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高一下学期期中数学模拟试题（二 ）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版必修一第五章三角恒等变换、必修二第六章平面向量及其应用、第七章复数。
一、单选题
1.已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知非零向量，满足，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
4．已知在△ABC中，，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
5．已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，分别为角，，的对边.若，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的部分图象如图所示，则等于（ ）
A． B．0 C． D．
8．已知为锐角，且，，则角等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设，是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若是纯虚数，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．在中，角所对的边分别为，下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，则为锐角三角形
C．若，则
D．若，则为钝角三角形
11．对于△，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与共线
D．过点的直线分别与、交于、两点，若，，则
三、填空题
12．已知为复数，为纯虚数，为实数，则__________.
13．在中，角所对的边分别为，且.若，则周长的最大值为 .
14．在中，，为的中点，，为上一点，且，则 ．
四、解答题
15．已知复数.
(1)求复数的模；
(2)若，求，的值.
16．在中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长.
17．如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕．
(1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕；
(2)试确定缉毒船的行驶方向．
18．设．
(1)当时，求的最大值和最小值；
(2)已知，且当时，求的值．
19．如图，已知中，，，，M，N为线段上两点，且．
(1)若，求的值；
(2)设，试将的面积S表示为的函数，并求其最大值．
(3)若，求的值．
试卷第4页，共4页高一下学期期中数学模拟试题（二 ）答案
一、单选题
1. D 解析 由向量，得.故选D
2． C解析 ，，
故复数的共轭复数为，在复平面内对应的点为，位于第三象限.故选C.
3． D解析 由题意知，
由知.故选：D
4． C
解析 因为， 要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，
半径为2的圆与BA有两个交点，所以只需满足，即，解得.故选C
5． A解析 设与的夹角为，则．
∵，，
∴，
∴．故选：A
6． D解析 ，所以，
根据余弦定理,
即，，
所以.
故选D
7．A解析 由的图象可知，
，周期，故，
又且，可得，故.
又根据函数图象的对称性可知
，
所以，
所以，故选A.
8． C解析 因为，
∴，∴，
又因为为锐角，所以.故选：C.
9． ACD
解析 对于A选项，，则，故A正确；
对于B选项，取，，则，但且，所以B错误；
对于C选项，设，则，所以，C正确；
对于D选项，设，则由得，
又，，
故成立，D正确．故选ACD．
10． ACD解析 对于A，在中，作于D，
则,即，即，A正确；
对于B，由得，
结合，可知A为锐角，但不能确定B，C角的大小，
故不能确定为锐角三角形，B错误；
对于C，若，由正弦定理可得，则，C正确；
对于D，若，由于，则A为锐角；
若B为锐角，则，可得，则，
故为钝角三角形；
若B为钝角，则，可得，则，适合题意，
此时为钝角三角形；综合以上可知为钝角三角形，D正确，故选：ACD
11． BCD
解析 A：为外心，则，仅当时才有，错误；
B：由，又，故，正确；
C：，即与垂直，又，所以与共线，正确；
D：，又三点共线，则，故，正确.
故选BCD
12． 解析 ,.
13． 21解析：因为，所以由正弦定理得，
因为，所以，所以，因为，所以，
由余弦定理得，即，
因为，所以，得，当且仅当时取等号，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，所以，所以周长的最大值为21.
故答案为21.
14． 解析：取中点，连接，如图所示：

则有，又因为，
所以，所以∥，
又因为为中点，所以为中点，所以，
所以，又因为为的中点，，
所以，平方，得，
即，解得，
在中，由余弦定理可得：，
所以，在中，由余弦定理可得：，
将两边平方，得，
所以.故答案为：
四、解答题
15．已知复数.
(1)求复数的模；
(2)若，求，的值.
解析 （1），
.…………………………6分
（2），
又，
，解得，.…………………………13分
16．在中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长.
解析（1）设的外接圆半径为，由正弦定理可得，，
所以可化为，
因为，所以，又，
所以，
所以，又，所以，
所以，所以，…………………………7分
（2）因为，所以，
又，所以，，
由余弦定理可得，所以.
所以的周长为.…………………………15分
17．如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕．
(1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕；
(2)试确定缉毒船的行驶方向．
解析 （1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，
由题意可知：，
由余弦定理可得，
即，
整理可得，解得，
所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. …………………………7分
（2）由（1）可知：，
由正弦定理可得，
且为锐角，则，可得，
所以缉毒船的行驶方向为北偏东.…………………………15分
18．设．
(1)当时，求的最大值和最小值；
(2)已知，且当时，求的值．
解析 （1）
．
当时，，
所以当，即时，取得最大值，为，
当，即时，取得最小值，为．…………8分
（2）因为，所以，
化简可得，两边平方得，所以．
又，所以，，．
又，所以，
，
所以．…………………17分
19．如图，已知中，，，，M，N为线段上两点，且．
(1)若，求的值；
(2)设，试将的面积S表示为的函数，并求其最大值．
(3)若，求的值．
解析（1）中，，
所以所以.…………5分
（2）在中，，，
由正弦定理得，即，
在中，，
所以，所以
所以
，
因为，所以，
所以当且仅当，即时，的面积取最大值为.………12分
（3）当时，，
即，
因为，
所以，
设且，由（2）得，，且，
所以，
所以，
即，
两边同除以，得，
解得或（舍去），此时.…………17分
试卷第8页，共8页

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