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作业06 一元一次不等式（组）的含参问题
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：由一元一次不等式的解集求参数 】
（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）
1．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（23-24七年级下·全国·期末）
2．如果关于的不等式的解集为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）
3．已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0
（2023春·江苏·八年级统考期末）
4．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是 ．
（2024春·全国·八年级期末）
5．已知关于x的一元一次不等式与2﹣x＜0的解集相同，则m＝ ．
【题型二：由一元一次不等式组的解集求参数 】
（2025七年级下·河南·专题练习）
6．不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2025七年级下·全国·专题练习）
7．若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（23-24七年级下·江苏南通·期中）
8．不等式组的解集为，则a满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
（2025八年级下·全国·专题练习）
9．若不等式组的解集为，则的值为 ．
（2024春·广西贺州·八年级校考期中）
10．已知不等式组的解集为，则 ．
【题型三：由一元一次不等式有解或无解求参数 】
（23-24八年级上·浙江杭州·期中）
11．若不等式组有解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）
12．若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（24-25八年级下·河南郑州·期中）
13．如果不等式组无解，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2024春 中原区校级期中）
14．若关于的不等式组有解，则的取值范围为 ．
（2024春 都江堰市校级期中）
15．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围 ．
【题型四：由一元一次有最值解求参数 】
（2024春·江苏·八年级阶段练习）
16．若不等式的解集中所含的最大整数为，则a的范围为 ．
（2024春·安徽六安·八年级校联考期中）
17．关于x的不等式的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2024春·全国·八年级专题练习）
18．若关于x的不等式的最小整数解为5，则实数a的取值范围为 ．
（2024春·湖北武汉·八年级校考期末）
19．已知关于x的不等式x﹣a＜0的最大整数解为3a+6，则a＝ ．
（23-24七年级下·湖北武汉·期中）
20．若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为 ．
【题型五：利用不等式（组）整数解个数求字母的取值范围 】
（2025七年级下·安徽·专题练习）
21．关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2024·江苏南通·二模）
22．已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（24-25八年级下·宁夏银川·期中）
23．若关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（24-25七年级下·安徽合肥·期中）
24．已知关于x的不等式有三个非负整数解，则a的取值范围为 ．
（24-25八年级下·重庆·期中）
25．已知一次函数的图象不经过第四象限，且关于的不等式组至少有2个整数解，则所有满足条件的整数的值和为 ．
（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）
26．定义新运算为：对于任意实数a、b都有，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如．
(1)若，求的取值范围．
(2)若不等式组恰有三个整数解，求实数的取值范围．
【题型一：一元一次方程与不等式(组)综合求参数 】
（2023春·甘肃兰州·八年级校考期中）
27．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积为（ ）．
A．2 B．7 C．11 D．10
（24-25八年级下·江西萍乡·期中）
28．已知关于x的方程的解是非负数，求a的最小整数解．
（23-24七年级下·四川自贡·阶段练习）
29．已知不等式的最小整数解是方程的解．求m的值．
（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）
30．已知关于x的方程的解是非负数．
(1)求m的取值范围；
(2)当m取最大整数时，求关于x的不等式：的最小整数解．
（24-25七年级下·全国·课后作业）
31．若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求的值．
【题型二：二元一次方程组与不等式(组)综合求参数 】
（23-24七年级下·江苏无锡·期末）
32．若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2024·山东东营·二模）
33．若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ．
（24-25八年级下·甘肃白银·期中）
34．已知关于x、y的方程组的解满足，求k的取值范围
（24-25八年级下·河南郑州·期中）
35．已知方程组的解满足，
(1)求的取值范围；
(2)求为何整数时，不等式的解集为？
（23-24八年级上·浙江杭州·期中）
36．已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）．
（1）若该方程组的解x，y满足，则k的取值范围为 ．
（2）若该方程组的解x，y均为正整数，且，则该方程组的解为 ．
【题型一： 新定义问题与不等式综合求参数 】
（24-25八年级下·陕西·期中）
37．对于任意实数p、q，定义一种新运算：，例如．已知，求的取值范围．
（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）
38．定义：若一个方程（组）的解也是一个一元一次不等式的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式的“友好解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”．
(1)方程的解一元一次不等式的“友好解”；（填“是”或“不是”）
(2)若关于x，y的方程组的解是不等式的“友好解”，求k的取值范围；
(3)方程的解是不等式的“友好解”，求m的最小整数值．
（23-24七年级下·全国·期中）
39．规定新运算：，其中、是常数．已知，．
(1)求、的值；
(2)若，求，的值；
(3)若，，且，求的最小整数值．
（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）
40．已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”.
(1)已知①，②，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”；
(2)若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围；
(3)若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围.
（2023春·四川泸州·八年级统考期末）
41．对于实数x，y，定义新运算：当时，；当时，，其中a，b是常数，且，等式右边是通常的加法和乘法运算．
(1)若，求的值；
(2)已知，且，求a，b的值；
(3)在（2）问的条件下，若关于p的不等式组恰有2个整数解，求m的取值范围．
试卷第1页，共3页
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《暑假作业06 一元一次不等式（组）的含参问题（八大题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（北师大版）》参考答案：
1．C
【分析】根据不等式的性质可知两边同时除以的数是负数即可求解．
【详解】解：根据题意得，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了不等式的性质， 解题关键是掌握不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向发生改变．
2．C
【分析】根据不等式的解集为，可得方程，再解方程即可．
【详解】解：关于的不等式的解集为，
，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据不等式的解集情况求参数，解一元一次方程，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3．A
【分析】先根据不等式的基本性质及此不等式的解集判断出k﹣4的符号，再求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，，
∴a﹣1＜0，
∴a＜1，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的不等式是解题关键．
4．.
【分析】不等式的解集是，判断出a＜0且则可以得到，得到再解出不等式的解集即可．
【详解】解：∵不等式的解集是
根据不等式的性质可知，当时，不等式的解集为不符合题意
∴可以判断出，即不等式的解集为
∴，即且
即，则
∴不等式的解集为
故答案为：.
【点睛】本题考查了不等式的解集，熟悉不等式的性质是解题的关键．
5．
【分析】首先计算出两个不等式的解集，再根据题意可得-6m+6=2，再解即可．
【详解】解：∵2﹣x＜0
∴x＞2
3x-6m+12＜4x+6，
解得：x＞-6m+6，
∵关于x的一元一次不等式与2﹣x＜0的解集相同
∴-6m+6=2，
解得：
故答案为：
【点睛】此题主要考查了不等式的解集，关键是正确确定两个不等式的解集．
6．C
【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，根据同大取大，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵不等式组的解集是，
∴，
解得．
故选：C．
7．A
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
用含m的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是，
．
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了求不等式组解集，先解不等式组，根据不等式组的解集为，以及“同小取较小”的原则，求得a取值范围即可．
【详解】解不等式组得，
．
故选：D．
9．
【分析】本题考查了不等式组的解法以及二元一次方程组的解法，正确利用a和b表示出不等式组的解集是关键．
首先解不等式组，利用a和b表示出不等式组的解集，然后得到关于a和b的方程组，从而解答a、b的值，代入求解．
【详解】解：由得
∵不等式组的解集为，
∴
解得．
∴．
故答案为：．
10．1
【分析】先求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于的方程，然后求出的值，最后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以不等式组的解集是，
∵不等式组的解集为，
∴，解得，
∴．
故答案为：1.
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法、解二元一次方程以及代数式求值，根据不等式组的解集列出关于的方程是解题的关键．
11．B
【分析】本题主要考查了不等式组有解情况．熟练掌握不等式组的解集的确定的四种情况：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题的关键．
求出第一个不等式的解集，再根据不等式组有解，得出m的范围即可．
【详解】解：解不等式得，，
∵不等式组有解，，
∴．
∴．
故选：B．
12．C
【分析】本题考查的是不等式组含参数问题．首先分别解两个不等式，然后根据不等式组无解得到，进而求解即可．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，，
不等式组无解，
，
解得，
故选：C．
13．B
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出的范围是解题的关键．先求出不等式的解集，根据不等式组无解，即可求出答案．
【详解】解：，
解不等式①，可得 ，
解不等式②，可得 ，
若不等式组无解，
则有．
故选：B．
14．
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式组有解得出，再求出不等式的解集即可．
【详解】解：解不等式，得，
关于的不等式组有解，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于的不等式是解此题的关键．
15．##
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组无解进行求解即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组无解，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不等式组无解的无解的问题，正确求出两个不等式的解集，再根据大小小大无解进行求解即可．
16．-3≤a＜-．
【分析】先求出不等式的解集，根据解集中所含的最大整数为4，求出a的取值范围即可．
【详解】2x<1-3a，
x＜，
∵解集中所含的最大整数为4，
∴4＜≤5，
解得：-3≤a＜-，
故答案为-3≤a＜-．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解的应用，解此题的关键是能求出关于a的不等式组，难度适中．
17．A
【分析】解出不等式，然后根据不等式的最小整数解为2，即可列出关于m的不等式，从而求出m的取值范围．
【详解】解：解不等式，得，
∵不等式的最小整数解为2，
，
解得，故A正确．
故选：A．
【点睛】此题主要考查的是含参数的一元一次不等式，掌握根据不等式的最小整数解求参数的取值范围是解决此题的关键．
18．
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．先将a看作常数解不等式，根据最小整数解为5，得，解出即可．
【详解】解：解不等式得，
∵不等式的最小整数解为5，
∴，
∴，
故答案为：．
19．
【分析】求出不等式的解集，根据已知得出，求出，设，则，得出不等式组，求出即可．
【详解】解：解不等式得：，
关于的不等式的最大整数解为，
，
解得：，
为整数，
设，则，
即，
解得：，
为整数，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，解此题的关键是得出关于的不等式组．
20．
【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据不等式的最小整数解是方程的解，来求得a的值．
【详解】解：∵，
∴,
∴，
∴不等式的最小整数解是，
∵是方程的解，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
21．C
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，正确求出不等式组的解集，并能够根据不等式组的整数解的个数确定参数的取值范围是解题的关键．
先解出不等式组的解集，再根据不等式组有3个整数解确定a的取值范围即可．
【详解】解：由题意可知
不等式组的解集为，
不等式组的整数解有3个，
整数解为2，3，4，
则的范围是．
故选：C．
22．C
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值．
【详解】解：，
解①得，
解②得．
则不等式组的解集是．
∵解集中至少有5个整数解
∴整数解为：-1,0,1,2,3．
∴．
整数a的最小值是4．
故选C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键．
23．C
【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解即可．结合分式有意义的条件，解答即可，
本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．
【详解】解：∵
∴不等式组的解集为，
∵不等式组恰好有3个整数解，分别为，
∴，
故选：C．
24．
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解；先求出不等式的解集，再根据有三个非负整数解得出关于的不等式，进而求解即可.
【详解】解：解不等式得：，
∵关于的不等式有三个非负整数解，
∴这三个负整数解是0，1，2，
∴，
∴，
故答案为：．
25．9
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一元一次不等式组的整数解．由一次函数图象不经过第四象限，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由关于x的不等式组至少有2个整数解，即可求出a的取值范围，进而可确定a的取值范围，再将其内的整数值相乘即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数的图象不经过第四象限，
∴，
解得：，
解不等式组，
得：，
又∵关于x的不等式组至少有2个整数解，
∴，
解得：．
综上，
∴所有满足条件的整数a值之和为．
故答案为：9．
26．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元一次不等式、一元一次不等式组，熟练掌握不等式和不等式组的解法是解题关键．
（1）根据新运算的定义可得，从而可得，解不等式即可得；
（2）根据新运算的定义可得不等式组，分别解两个不等式，再根据不等式组恰有三个整数解可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得．
【详解】（1）解：由题意得：，
∵，
∴，
解得：．
（2）解：由题意得：，
，
∴不等式组可转化为，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵这个不等式组恰有三个整数解，
∴，
解得．
27．D
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出m的范围，由方程有非负整数解，确定出m的值，求出之积即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得，
由解集为，得到，即，
方程去分母得：，即，
由为非负整数，结合且为整数，
∴或，
∴符合条件的所有整数m的积为，
故选D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
28．a的最小整数解为1
【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，解一元一次不等式，解题的关键是正确解出一元一次方程，根据题意得到一元一次不等式并正确解出不等式．解出关于的方程，根据题意列出关于的一元一次不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：去分母，得，
去括号，得，
移项，化简，得，
∴．
∵原方程得解为非负数，
∴，
∴，
∴a的最小整数解为1．
29．
【分析】此题考查的是一元一次不等式的解，将x的值解出再代入方程即可得出a的值．先将不等式化简求出x的取值，然后取x的最小整数解代入方程，化为关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值．
【详解】解：由得，，
所以最小整数解为，
将代入中，
解得．
30．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，熟练掌握方程和不等式的解法是解题关键．
（1）先解一元一次方程求出方程的解，再根据建立不等式，解不等式即可得；
（2）先根据（1）的结果求出的值，再代入解一元一次不等式即可得．
【详解】（1）解：，
，
解得，
关于的方程的解是非负数，
，即，
解得．
（2）解：，且取最大整数，
，
代入得：，
，
，
，
解得，
∴不等式：的最小整数解为．
31．
【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，一元一次方程组的解，解题的关键是明确一元一次不等式的解法．
解不等式求得它的解集，从而可以求得它的最小整数解，然后代入方程方程，进而求解即可．
【详解】解：
解得，
∴最小整数解为4，
将代入，得，
∴，
∴．
32．A
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，把方程组中两个方程相加可得，再根据，可得，解不等式即可得到答案．
【详解】解：
得：，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选：A．
33．
【分析】根据、是二元一次方程组的解可知的解，最后解一元一次不等式即可．
【详解】解：∵、是二元一次方程组的解，
∴，
∵关于、的二元一次方程组的解满足，
∴，
∴解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了二元一次方程，一元一次不等式，掌握二元一次方程组及一元一次不等式的相关概念是解题的关键．
34．
【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法和一元一次不等式的求解，掌握整体求解的方法是关键；
方程组中的两个方程相加，整理可得，结合已知可得，解不等式即可.
【详解】解：方程组中的两个方程相加得：，
，
，
，
.
35．(1)
(2)或0
【分析】本题主要考查加减消元法，不等式的性质，掌握二元一次方程组的计算，不等式的性质是关键．
（1）运用加减消元法得到，结合题意，运用不等式的性质即可求解；
（2）根据题意，由不等式，得，由解集为，得到，结合不等式的性质即可求解．
【详解】（1）解：两个方程相加可得，
则，
根据题意，得：，
解得，
即的取值范围是；
（2）解：由不等式，得，
不等式的解集为，
，得，
又，且为整数，
即的值是或0．
36．
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组，解题的关键是得出关于k的不等式．
（1）将方程组中的两个方程相加，即可得到用含k的代数式表示出，然后根据，即可求得k的取值范围
(2)先用含k的式子表示出方程组的解，再根据x，y均为正整数，且，即可得到该方程组的解．
【详解】解：（1）
①+②，得
，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）由解得
，
∵均为正整数，且，
∴当时，；
当时，，不合题意，舍去；
当时，，不符合题意，都舍去，
由上可得，该方程组的解为．
故答案为：．
37．
【分析】此题考查了实数的运算，以及一元一次不等式的求解，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用题中的新定义列出不等式组求出结果即可．
【详解】解：，
，
，即为，
解得．
38．(1)是
(2)
(3)6
【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键：
（1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可；
（2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于k的不等式，求解即可；
（3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出m的范围，进而求出m的最小整数值即可．
【详解】（1）解方程，解得，
解不等式，解得，
满足不等式，
方程的解是一元一次不等式的“友好解”，
故答案为：是；
（2）解：，
由②－①，得．
由，得，
∴，解得；
（3）解：解方程，得．
由题意，得是不等式的“友好解”，
∴，解得，
∴m的最小整数值为6．
39．(1)，；
(2)，
(3)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
（1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可；
（2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可；
（3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最小整数解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
，
①②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：；
（2）解：由（1），，
∴，
，
，
①②，得，
解得：，
把代入②，得，
解得：；
（3）解：，，，
，
①②，得，
，
，
，
的最小整数值是．
40．(1)②
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组，二元一次方程组等知识，正确理解“完美解”的含义，是解答本题的关键．
（1）根据“完美解”的定义代入计算即可判断；
（2）将上述两个方程相加可得：，再根据“完美解”得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可求解；
（3）根据题意可得，即可得，，问题随之得解．
【详解】（1）解：由，得：，
①，则方程的解不是不等式①的“完美解”；
②，则方程的解是不等式②的“完美解”；
（2）解：，
将上述两个方程相加可得：，
即有，
∵是方程组与不等式的一组“完美解”，
∴，
解得：，
（3）解：根据题意有：，
解得：，，
∴，
即的取值范围为：．
41．(1)11；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式组等知识，理解题意是解题的关键．
（1）根据新定义运算即可求出答案；
（2）根据新定义运算列出方程组即可求出与的值；
（3）根据不等式组的解法以及新定义运算即可求出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴
∵，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：由（2）知：，
∵，
∴，
∴，
解得：
∵不等式组恰好有2个整数解，
∴恰好有2个整数解为，
∴．
答案第1页，共2页
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