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数学参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8
D B C A A C B B
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分）
9 10 11
AD BD BC
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 13. 14.
一、选择题
1.【答案】D
【解析】利用复数的加法法则计算可得结果.
由可得.
故选：D
2.【答案】B
【解析】根据给定条件，利用交并补的运算求解.
由，得，而，
所以.
故选：B
3.【答案】C
【解析】根据投影向量、模长及数量积的公式计算即可.
，
，，
所以向量在上的投影向量为.
故选:.
4.【答案】A
【解析】根据充分条件、必要条件的定义即可求解.
若“”，则有，可推出“”成立，
若“”，则有或，解得或，推不出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
5.【答案】A
【解析】采用排除法进行判断，先根据函数的奇偶性进行排除，再结合特殊点的函数值进行选择.
首先：，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除CD.
又，故排除B.
故选：A
6.【答案】C
【解析】由题意作出图形，要使甲港开出的那只船在海上遇到了乙港开来的船（不包括在港口相遇），可得交点个数，就是相遇的船只.
由题意作出图形：
从甲港到乙港需航行7昼夜，
顺次连接乙港1、甲港8两点，乙港2、甲港9两点、的线段分别表示从乙港开出的船在相应时间内的航行路线，
又甲港第四条开出的船也要经过7天到达乙港，
连接甲港4、乙港11两点的线段表示甲港船的航行路线，
由图形可得该线与乙港开出船的航行路线有11个交点，
这些点分表表示从甲港开出的船遇到乙港开出船的次数，
又不包括在港口相遇，
除去在乙港口相遇的点一共有10个，
故从甲港开出的那只船在海上遇到了乙港开来的船（不包括在港口相遇）共有10只，
故选：.
7.【答案】B
【解析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可．
由于，所以，
依题意，则，
则，
由，
所以，即，
所以所需的训练迭代轮数至少为74次．
故选：B
8.【答案】B
【解析】根据题意结合辅助角公式可得，根据图像变换结合诱导公式可得，运算求解即可.
由题意可得：，
将函数的图像向左平移个单位，所得，
因为为偶函数，
则，解得，
可得，结合选项可知：B正确，ACD错误.
故选：B.
二、多选题
9.【答案】AB
【解析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，从而确定正确答案.
对于A，是奇函数，故A正确；
对于B，的定义域为，且，可得是奇函数，故B正确；
对于C，的定义域为，是非奇非偶函数，故C错误；
对于D，的定义域为，且，所以是偶函数，不是奇函数．
故选：AB．
10.【答案】BD
【解析】根据指数运算对选项进行分析，从而确定正确答案.
原式，A错误；
原式，B正确；
原式，C错误；
原式，D正确．
故选：BD
11.【答案】BC
【解析】根据题设条件，建立平面直角坐标系，把数量积问题转化为坐标运算来解决，结合三角函数的性质即可对选项进行判定.
以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图，
，，，，，设，，
则，，，由，
得，则，解得，
对于A，，其中锐角由确定，
，则当时，，A错误；
对于B，，，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，，其中锐角由确定，
，则当时，取得最大值，C正确；
对于D，，则
，而，当时，取得最大值为，D错误.
故选：BC
三、填空题
12.【答案】1
【解析】根据对数的运算性质及换底公式计算可得结果.
由题意得，，
∴.
故答案为：1.
13.【答案】
【解析】利用奇函数的定义可求出的值，然后代值计算可得的值.
实数，且函数为奇函数，
则，
由奇函数的定义可得，即，
整理可得，则，因为，解得，
所以，，故.
故答案为：.
14.【答案】2
【解析】设，，利用向量的加法的三角形法则得到，从而将的最小值问题转化为中的最小值问题，再借助三角函数求解即可.
如图：
设，，则，依题意.
过作，垂足为，则，
即的最小值是2.
故答案为：2.
四、解答题
15.【答案】(1)
(2)或
【解析】（1）根据向量平行的坐标表示求参数.
（2）先根据向量垂直的坐标表示求参数，再求向量的模.
（1）因为，.
由.
（2）由，
解得：或.·····················6分
当时，，所以；
当时，，所以.
所以为或.························13分
16.【答案】(1)，
(2)，
【解析】（1）利用复数除法运算及复数模长运算可得结果；
（2）将代入方程化简，再利用复数相等的条件列方程组可求得实数a，b的值.
（1）因为复数满足，
所以，
所以.
所以.·····························7分
（2）因为复数是关于的方程的一个根，
由（1）知，所以
，
所以，
解得，.································15分
17.【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）根据交集并集概念计算；在求取值范围时，
（2）根据集合间的包含关系构造不等式组，来确定参数的取值范围.
（1）若，则，
所以，···············6分
（2）因为，所以，
当时，满足，此时；
当时，要使，则，解得
综上，实数的取值范围为··················15分
18.【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由向量数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式得，由周期得的解析式；
（2）由正弦函数的单调递减区间，得到的单调递减区间；
（3）由，解得或，依题得，由正弦函数的图象得和关于直线对称，从而得到，即可求解..
（1）
，
因为的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，
所以该函数的最小正周期，则，
所以.·····················4分
（2）由得，
所以的单调递减区间是.············7分
（3）由得或，
即或，
由，可得，
由得，解得；
所以在上有两个不同的解，由图知，，
且，即，
所以，
所以.························17分
19.【答案】(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)，，，，.
【解析】（1）直接根据定义即可判断；
（2）利用“好集”的定义，证明该结论；
（3）利用（2）的结果，列举不同情况即可得到答案.
（1）由于，，二者交集为空，故是“好集”.·····4分
（2）显然此时，，而，故，所以是“好集”.·······················7分
（3）由于，，，，都不是“好集”，所以“好集”不能包含这些集合中的任何一个.
那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素集，除和以外的双元素集，以及，，经过验证，这些集合都是“好集”.
再加上不能被更大的“好集”包含的要求，满足条件的就只能是，，，，.······················17分
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对“好集”的定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应问题.贵州省贵阳修文北实新世纪实验学校2024-2025学年高一
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
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期中质量监测卷
16
数学答题卡
姓
名
准考证号：厂
贴条形码区
注意事项
1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填
写清楚，并认真核潍条形码上的姓名、准考
考生禁填：
缺考标记

证号，在规定位置贴好条形码。
违纪标记

2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须
以上标志由监考人员用2B铅
用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或
笔填涂
圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。
3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答
选择题填涂样例：
超出区域书写的答案无效：在草稿纸、试题
卷上答题无效。
正确填涂一
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄被。
错误填涂[×】【]I/]
第I卷选择题
一、
单项选择题
二、多项选择题
1[A[BC[D
5[A[B[C[D
9A]B][C[D]
2ABCD
6A幻BICD
10[ABCD
3AB C D
7AOB DT
11A B oD
4ABC]D]
8[ABCD]
第II卷非选择题
三、填空题
12、
13、
14
考生请勿在此区域作答
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请在各题耳的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
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18
19.
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■贵阳市修文北实新世纪实验学校2024-2025学年高一期中质量监测卷
数 学 试 题
2025年4月
注意事项：
1、本场考试时间为120分钟，试题卷共5页，满分150分，答题卡共4页。
2、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。
3、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题 共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知复数，则（ ）
A. 4
B.
C.
D.
2.已知全集，则（ ）
A.
B.
C.
D.
3.已知平面内三点，，，则向量在上的投影向量为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
5.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.甲港和乙港之间新辟了一航线，每天正午分别从甲、乙两港相对开出船.若所有船的航速相同，且从甲港到乙港需航行7昼夜，则通航的第4天（通航日为第1天），从甲港开出的那只船在海上遇到了乙港开来的船（不包括在港口相遇）共有（ ）
A. 4只
B. 7只
C. 10只
D. 11只
7.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A. 72
B. 74
C. 76
D. 78
8.定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的可能取值是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分）
9.下列函数是奇函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.（多选）已知，则下列代数式中值为的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11.正方形的边长为2，在上，且，如图，点是以为直径的半圆上任意一点，，则（ ）
A. 最大值为
B. 最大值为1
C. 最大值是
D. 的最大值为
第II卷（选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知则 .
13.设实数，函数为奇函数，则 .
14.若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.已知，
(1)若与平行，求实数的值；
(2)若与垂直，求的值.
16.已知复数满足.
(1)求复数和；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值.
17.设集合，集合．
(1)若，求和；
(2)，求实数的取值范围．
18.已知向量，，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)若函数在有三个不同的零点从小到大依次为，求的值.
19.设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”．
(1)判断是否为“好集”，并说明理由；
(2)证明：如果且是“好集”，那么是“好集”；
(3)求所有的集合，使得
①；
②是“好集”；
③不存在“好集”，使得是的真子集．高中数学2025年01月04日 双向细目表
考查范围：必修第一册、必修第二册
题号 难度 知识点
一、单选题
1 容易 1.3 集合的基本运算
2 容易 7.2.1 复数的加、 减运算及其几何意义
3 较易 第六章 平面向量及其应用
4 较易 4.4 对数函数
5 适中 1.4 充分条件与必要条件
6 适中 数学建模 建立函数模型解决实际问题
7 适中 第五章 三角函数
8 较难 2.2 基本不等式,4.4 对数函数
二、多选题
9 容易 4.1 指数
10 容易 3.2.2 奇偶性
11 较难 第六章 平面向量及其应用
三、填空题
12 较易 1.3 集合的基本运算
13 适中 4.1 指数,4.3 对数
14 较难 第六章 平面向量及其应用
四、解答题
15 较易 第六章 平面向量及其应用
16 适中 1.3 集合的基本运算
17 适中 第七章 复数
18 适中 第五章 三角函数,第六章 平面向量及其应用,3.2.1 单调性与最大（小）值
19 较难 第一章 集合与常用逻辑用语

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