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云南省德宏自治州瑞丽市第一民族中学2024-2025学年上学期期末考试
高二数学
注意事项:
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答
题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
2.已知直线与圆交于两点，若，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知是等比数列，，，则公比等于（ ）
A. B. C. 2 D.
4.下列数列中成等差数列的是（ ）
A. B. C. D.
5.设P为曲线C：上点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6.若函数在区间上存在极小值点，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.函数单调减区间为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，过圆内一点作两条弦，且过圆心，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知是定圆（为圆心）上的一个动点，是不在圆上的一个定点.若点满足，且，则点的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线（单支）
10.在等比数列中，，前三项和，则公比q的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
11.已知双曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线的实轴长为 B. 双曲线的焦距为
C. 双曲线的离心率为 D. 双曲线的渐近线方程为
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线，若，则该双曲线的离心率为__________.
13.已知函数是区间上的单调函数，则实数的取值范围是________．
14.在数列中，为前项和，若，，，则______．
四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分,第18、19题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.已知数列的前项和为，满足．
（1）求的通项公式；
（2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前项和为，请写出的前6项，并求出和．
16.设函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若已知，且的图象与相切，求b的值；
（3）在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求m的取值范围（不写过程）.
17.已知函数，
（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围.
18.已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为.
（1）当点的横坐标为2时，求切线的方程；
（2）当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值.
19.已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量.
（1）求双曲线C的方程；
（2）设，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积；
（3）若过点任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值.
一、单选题
1.【答案】C
【解析】因为且，
所以，所以，解得.
故选：C.
2.【答案】A
【解析】根据圆的标准方程（其中为圆心坐标，为半径），
可得圆的圆心坐标为，半径.
设圆心到直线（即）的距离为.
因为，由垂径定理可知，即，解得.
点到直线（、不同时为）的距离公式，
可得圆心到直线的距离，即，
展开得.移项化简可得：，解得.
正确答案为A
3.【答案】D
【解析】依题意，因为是等比数列，所以，所以，解得.
故选：D.
4.【答案】C
【解析】根据等差中项知，三个数成等差数列，则
对于A，，所以A不是等差数列；
对于B，根据对数的运算知：，所以
，，即，所以B不是等差数列；
对于C，，所以C是等差数列；
对于D，，所以D不是等差数列.
故选：C.
5.【答案】D
【解析】因为，根据导数的定义有
,
又因为曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，
所以切线的斜率，
所以，解得，
所以点切点P横坐标的取值范围为，
故选：D.
6.【答案】A
【解析】因为，所以，
函数的图象是开口向上且对称轴方程为的抛物线，其与轴的交点为，
当时，在区间上，，单调递增，
在区间上没有极值点，所以，
因为，所以要使在区间上存在极小值点，
则在区间上有两个不等的正根，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：A.
7.【答案】C
【解析】因为，所以，
令，则，
所以函数的单调减区间为.
故选：C.
8.【答案】B
【解析】如图，取的中点，连接，根据垂径定理的逆定理，得，
因为圆的半径，，
所以，
又因为，所以在中，，所以．
故选：B.
二、多选题
9.【答案】AB
【解析】由，得，故，所以.
由知，点在直线上.
当与圆心重合时，为线段的中点，
因为是定圆（为圆心）上的一个动点，
故点轨迹是以点为圆心，以的一半为半径的圆；
当在圆内（不与重合）时，，所以的轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆；
当在圆外时，，
所以的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线，
若在之间时，则轨迹是靠近焦点的分支；
若在之间时，则轨迹是靠近焦点分支.
故选：AB.
10.【答案】AB
【解析】在等比数列中，，因为，，
所以
两式相除得；解得或，
所以公比q的值为或1.
故选：AB.
11.【答案】BC
【解析】由题意得双曲线，则，
对于选项A，双曲线的实轴长为，故选项A错误；
对于选项B，双曲线的焦距为，故选项B正确；
对于选项C，双曲线的离心率，故选项C正确；
对于选D，双曲线的渐近线方程为，故选项D错误．
故选：BC．
三、填空题
12.【答案】
【解析】双曲线，其半实轴长，半虚轴长.
由双曲线的性质可知，半焦距满足，将，代入可得.
因为，即，所以，则.
根据离心率公式
正确答案为
13.【答案】
【解析】由函数
可得，
令，解得或，
因为是区间上的单调函数，
所以或，解得或，
故实数取值范围是.
14.【答案】
【解析】因为数列满足，
即，所以数列为等差数列，
又因为，所以，则，
又因为，所以公差，所以，
所以.
四、解答题
15.【答案】解：（1）因为①，
所以当时，有，
当时，有②，②-①得，
即，即；
所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，因此，时符合，所以
（2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大排列依次为：
，，，，，，…数列前6项为2，，，，，．
．
注意到，，，…，构成以为首项，以8为公比的等比数列，
，，，…，构成以为首项，以8为公比等比数列，
．
16.【答案】解：（1）当时，，
求导可得，
令，解得或时，
令，解得时，
所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为和.
（2）当时，，
设与直线相切的切点是，
因为，所以，
所以有，
可得，
又，相减得，
所以，所以，
解得；
（3）当时，，
的图象与有三个公共点，
所以等价于方程有三个不等实数根，
设函数，则，
时，或；时，，
在和上单调递增，在上单调递减，
时取极大值，时取极小值，
所以的取值范围为.
17.【答案】解：（1）当时，，求导得，，
令，解得；令，解得.
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
所以函数在上的最大值为，最小值是；
（2）函数的定义域为，求导得,
①当时，在上恒成立，此时在上单调递减；
②当时，令，解得；令，解得，
此时在单调递减，在单调递增，
综上所述，当时，在单调递减，在单调递增，
当时，在上单调递减.
（3）由（2）得，依题意，得，解得，
所以，
又因为对恒成立，
所以，即在上恒成立.
令，求导得，
令，解得；令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，
故的取值范围为.
18.【答案】解：（1）由圆，可得圆心，半径，
如图：
点在直线上，且点的横坐标为点的坐标为，
①当切线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意，；
②当切线的斜率存在时，设斜率为，此时切线方程为，
即：，设到切线距离为，根据题意可得：，
，
此时，切线方程为，
化简，得，
切线方程为或；
（2）如图：
过点作圆的切线，切点分别为.
所以为公共边，，
，
所以当最小时，最小，
由题意可知，当时，最小值为设到直线的的距离为，
此时，，
，
四边形面积的最小值为.
19.【答案】解：(1)因双曲线C的中心在原点，一个顶点是，
所以设双曲线C的方程为：，
则双曲线C的渐近线方程为，而双曲线C的一条渐近线的一个方向向量是，
所以一条渐近线的斜率为，
所以双曲线C的方程为.
(2)根据题意，设点，则，所以，
，
所以当时，，此时，
点M到直线DP：的距离为，而，如图，
四边形ODMP的面积，
所以四边形ODMP的面积为.
(3)因为A，B都不同于点D，所以直线斜率不为0，设直线AB方程：，
联立方程组消去x得到，
则，恒成立，
设，
则有，，
所以
，
所以为定值0.

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