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完成时间：___________月___________日 天气：
作业01 等腰三角形
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：等腰三角形性质的计算问题】
（2024 兰州）
1．如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
（2024秋 云梦县期中）
2．如图，在中，，，于点E，若，且的周长为8，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
（2024春 西安月考）
3．在中，，于点D，于点E，于点F，，则（　　）
A． B． C． D．
（2024春 藁城区期末）
4．如图，在△ABC中，，，，若，则∠BAE＝ °．
【题型二：等腰三角形性质的证明问题 】
5．已知，如图在等腰三角形中，，P为的中点，于点D，于点E，求证：．
6．如图，已知为等腰三角形，为底角的平分线，且，求证：．
7．如图，在中，，是边上的中线，于点，与相交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
（2024春·湖南·八年级期末）
8．如图，在中，，点D在边上，，，，垂足分别为E，F．
(1)求证；
(2)若，求证．
【题型三：等腰三角形的判定个数问题 】
（2024秋 灌南县期中）
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E足BC上的点，∠BAD=∠DAE＝∠EAC，图中等腰三角形的个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图，在△ABC中，且，且，AD是边BC上的高，的平分线交AD于F，交AC于E，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点）．在这张5×5的方格纸中，找出格点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的格点C有（　　）
A．3个 B．5个 C．6个 D．8个
（2024春·广西钦州·八年级校考期中）
12．如图，在中，度，，，在直线上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型四：等腰三角形判定的证明问题 】
13．已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形．
14．如图，D为的边的延长线上一点，过D作，垂足为F，交于E，且．求证：是等腰三角形．
15．已知：如图，在中，，，是两腰上的高，二高交于点．求证：是等腰三角形．
16．已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形．
【题型五：等边三角形性质的计算问题 】
17．如图，在等边中，为边上的中点，以为圆心，为半径画弧，与边交点为，则的度数为（ ）
A．60° B．75° C．105° D．115°
18．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
19．如图，和都是等边三角形，点D，E，F分别在边上，若的周长为15，，则的长为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
20．如图，已知等边三角形的边长为，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 ．

【题型六：等边三角形的性质的证明问题 】
21．如图：△ABC和△ADE是等边三角形，证明：BD=CE．
22．如图，是等边的中线，以D为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于E，连接．求证：．
23．如图，，都是等边三角形．求证：
24．如图，在等边中，，，垂足为M，E是延长线上的一点，．求证：．
【题型七：等边三角形的多结论判断问题】
25．下列说法中，正确的个数是（ ）
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
③有两个角为60°的三角形是等边三角形；
④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是等腰三角形；（3）这个三角形是等边三角形；（4）形状不能确定；（5）不存在这样的三角形．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
27．如图，在中，，D是上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，连接，，则下列结论正确的有（ ）
①；②；③是等边三角形；④若，则．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
28．如图，已知和都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，BE交AC于点M，AD交CE于点N，AD，BE交于点P．则下列结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形、其中，正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【题型八：等边三角形的判定的证明问题】
29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交BC于点F，若AF＝BF，求证：△CEF是等边三角形．
30．如图，点 D 在线段 BC 上，∠B=∠C=∠ADE=60°，AB=DC，
求证：△ADE 为等边三角形．
31．如图，，，，．
(1)求的度数；
(2)求证：是等边三角形．
32．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
(1)求证：BE垂直平分CD；
(2)若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形．
【题型一：等腰三角形与折叠问题】
33．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（　　）cm
A．1 B．2 C．3 D．4
34．如图，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，其中折痕分别交边于点E，F，连接．若，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
35．如图，已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点，若，则的度数为 ．
36．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB、AC边分别交于点E、F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么∠B＝ ．

【题型二：等腰三角形与动点问题】
37．如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒．
38．如图，在中， ， ，点D为的中点，点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等．
39．如图，在中，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作交线段于E．
(1)当时， ；点D从B向C运动时，逐渐变 （填“大”或“小”）；
(2)当等于多少时，，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形．
40．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
【题型三：等腰三角形中的分类讨论问题】
41．已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10
42．等腰三角形的一个内角是，则它一腰上的高与底边的夹角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
43．若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（　　）
A． B． C．或 D．无法确定
44．已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为的两部分，则这个等腰三角形的底长为 ．
【题型四：等边三角形中的最值问题】
45．如图，点为线段上的动点，，以为边作等边，以为底边作等腰，则的最小值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
46．如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
47．如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在边AC上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD＝2，AC＝6，△OCD周长的最小值是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
48．如图，在等腰中，，，是等边三角形，P是的平分线上一动点，连接，，则的最小值为 ．

【题型五：等边三角形与平面直角坐标系问题】
49．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形，点C为x轴正半轴上一动点，连接BC，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交y轴于点E．

(1)求证：；
(2)在点C的运动过程中，的度数是否会变化？如果不变，请求出的度数；如果改变，请说明理由；
(3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形？
50．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形，点C为x轴正半轴上一动点，连接BC，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交y轴于点E．

(1)求证：；
(2)在点C的运动过程中，的度数是否会变化？如果不变，请求出的度数；如果改变，请说明理由；
(3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形？
51．如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，，点为轴上一动点，以为边作等边，延长交轴于点．
（1）求证：；
（2）的度数是 ；（直接写出答案，不需要说明理由．）
（3）当点运动时，猜想的长度是否发生变化？如不变，请求出的长度；若改变，请说明理由．
52．如图，平面直角坐标系中．A点在y轴上，，在x轴上，，且b、c满足等式．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)如图1，F为延长线上一点，连，若．求证：平分；
(3)如图2，中，，，M为中点，试确定与的位置关系．
【题型一：等腰三角形的性质与判定的综合 】
53．如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求证：；
(3)当时，求的度数．
54．如图，在中，点D，E分别在BC，AB边上，AE=AC，AD⊥CE，连接DE．
(1)求证：∠DEC=∠DCE；
(2)若AC=BC，BE=CE．
①求∠B的度数；
②试探究AB-AC与BC-DE的数量关系，并说明理由．
（2024春·重庆江北·八年级校考期中）
55．如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)求证：．
（2024春·广东广州·八年级校考期末）
56．如图，四边形中，，过点D作，与C交于点D，与交于点H．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)若E为中点，猜想，与三者的数量关系．并证明之
【题型二：等边三角形的性质与判定的综合题 】
57．在中，，，是边上的高，点E为直线上点，且．

(1)如图1，当点E在边上时，求证：为等边三角形；
(2)如图2，当点E在的延长线上时，求证：为等腰三角形．
58．如图，已知是等边三角形，点D是边上一点．
(1)以为边构造等边（其中点D、E在直线两侧），连接，猜想与的位置关系，并证明你的结论；
(2)若过点C作，在上取一点F，连接、，使得，试猜想的形状，直接写出你的结论．
59．如图，点O是等边内一点．将绕点C顺时针方向旋转得，使得，连接．已知，设．

(1)发现问题：发现的大小不变为 ．
(2)分析问题：当时，分析判断的形状是 三角形．
(3)解决问题：请直接写出当为 度时，是等腰三角形．
60．已知线段于点，点在直线上，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，直线交直线于点．
(1)当点在线段上时，如图①，直接写出，，之间的关系 　　．
(2)当点在线段的延长线上时，如图②，当点在线段的延长线上时，如图③，请分别写出线段、、之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明．
(3)在（1）、（2）的条件下，若，，请直接写出的值．

试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《暑假作业01 等腰三角形（15大题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（北师大版）》参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B
2．B
【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
根据已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答．
【详解】
解：∵，且的周长为8，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
3．B
【分析】由是等腰三角形，于点D，得到，，又由得到，则，由得到，则，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，
∵于点D，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
4．31
【分析】先根据，，求得∠ADB=90°-28°=62°，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到BD=AD，从而得到∠ABD=∠BAD，即可由三角形内角和定理求得∠BAD=59°，从而由∠BAE=∠BAD-∠DAE求解．
【详解】解：∵，，
∴∠ADB=90°-28°=62°，
∵，，
∴BD=AD，
∴∠ABD=∠BAD，
∴∠BAD=（180°-∠ADB）=（180°-62°）=59°，
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=59°-28°=31°，
故答案为：31．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求出∠BAD的度数是解题的关键．
5．见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．
利用证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵P是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
6．见解析
【分析】由等腰三角形性质，得，由角平分线定义，得，进而，得证．
【详解】证明：∵为等腰三角形，，
∴．
又∵为底角的平分线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定；掌握等腰三角形等边对等角性质是解题的关键．
7．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据，，得出，再根据等腰三角形的性质得出即可得证结论；
（2）根据证，得出，根据，即可得证结论．
【详解】（1）证明：∵，是边上的中线，
∴，，
，
，，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）知，，那么，
在和中，
，
∴，
∴，
是边上的中线
，
∴．
8．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）先证明，再根据可证；
（2）过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，，再证明，根据角平分线的性质可知，进一步即可得证．
【详解】（1）证明： ，，
，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：过点作于点，如图所示：
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
9．C
【分析】根据△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E是BC上的点，∠BAD＝∠DAE＝∠EAC这些条件，再根据三角形的内角和是180°和等腰三角形的性质，求出各个角的度数，即可判断．
【详解】解：因为在△ABC中，AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形，
因为∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝（180° 36° 36°）÷3＝36°，所以△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形，
又因为∠BAE＝∠CAD＝36°＋36°＝72°，∠BEA＝∠CDA＝180° 72° 36°＝72°，所以∠BAE＝∠CAD＝∠BEA＝∠CDA＝72°，
所以△BAE、△CAD是等腰三角形，一共有6个．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．
10．B
【分析】根据在中，，，利用三角形内角和定理求得，然后可得等腰三角形．
【详解】∵AD是边BC上的高线，
∴，
∵，
，
∴，
∴是等腰三角形，
∵是的平分线，
∴
∴．
∴是等腰三角形，
则，
而，
故为等腰三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的高、角平分线，等腰三角形的判定，解题关键是要熟练掌握这些基础知识．
11．C
【分析】根据等腰三角形的判定即可确定．
【详解】解：如图所示：
满足条件的点C有6个，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键．
12．D
【分析】根据等腰三角形的判定定理，分情况讨论，正确作图，即可得到结论．
【详解】解：如下图，

作垂直平分线与相交于点P，可得，
以A为圆心，为半径画圆，交有两个交点，可得，，
以B为圆心，为半径画圆，交有一个交点，可得，
∴符合条件的点P共有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质 ，解题的关键是正确作图，分情况讨论．
13．见解析
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD，根据平行线的性质得到∠ADE=∠BAD，等量代换得到∠ADE=∠CAD于是得到结论．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是底边BC上的中线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD，
∴∠ADE=∠CAD，
∴AE=ED，
∴△AED是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
14．见解析
【分析】首先依据等腰三角形的性质得到∠BDE=∠BED，然后结合对顶角的性质可得到∠BDE=∠CEF，接下来，依据直角三角形两锐角互余、等角的补角相等等知识可得到∠A=∠C，最后，再依据等边对等角的性质进行判断即可．
【详解】解：证明：∵BD=BE，
∴∠BDE=∠BED
又∵∠BED=∠CEF，
∴∠BDE=∠CEF
又∵DF⊥AC，
∴∠A+∠BDF=90°，∠C+∠CEF=90°，
∴∠A=∠C，
∴AB=BC（等角对等边），
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
15．见解析
【分析】根据等边对等角得到，再根据等角的余角相等得到，从而证明．
此题考查了等腰三角形的性质，综合利用了三角形内角和，直角三角形两锐角的性质，对各知识点能够熟练运用是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴；
∵，是两腰上的高，
∴，
∵，
∴；
∴，
∴为等腰三角形．
16．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
过点作于点，利用平行线的性质得出，进而利用得出，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可．
【详解】证明：过点作于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
17．C
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可求出∠DAC=30°，结合AD等于AE求出∠AED的度数即可解出∠DEC的度数．
【详解】解：在等边△ABC中，D为BC边上的中点，
∴∠DAC=∠BAC= 30°，
在△ADE中，AD=AE，
∴∠AED=∠ADE=（180°-30°）=75°，
∵∠AED+∠DEC=180°，
∴∠DEC=180°-75°=105°，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于能够熟练掌握该知识并进行合理运用．
18．C
【分析】根据DF=DE，CG=CD，可得∠E=∠EFD，∠GDC=∠DGC，∠GDC是△EFD的外角，∠ACB是△DGC的外角，根据外角的性质及等边三角形的每个内角都是60°，即可得到答案．
【详解】解：∵DF=DE，CG=CD，
∴∠E=∠EFD，∠GDC=∠DGC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°
∵∠ACB=∠GDC+∠DGC=60°，
∴∠GDC=30°．
又∵∠GDC=∠E+∠EFD，
∴∠E=15°．
故选C
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及等边三角形的性质，灵活应用外角的性质是解题的关键．
19．B
【分析】根据等边三角形的性质及等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质得出，然后求解即可．
【详解】解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
同理得：，
∴，
∵的周长为15，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题关键．
20．
【分析】延长，过点Q作于点F，先证明，得出，，再证明，得出，即可求解．
【详解】解：延长，过点Q作于点F，
∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握等边三角形三个角都是，正确画出辅助线，构造全等三角形．
21．见解析
【分析】根据等边三角形的性质可得到两组边对应相等，一组角相等，从而利用SAS判定两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=CE．
【详解】证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．
∴∠BAD=∠CAE．
在△BAD与△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴BD=CE
【点睛】此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；证明线段相等常常通过三角形全等进行解决，全等的证明是正确解答本题的关键．
22．见解析
【分析】根据等边三角形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】证明：∵是等边的中线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．证明见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，由等边三角形的性质得到，，，进而由得到，利用“”即可证明，得到，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】证明：∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
24．见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，连接，即可证明，根据等腰三角形的性质可证明，再根据三角形外角的性质，可知，即可求出，最后即可证明．
【详解】证明：如图所示，连接．
是等边三角形，，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
．
25．D
【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断．
【详解】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形，此选项符合题意．
②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，此选项符合题意．
③有两个角为60°的三角形是等边三角形，此选项符合题意．
④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形，此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
26．C
【分析】因为最小角为60度，则该三角形的最大角不能大于60度，否则最小的角将不是60°，则可以得到其三个角均为60度，即是一个等边三角形．
【详解】解：因为最小角为60度，则该三角形的最大角不能大于60度，否则不合题意，则可以得到其三个角均为60度，即是一个等边三角形，故（3）正确；
其最大角不大于90度，所以是锐角三角形，故（1）正确；
等边三角形是特殊的等腰三角形，故（2）正确；
这个图形是等边三角形，形状可以确定，故（4）错误；
存在这样的三角形，即等边三角形，故（5）错误；
所以前三项正确，即正确的有三个．
故选C．
【点睛】本题主要考查了了学生的概念辨析能力，掌握等边三角形的判定方法和等边三角形的性质是解题的关键．
27．B
【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定．由，，，可得①正确；由①可证得，即可得②正确；易得③是等腰三角形，但不能证得是等边三角形；由若，易求得，则可证得，继而证得．
【详解】解：在中，
，，
，
，，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
，
，但不能判定是等边三角形，故③错误；
∵若， ，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，故④正确．
故选：B．
28．D
【分析】根据等边三角形的性质得CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，则∠ACE=60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△B CE，则AD=BE；由△ACD≌△BCE得到∠CAD=∠CBE，再由对顶角相等知∠AMP=∠BMC，所以∠APM==∠ACB=60°，再根据“ASA”判断△ACN≌△BCM，所以AN=BM，∠BMC=∠ANC；由△ACN≌△BCM得到CN=BM，加上∠MCN=60°，则根据等边三角形的判定即可得到△CMN为等边三角形．
【详解】证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACE=60°，
∴∠ACD=∠BCE=120°，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；故①正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE；
又∵∠AMP=∠BMC，
∴∠APM==∠ACB=60°；
故③正确；
在△ACN和△BCM中，
∴△ACN≌△BCM（ASA），
∴AN=BM，∠BMC=∠ANC；
故②，④正确；
∵△ACN≌△BCM，
∴CN=BM，而∠MCN=60°，
∴△CMN为等边三角形．
故⑤正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
29．见解析.
【分析】在△ABC中，AF平分∠CAB、AF=BF求得∠B=∠2=∠1=30°，根据外角性质可得∠4=60°，在RT△ADE中可得∠3=∠5=60°，进而可知∠4=∠5=60°，得证．
【详解】证明：如图，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠CAB=2∠1=2∠2，
∵AF=BF，
∴∠2=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，即∠B+2∠1=∠B+2∠2=90°，
∴∠B=∠1=∠2=30°，
∵∠4是△ABF的外角，
∴∠4=∠2+∠B=60°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠3=60°，
∵∠5=∠3，
∴∠4=∠5=60°，
∴△CEF是等边三角形．
【点睛】考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义、直角三角形两锐角互余的性质．
30．证明见解析．
【分析】首先证明BAD CDE，再证明△BAD ≌△CDE得到AD DE，最后根据等边三角形的判定定理证明即可．
【详解】证明：在△ ABD 中， BAD 180 B ADB
∵ CDE 180 ADE ADB，B ADE 60
∴ BAD CDE
在△ BAD 和△ CDE 中，
∴△ BAD ≌△ CDE （ASA）
∴ AD DE
∵ ADE 60
∴△ ADE 是等边三角形．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定，熟练掌握判定定理是解答此题的关键．
31．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）因为，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，又，根据三角形内角和，可求出的度数为．
（2），，，三个角是的三角形是等边三角形．
【详解】（1）解：，，
，
即．
（2）：，，．
，
，
是等边三角形．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
32．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证Rt△EBC≌Rt△EBD，得出BE是∠DBC的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证；
（2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知CD=DB，再根据DB=BC，即可证明结论．
【详解】（1）解：证明：∵∠ACB=90，且DE⊥AB，
∴∠EDB=∠ACB=90°，
在Rt△EBC和Rt△EBD中，
，
∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），
∴∠CBE=∠DBE，
∵BD=BC，
∴△BDC是等腰三角形，
∴BF⊥CD，CF=DF，
∴BE垂直平分CD．
（2）∵D是AB的中点，∠ACB=90°，
∴DC=DB，
又∵BD=BC，
∴DC=DB=BC，
∴△CBD是等边三角形．
【点睛】本题考查了直角三角形与等边三角形，熟练掌握直角三角形的性质与等边三角形的判定是解决本题的关键．
33．C
【分析】由题意得到DA′＝DA，EA′＝EA，经分析判断得到阴影部分的周长等于△ABC的周长即可解决问题．
【详解】
如图，由题意得：
DA′＝DA,EA′＝EA，
∴阴影部分的周长＝DA′＋EA′＋DB＋CE＋BG＋GF＋CF
＝(DA＋BD)＋(BG＋GF＋CF)＋(AE＋CE)
＝AB＋BC＋AC
＝1＋1＋1＝3(cm)
故选C.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及折叠的问题，折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系.
34．C
【分析】根据等边三角形折叠的性质及垂直的定义得出，结合图形及三角形外角的性质得出，利用折叠得出即可求解．
【详解】解：∵，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，
∴，
∴，
∵等边三角形，
∴，
∴，
∵将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查等边三角形的性质、三角形外角的定义及折叠的性质，结合图形找准各角之间的关系是解题关键．
35．##40度
【分析】首先根据等边三角形的性质可得，再结合翻折的性质可得，易知，结合三角形内角和定理可得，然后由可推导，然后在中由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
由翻折可得，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、对顶角相等以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
36．30°
【分析】先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可．
【详解】解：∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形，
∴CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF＝45°，
设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE，
∴∠FDA＝∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°，
分类如下：
①当DE＝DB时，如图1所示：

∠B＝∠DEB＝2x°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x＝4x，
解得：x＝22.5°．
此时∠B＝2x＝45°，
∵AC＜BC，
∴∠B＝45°不成立；
②当BD＝BE时，如图2所示：

则∠B＝（180°﹣4x）°，∠CAD＝22.5°．
由∠CDE＝∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x＝2x+180°﹣4x，
解得x＝37.5°，
此时∠B＝（180﹣4x）°＝30°．
③DE＝BE时，则∠B＝（180﹣2x）°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x＝2x+（180﹣2x）°，
此方程无解．
∴DE＝BE不成立．
综上所述，∠B＝30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题考查翻折变换的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用．
37．4
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握等腰三角形的性质，一元一次方程的应用是解题的关键．
设运动的时间为，则，，由是以为底的等腰三角形，可知，即，计算求解即可．
【详解】解：设运动的时间为，则，，
∵是以为底的等腰三角形，
∴，即，
解得，．
故答案为：4．
38．4或6
【分析】首先求出的长，要使与全等，必须或，得出方程或，求出方程的解解答即可．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定的应用；熟练掌握全等三角形的判定和性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．
【详解】解：设经过x秒后，使与全等，
∵， ，点D为的中点，
∴厘米，
∵，
∴，
∴要使与全等，必须或，
即或，
解得：或，
时，，故点Q的速度为：；
时，，故点Q的速度为：；
即点Q的运动速度是4或6，
故答案为：4或6．
39．(1)；小
(2)2，理由见解析
(3)当或时，是等腰三角形
【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出，根据点的运动方向可判定的变化情况．
（2）假设，利用全等三角形的对应边相等得出，即可求得答案．
（3）假设是等腰三角形，分为三种情况：①当时，，根据，得出此时不符合；②当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出，根据三角形的内角和定理求出即可；③当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出．
【详解】（1）解：；
从图中可以得知，点从向运动时，逐渐变小；
故答案为：；小；
（2）解：，，
，
，
当时，；
（3）解：，
，
①当时，，
，
此时不符合；
②当时，即，
，
；
；
③当时，，
，
；
当或时，是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．
40．（1）；（2）11秒或12秒.
【分析】（1）由题意用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，即可求得t；
（2）根据题意用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，即可求得t的值．
【详解】
解：（1）由题意可知AP=t，BQ=2t，
∵AB=16，
∴BP=AB-AP=16-t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ，
即16-t=2t，解得t=，
∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形；
（2）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ=BQ，如图1所示，
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°．
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ，
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=10（cm），
∴BC+CQ=22（cm），
∴t=22÷2=11（秒）．
②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ=BC，如图2所示，
则BC+CQ=24（cm），
∴t=24÷2=12（秒）．
综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．掌握用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意结合方程思想进行分析．
41．A
【分析】首先根据非负数的性质即可得到关于a、b的方程组，接下来解方程组即可求出a、b的值，再分类讨论，可得结论．
【详解】解：根据题意得，，
∴，，
①当是腰时，三边分别为2、2、3，能组成三角形，
周长为：．
②当是腰时，三边分别为3、3、2，能组成三角形，
周长为：．
所以等腰三角形的周长7或8．
故选：A．
【点睛】本题考查非负数的性质，等腰三角形的性质等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想解决问题．
42．C
【分析】画出图形（见解析），分①和②两种情况，根据三角形的内角和定理、直角三角形的两个锐角互余求解即可得．
【详解】解：如图，在中，，是边上的高．

①当时，则，
，
；
②当时，
，
；
综上，这个等腰三角形一腰上的高与底边的夹角的度数为或，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形、三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
43．C
【分析】分两种情况，画出相应的图形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，结合等边三角形的判定和性质求出顶角度数，即可得到等腰三角形底角的度数．
【详解】解：当为锐角三角形时，作于点D，取的中点E，连接，如图：

则，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴；
当为钝角三角形时，作，交的延长线于点D，取的中点，连接，如图：

则，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上分析可知，此等腰三角形的底角的度数是或，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．
44．9cm或21cm
【分析】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的底边长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是否满足三角形的三边关系．
【详解】解：设该三角形的腰长是x cm，底边长是y cm．
根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27 cm和18 cm两部分，
∴或，
解得或，
经检验，都符合三角形的三边关系．
因此这个等腰三角形的腰长为9cm或21cm．
故答案为：9cm或21cm．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确两部分是哪一部分含有底边，所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
45．B
【分析】连接，证明，得，从而点P在射线上运动，再利用垂线段最短解决问题．
【详解】解：连接，
∵是等边三角形，
∴，

在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点P在射线上运动，
∴当时，的值最小，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，点的运动轨迹问题，证明点P在射线上运动是解题的关键．
46．A
【分析】连接，则的长度即为与和的最小值．再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，与交于点P，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
即就是的最小值，
∵是等边三角形，
∴，，又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质、等腰三角形的性质，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
47．B
【分析】先根据等边三角形的性质、线段和差可得，再连接，根据折叠的性质可得，从而可得的周长为，然后根据两点之间线段最短可得当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，由此即可得．
【详解】解：是等边三角形，且，
，
，
，
如图，连接，
由折叠的性质得：，
则的周长为，
由两点之间线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，
则周长的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
48．20
【分析】先确定点P是等腰对称轴上一点，再构造将军饮马模型得到的最小值为的长，从而使问题得到解决．
【详解】连接，

∵是等腰三角形，，是的角平分线，
∴所在直线为等腰对称轴，点B与点C关于对称，
∴，
∴，
即的最小值为的长．
∵是等边三角形，
∴，
∴的最小值为20．
故答案为：20．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题，涉及等腰三角形，等边三角形的性质，确定问题是将军饮马模型问题是解题的关键．
49．(1)见解析
(2)不变，
(3)当点C的坐标为时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形
【分析】（1）根据 “SAS”可判定，由全等三角形的性质可得出结论；
（2）由是等边三角形得，再由得，根据可得结论；
（3）先求得，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰，最后根据中，，求得，据此得到，即可得出点C的位置．
【详解】（1）∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）点C在运动过程中，的度数不会发生变化，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵△OBC≌△ABD，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴当点C的坐标为时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
50．(1)见解析
(2)不变，
(3)当点C的坐标为时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形
【分析】（1）根据 “SAS”可判定，由全等三角形的性质可得出结论；
（2）由是等边三角形得，再由得，根据可得结论；
（3）先求得，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰，最后根据中，，求得，据此得到，即可得出点C的位置．
【详解】（1）∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）点C在运动过程中，的度数不会发生变化，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵△OBC≌△ABD，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴当点C的坐标为时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
51．（1）见详解；（2）60°；（3）不变，
【分析】（1）由题意易得△OPB≌△APC，然后根据三角形全等的性质可求证；
（2）由（1）可直接进行求解；
（3）由题意易得∠EAO=60°，则有∠AEO=30°，进而根据直角三角形的性质可求解．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴AP=OP，∠APO=60°，
∵△PBC是等边三角形，
∴PB=PC，∠BPC=60°，
∵∠APB是公共角，
∴∠OPB=∠APC，
∴△OPB≌△APC（SAS），
∴OB=AC；
（2）解：由（1）可得△OPB≌△APC，
∴∠BOP=∠CAP，
∵∠BOP=60°，
∴∠CAP=60°，
故答案为60°；
（3）解：不变，AE=8，理由如下：
由（2）得：∠CAP=60°，
∵∠OAP=60°，
∴∠EAO=60°，
∴∠AEO=30°，
∵，
∴OA=4，
∴AE=2OA=8．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系与图形的综合、等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握平面直角坐标系与图形的综合、等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
52．(1)是等边三角形，理由见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）由得B与C关于y轴对称，推出，是等边三角形．
（2）连接，知，得，在的延长线上取点P，使，证明，，则结论得证．
（3）延长至F，使，连接，证，得，则结论得证．
【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵
∴，
∴B与C关于y轴对称，
∴是的中垂线，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
（2）解：连接，
由（1）知．
∴．
在的延长线上取点P，使．
设，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即平分．
（3）解：延长至F，使，连接．
∵M为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式、等边三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质与判定等知识点，添加辅助线、构造全等三角形是解题关键．
53．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键．
（1）首先根据条件证明，根据全等三角形的性质可得，进而可得到是等腰三角形；
（2）根据，可知，即可得出结论；
（3）由（2）知，再根据等腰三角形的性质即可得出的度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）证明：∵，
∴，
∴；
（3）解：由（2）知，
∵，
∴．
54．(1)见解析
(2)①26°；②，理由见解析
【分析】（1）根据，可以得出DE=DC，从而证得∠DEC=∠DCE；
（2）①设，分别找出在中各个角与的关系，再利用三角形内角和等于180°建立方程，解方程即可求得的值；
②先根据得到，再证明，从而得到，即可推算出．
【详解】（1）证明：∵，
∴EF=CF，
∴DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE；
（2）①解：如下图所示，设AD、EC交于点F，
∵AB=AC，AD⊥CE，
∴设，
∴，，
∵AC=BC，
∴，
又∵BE=CE，
∴，
∴在中，，
∴
∴
②答：∵
∴
∵
∴
由①：
在外，
在中，
∴
∴．
【点睛】本题考查三角形、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形、等腰三角形的相关知识．
55．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质可得，可得，根据等角的余角相等可得，即可得证；
（2）在上取，连接，证明，得，说明，证明，得，即可得证．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）在上取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
56．(1)见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】（1）由题意可知，利用其性质可得，根据进而可得，从而可得为等腰三角形；
（2）如图，延长，使得，可证明，可得，即，再利用线段和差关系即可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（2），理由如下：
如图，延长，使得，
∵为的中点，
∴
在与中，
，
∴（SAS），
∴，
又∵，
∴，
∴，即：
即：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用中点倍长中线构造全等三角形是解决问题的关键．
57．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证明为等边三角形，得到，再由三线合一定理得到，进而推出，由此即可证明结论；
（2）同理可得，进而利用等边对等角和三角形外角的性质得到，再根据三线合一定理得到，则，即为等腰三角形．
【详解】（1）证明：∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
（2）证明：同（1）可知，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，即为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．
58．(1)图见解析，，理由见解析
(2)为等边三角形，理由见解析
【分析】（1）以点A和点D为圆心，长为半径画弧，在右边相交于点E，连接即为所求；根据等边三角形的性质可得，则，进而得出，则，即可得出；
（2）根据题意画出图形，在上截取，使，连接，通过证明为等边三角形，进而得出，则，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图：即为所求，，理由如下：
∵、是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）为等边三角形，理由如下：
如图：在上截取，使，连接，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，则，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质、三角形全等的判定及性质、平行线的判定及性质，解题的关键是通过标出相应的角标找出角之间的关系，通过等量代换进行求解，熟练掌握并灵活运用等边三角形的性质和判定．
59．(1)
(2)直角
(3)或或
【分析】（1）先根据三角形内角和定理得到，再由等边三角形的性质推出，由旋转的性质可得，则；
（2）由旋转的性质可得，则是等边三角形，得到，由此求出，则，即可得到是直角三角形；
（3）分，，三种情况，根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，即可利用周角的定义求出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∵将绕点C顺时针方向旋转得，
∴，
∴，
故答案为：

（2）解：∵将绕点C顺时针方向旋转得，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角；
（3）解：当时，则，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或或时，是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理等等，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．
60．(1)
(2)见解析
(3)或6
【分析】（1）如图①中，设交于．首先证明，推出，再证明即可解决问题；
（2）如图②中，结论：．图③中，结论：；证明方法类似；
（3）分类图①，图③两种情形，分别求解即可．
【详解】（1）结论：．
理由：如图①中，设交于．
，都是等边三角形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图②中，结论：．图③中，结论：；
如图②中，，
，，
，
，
，
，
∵，
，
，
．
如图③中，同法可证；

（3）①如图①中，，
设，
，，
，
．
②如图③中，设，则，
，，
，
，
，
综上所述，或6．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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