( )
A. -2 B. 2 C. D.
三. 解答题(本大题满分 50 分 8+8+10+12+12)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要步骤.
17. (4+4) 已知函数
(1)无论常数 为何值, 均过一定点,写出此定点坐标
(2)关于 的不等式 的解集为 ,且 ,求实数 的取值范围
18. 平面内给定三个向量 ,
(1)求向量 在 上的投影的坐标
(2)若 ,求实数 ；
19. (4+6)已知关于 的方程
(1)若上述方程有虚数根,求实数 的取值范围
(2)若上述方程的两根为 ,且 ,求实数 的值
20. 已知函数 ,
(1)求出函数 的单调增区间
(2)当 时,求函数 的最大值
(3)若当 时, 恒成立,求实数 的取值范围
21. 给定函数
(1)直接写出 的值
( 2 )若 ,求 的值域
(3)设 ,证明:对任意 ,都存在实数 以及无穷多对正整数对 ,使得 成立上大附中高一下学期期中考试数学试卷
试卷满分 150 分, 答题时间: 120 分钟 2025.4.9
一. 填空题(本大题满分 38 分,第 1-10 题每题 3 分,第 11-12 题每题 4 分)只要求直接 填写结果, 每个空格填对得满分, 否则一律得零分.
1. 不等式 的解集为_____
【解析】
函数 的最小正周期为_____
【解析】
在锐角 中,若 ,则 等于_____.
【解析】
已知复数 是纯虚数,则复数 的虚部为_____
【解析】10
已知复数 满足 ,则 _____.
【解析】
已知 ,若 与 夹角为锐角,则 的取值范围为_____.
【解析】
设 是平面上两个不共线的向量, ; 若 三点共线,则 的值为_____
【解析】
已知 中,三边分别为 ,所对角为 、 、 ,若 , 则 _____
【解析】
9. 在 中, 为 中点, , ,则 _____.
【解析】
10. 已知如果 是方程 的两根,则 _____.
【解析】
“向量” 一词来自力学、解析几何中的有向线段. 最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿. 已知平面向量 为单位向量, . 若平面向量 满足 ,则 的最大值是_____.
【解析】
对任意闭区间 ,用 表示函数 在 上的最小值. 若正数 满足 ,则 的取值集合为_____.
【解析】
二. 选择题(本大题满分 12 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结 论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号用 铅笔写在答题卷上,选 对得 3 分, 不选、选错或者选出的代号超过一个, 一律得零分.
13. 以下命题:① 与 是否相等与 的方向无关；②两个具有公共终点的向量,一定是共线向量；③两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量. 其中, 正确命题的个数是 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】C
14. 要得到函数 的图象,只需将函数 的图象上所有的点的 ( )
A. 横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平行移动 个单位长度
B. 横坐标伸长到原来的 2 倍；再向右平行移动 个单位长度
C. 横坐标缩短到原来的 ,再向右平行移动 个单位长度
D. 横坐标缩短到原来的 ,再向左平行移动 个单位长度
【解析】
15. 若集合 , 且 ,则 、 之间的关系是( )
【解析】
16. 设函数 。若实数 使得 对任意的实数 恒成立,则 的值等于 ( )
A. -2 B. 2 C. D.
【解析】
三. 解答题(本大题满分 50 分 8+8+10+12+12)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要步骤.
17. (4+4) 已知函数
(1)无论常数 为何值, 均过一定点,写出此定点坐标
(2)关于 的不等式 的解集为 ,且 ,求实数 的取值范围
【解析】
（1）对数函数的定点
令 ,解得 ,对应函数值
,因此定点坐标为(2,0)
（2）解不等式
原不等式为 ，由于 ,
对数函数单调递增,不等式等价于：
.
因此解集 。
,即
。
,解得：
.
18. 平面内给定三个向量 ,
(1)求向量 在 上的投影的坐标
(2)若 ,求实数 ；
【解析】
19. (4+6)已知关于 的方程
(1)若上述方程有虚数根,求实数 的取值范围
(2)若上述方程的两根为 ,且 ,求实数 的值
【解析】
(1) 有虚数根,
；
(2)① 时,
;
② 时,
8
;
综上, 的值为
20. 已知函数 ,
(1)求出函数 的单调增区间
(2)当 时,求函数 的最大值
(3)若当 时, 恒成立,求实数 的取值范围
【解析】
（1）
令 ,
解得 - ,
所以，函数 的单调增区间为 ,
，，当时，
由（2）知，，采用主元法来做，关于的函数
① 当时，
② 当时，关于关于的一次函数，则需满足
综上所述，的范围为
21. 给定函数
(1)直接写出 的值
( 2 )若 ,求 的值域
设 ,证明:对任意 ,都存在实数 以及无穷多对正整数对 ,使得 成立
【解析】
若
原式等价于，对称轴为
当，函数取最大值
当，函数取最小值
的值域为
（3）略

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