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云南省德宏自治州瑞丽市第一民族中学2024-2025学年高一上学期期末考试
高一数学
注意事项:
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答
题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集为R，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.“成立”是“成立”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.不等式2x2－x－1>0的解集是(　　)
A. B. {x|x>1}
C. {x|x<1或x>2} D .
4.设x>0，则3－3x－的最大值是(　　)
A. 3 B. 3－2 C. －1 D. 3－2
5.规定，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数，其中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.计算：（ ）
A. 10 B. 1 C. 2 D.
8.设函数在区间单调递减，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数在上最大值为 B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在上单调递增 D. 函数的最小正周期为
10. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ）
A. B.
C. D. 函数有6个零点
11.若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有②对于定义域上任意，当时，恒有，则称函数为“函数”，下列函数中的“函数”（ ）
A. B. C. D.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点在直线上，当，时，的最小值为___________．
13.若为常数，且函数是奇函数，则的值为__________．
14.已知为锐角，且，．求的值__________．
四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分,第18、19题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.已知函数.
（1）若是三角形中一内角，且，求的值；
（2）若函数在，有唯一零点，求的范围.
16.已知函数.
（1）若在上为增函数，求实数的取值范围；
（2）若在上最小值为4，求实数的值；
17.已知函数，且.
（1）求；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明；
（3）求函数在区间上的最大值和最小值.
18.已知函数与函数，函数的定义域为.
（1）求的定义域和值域；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围；
（3）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数.利用上述结论，求函数的对称中心.
19.已知.定义点集与的图象的公共点为在上的截点.
（1）若在上的截点个数为.求实数的取值范围；
（2）若在上的截点为与.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.
一、单选题
1.【答案】D
【解析】因为，，由子集定义可得集合不是集合的子集，也可得集合不是集合的子集，故A,B选项错误；
对于C选项，因为，但，得，故C错误；
对于D选项，由，得，则，故D选项正确.
2.【答案】B
【解析】因为，所以，所以又因为，所以,故，而集合 ,故“成立”是“成立”的必要不充分条件.
故选：B.
3.【答案】D
【解析】由不等式2x2－x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，
所以x>1或x<－，即所求不等式的解集为.
4.【答案】D
【解析】∵x>0，∴3x＋≥2＝2，
当且仅当3x－，即x＝时，等号成立，
∴－≤－2，则3－3x－≤3－2.
即3－3x－的最大值是3－2.
5.【答案】A
【解析】因为，则，，
；法一：因为函数，在上都为增函数，
所以函数在是增函数，
所以，即函数的值域为，
法二：，令，则；又函数在上单调递增，则，即函数的值域为，
故选：A.
6.【答案】C
【解析】依题意，，
①若，则，开口向下，对称轴为，
所以在上单调递增，故，则，
所以.
②若，则，开口向下，对称轴为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，则，所以.
③若，
当时，，；
当时，， .
若，，,
，所以；
若，，,
，所以.
综上所述，的最小值为.
故选：C.
7.【答案】B
【解析】依题意，原式.
故选：B.
8.【答案】D
【解析】函数在上单调递减，函数在R上单调递增，
因此根据复合函数的单调性知函数的单调递减区间是，
而函数在区间单调递减，
则，即，解得，所以a的取值范围是.
故选：D.
二、多选题
9.【答案】BD
【解析】对于A，当时，，，， 最大值为2，A错误；
对于B，因为，则函数的图象关于点对称，B正确；
对于C，当时，令，则，函数在上单调递增，在上单调递减，则所以在不单调，即在上不单调，C错误；
对于D，函数的最小正周期，D正确.
故选：BD.
10.【答案】ABC
【解析】当，，令，得，要在有两个不同根，需. 当，，令，即，，时也有两个不同根，所以方程有四个不同根时，A正确.
当，（），设较小根为，则. 因为，所以，由对数函数单调性得，B正确.
当，，由韦达定理，两根满足，. 当，设满足，则，，，所以，又，故，C正确.
对于选项D,令，则即.
当，，令，得或；当，，令，得或，所以时，有个值.
对于，，时无解，时无解.
对于，时，时，对应个值.
对于，时有个的解，时有个解，共个解. 对于，时有个的解，时有个解，共个解. 综上，有个零点，D错误，
答案是ABC.
11.【答案】BC
【解析】对于定义域上的任意，由于，所以是奇函数；
由于对于定义域上任意，当时，恒有，即同号，所以时，，所以在上单调递增.
A选项，是偶函数，不符合题意.
B选项，是奇函数，且在上单调递增，符合题意.
C选项，，所以是奇函数，且在上单调递增，符合题意.
D选项，是偶函数，不符合题意.
故选：BC.
三、填空题
12.【答案】9
【解析】∵点在直线，∴，又，，
则
因为，即，将代入，可得，即，故.
当且仅当且，即，，时取等号.综上，的最小值为9．
13.【答案】
【解析】是奇函数，
，
，
，
，
展开整理得，
所以，解得．
当时，，
由，得，
解得或，即定义域为或，
定义域关于原点对称，且满足，
成立．
14.【答案】
【解析】因为为锐角，且，
所以，可得，又因为
所以，
由，解得,因为为锐角, 则，所以
四、解答题
15.【答案】解：（1）由题意得，
，
∴，∴，
∵，∴，
∴，解得.
（2）由（1）得，，
由得，
令，由得，
问题转化为函数与直线有唯一交点，作出在上的函数图象，
∵，，，
∴或，解得或.
∴的范围是或.
16.【答案】解：（1）令，由于是增函数，
若在为增函数，
则在上是增函数，
则，所以.
（2）当令，
即最小值为4，
若，则时最小，得.
若，则时最小，得无解.
若时，则时最小，得舍去.
.
17.【答案】解：（1）函数，因为，
所以，则.
（2）函数在上单调递增，
由（1）知，，
下面证明单调性
任取，当时，
则，
由，则，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
（3）由（2）可知在区间上单调递增，则在区间上单调递增，
所以，
则函数在上的最大值为，最小值为6．
18.【答案】解：（1）由题意得．
定义域为，得，故．
又，且，
的值域为；
（2），
，．
存在，使得成立，
．
而，
当，即时，取得最小值，
故；
（3）设的对称中心为，
函数是奇函数，
是奇函数，
则恒成立，
恒成立，
恒成立，
，
上式对任意实数恒成立，
，得，
函数图象的对称中心为．
19.【答案】解：（1）当时，，
在上的截点个数为，
无实数解
①当
②当时，方程无解，
综上所述
（i）当时，，
在上的截点为与
，为方程-2=0的两个解
令
令
①时，，
②当
不合题意；
，
，
，
（ii）,
，
.

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