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上大附中高二下学期期中考试数学试卷
试卷满分 150 分, 答题时间: 120 分钟 2025.4.9
一、填空题(本大题共 12 题,满分 54 分,1~6 题每题 4 分,7~12 题每题 5 分)
1. 已知直线 的方程为 ,则直线 的倾斜角为_____.
2. 若正数数列 是等比数列,则正数 _____.
3. 已知 为正整数. 若 ,则 _____.
4. 计算 _____.
5. 若二项式 的展开式共有 6 项,则此展开式中含 的项的系数是_____.
6. 已知函数 ,其导函数 的图象如图所示,则下列命题中正确的有_____.
① 有 2 个驻点
② 在 处取得极小值
③ 有极大值,没有极小值
④ 在 上严格增
7. 是等差数列 的前 项和,若 且 ,则当 取得最大值时的 _____.
8. 已知数列 为严格增数列,则实数 的取值范围为_____
9. 已知数列 的前 项和为 ,且 ,则 _____.
10. 有 5 名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动,共服务两天,每天需要两人参加活
动,则恰有1人连续参加两天志愿者活动的概率为_____.
11. 已知数列 的前 项和 ,设 为数列 的前 项和,若对任意的 ,不等式 恒成立,则实数 的取值范围为_____.
12. 已知空间向量 两两之间的夹角均为 ,且 ,若向量
分别满足 与 ,则 的最小值为_____.
二、单选题(本大题共 4 题,第 13、14 题每题 4 分,第 15、16 题每题 5 分,共 18 分)
13. 如果函数 在 处的导数为 1,那么 ( )
A. 1 B. 2 C. D.
14. 已知等比数列 的前 项和为 ,若 ,且 与 的等差中项为 ,则 ( )
A. 31 B. 33 C. 17 D. 15
15. 直线 ( 不全为 0 ) 与圆 有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线有( )
A. 60 条 B. 66 条 C. 72 条 D. 78 条
16. 在数列 中, . 对于命题:
①存在 ,对于任意的正整数 ,都有 .
②对于任意 和任意的正整数 ,都有 .
下列判断正确的是( )
A. ①是真命题,②也是真命题 B. ①是真命题,②是假命题
C. ①是假命题,②是真命题 D. ①是假命题,②也是假命题
三、解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+18+18=78 分)
17. 已知函数 ,曲线 在点 处的切线与 平行.
(1)求 的值；
(2) 求 的单调增区间.
18. 已知抛物线 经过点 .
( 1 )求 的值和抛物线 的准线方程；
(2)已知直线 与抛物线 交于 两点,求 .
19. (7+7) 在数列 中, .
(1)证明: 数列 是等差数列,并求出 的通项公式;
(2)若 ,记数列 的前 项和 ,求 以及 .
20. 如图,在平面 中, ,在四棱锥 中, 平面 为 的中点, 在 上,且 .
求证: ；
求点到平面的距离 ；
求平面与平面所成的二面角大小；
21. 已知双曲线 的渐近线上一点与右焦点 的最短距离为 .
(1)求双曲线的方程；
(2) 为坐标原点,直线 与双曲线的右支交于 、 两点,与渐近线交于 、 两点, 与 在 轴的上方, 与 在 轴的下方；
(i)求实数 的取值范围；
(ii)设 、 分别为 的面积和 的面积,求 的最大值.上大附中高二下学期期中考试数学试卷解析
试卷满分 150 分, 答题时间: 120 分钟 2025.4.9
一、填空题(本大题共 12 题,满分 54 分,1~6 题每题 4 分,7~12 题每题 5 分)
1. 已知直线 的方程为 ,则直线 的倾斜角为_____.
【解析】
若正数数列 是等比数列,则正数 _____.
【解析】
已知 为正整数. 若 ,则 _____.
【解析】5
计算 _____.
【解析】
若二项式 的展开式共有 6 项,则此展开式中含 的项的系数是_____.
【解析】10
6. 已知函数 ,其导函数 的图象如图所示,则下列命题中正确的有_____.
① 有 2 个驻点
② 在 处取得极小值
③ 有极大值,没有极小值
④ 在 上严格增
【解析】①③④
7. 是等差数列 的前 项和,若 且 ,则当 取得最大值时的 _____.
【解析】10
已知数列 为严格增数列,则实数 的取值范围为_____
【解析】
已知数列 的前 项和为 ,且 ,则 _____.
【解析】97
有 5 名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动,共服务两天,每天需要两人参加活动,则恰有1人连续参加两天志愿者活动的概率为_____.
【解析】
已知数列 的前 项和 ,设 为数列 的前 项和,若对任意的 ,不等式 恒成立,则实数 的取值范围为_____.
【解析】
当 时, 取最小值 的取值范围是
已知空间向量 两两之间的夹角均为 ,且 ,若向量 分别满足 与 ,则 的最小值为_____.
【解析】
,
因为 ,所以 ,
所以 ,所以
令 ,则 ,且
由 ,得 ,所以 ,
所以 ,
当且仅当 共线同向且 共线时等号成立. 故答案为: .
二、单选题(本大题共 4 题,第 13、14 题每题 4 分,第 15、16 题每题 5 分,共 18 分)
13. 如果函数 在 处的导数为 1,那么 ( )
A. 1 B. 2 C. D.
【解析】
14. 已知等比数列 的前 项和为 ,若 ,且 与 的等差中项为 ,则 ( )
A. 31 B. 33 C. 17 D. 15
【解析】
15. 直线 ( 不全为 0 ) 与圆 有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线有( )
A. 60 条 B. 66 条 C. 72 条 D. 78 条
【解析】
16. 在数列 中, . 对于命题:
①存在 ,对于任意的正整数 ,都有 .
②对于任意 和任意的正整数 ,都有 .
下列判断正确的是( )
A. ①是真命题,②也是真命题 B. ①是真命题,②是假命题
C. ①是假命题,②是真命题 D. ①是假命题,②也是假命题
【解析】A (来自于2022年虹口二模）
解：对①,当 时,易得 , 故数列 为2,2,1循环,所以对于任意的正整数 ,都有 成立,故①正确；
对②,对于任意 ,有 ,设数列中第一项满足
的项为 ,则 ,此时易得 ,
又 ,且由题意, 恒成立,故 ,
即数列 中所有项都满足 ,故 ,因为
,与 矛盾,故对于任意 和任意的正整数 ,都有 ,故②正确.
三、解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+18+18=78 分)
17. 已知函数 ,曲线 在点 处的切线与 平行.
(1) 求 的值；
(2) 求 的单调增区间.
【解析】
(I) ,
切点
(2) ,由 驻点 ,
由 ,即 ,解得 ,
所以 的单调增区间是
18. 已知抛物线 经过点 .
( 1 )求 的值和抛物线 的准线方程；
(2)已知直线 与抛物线 交于 两点,求 .
【解析】
(1) 代入 ,准线方程是
(2) 的两根为
直线过焦点(1,0)
19. (7+7) 在数列 中, .
(1)证明: 数列 是等差数列,并求出 的通项公式;
(2)若 ,记数列 的前 项和 ,求 以及 .
【解析】
(1) 对正整数 恒成立,
是以 为首项,1为公差的等差数列
(2)
20. 如图,在平面 中, ,在四棱锥 中, 平面 为 的中点, 在 上,且 .
求证: ；
求点到平面的距离 ；
求平面与平面所成的二面角大小；
【解析】
(1)如图建系. ,
, ,即
(2) 设平面 的法向量为
, 所求距离
(3) 平面 的法向量 设两平面所成锐二面角为 , . ， 两平面所成二面角大小为 或
21. 已知双曲线 的渐近线上一点与右焦点 的最短距离为 .
(1)求双曲线的方程；
(2) 为坐标原点,直线 与双曲线的右支交于 、 两点,与渐近线交于 、 两点, 与 在 轴的上方, 与 在 轴的下方；
(i)求实数 的取值范围；
(ii)设 、 分别为 的面积和 的面积,求 的最大值.
【解析】
方程为
（2） 与右支交于两点,
且 .
与渐近线的交点位于 轴两侧,
的取值范围是 (-1.1)
（3）由 (1) 知方程 的解是 ,
方程 的解是 . ,
到直线 的距离 .
当且仅当 时, 有最大值

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