资源简介

完成时间： 月 日 天气：
作业13 分式的运算&分式方程的计算题
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：分式的乘除运算】
（24-25八年级下·全国·课后作业）
1．计算：
(1)；
(2)．
（24-25八年级下·全国·课后作业）
2．计算：
(1)；
(2)．
（24-25八年级上·山东济南·期中）
3．计算
(1)
(2)
（24-25八年级下·全国·课后作业）
4．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
（2025八年级下·全国·专题练习）
5．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
（2025七年级下·全国·专题练习）
【题型二：含乘方的分式的乘除混合运算 】
6．计算：
(1)；
(2)．
（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）
7．计算下列各题：
(1)；
(2)．
（23-24八年级上·西藏拉萨·期末）
8．计算：
(1)
(2)
（23-24八年级下·全国·课后作业）
9．计算：
(1)
(2)
(3)
（2025八年级下·全国·专题练习）
10．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【题型三：分式的加减运算 】
（2025七年级下·全国·专题练习）
11．计算：
(1)；
(2)．
（23-24八年级下·江苏无锡·期中）
12．计算：
(1)；
(2)．
（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）
13．计算：
(1)；
(2)．
（24-25八年级下·江苏扬州·期中）
14．计算：
(1)；
(2)．
（21-22八年级上·全国·课后作业）
15．计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【题型四：解分式方程 】
（2025·福建南平·二模）
16．解分式方程：．
（2025·福建福州·三模）
17．解分式方程：．
（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）
18．解方程：
(1)
(2)
（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）
19．解分式方程：
(1)；
(2)．
（20-21八年级上·江苏南通·阶段练习）
20．解方程：
（1） （2）
【题型一：分式的混合运算 】
（23-24八年级下·江苏常州·期末）
21．计算：
(1)；
(2)．
（2025八年级下·全国·专题练习）
22．化简：
(1)；
(2)．
（2025七年级下·浙江·专题练习）
23．计算：
(1)；
(2)．
（24-25八年级上·山东烟台·期中）
24．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
（24-25八年级下·全国·课后作业）
25．化简：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【题型二：分式的化简求值 】
（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）
26．先化简，再求值计算：，其中，
（23-24八年级下·广东汕尾·阶段练习）
27．先化简，后求值：，当代入求值．
（23-24八年级下·全国·单元测试）
28．先化简．再求值：已知，求的值．
（23-24八年级下·江西吉安·期末）
29．先化简：，并在1、、0、2四个数中选择一个适合的数作为x的值代入求值．
（23-24八年级上·全国·单元测试）
30．化简求值：，其中a，b满足.
【题型二：分式的化简求值 】
（21-22八年级下·上海奉贤·期中）
31．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（ ）
A．； B．； C．； D．．
（21-22八年级下·上海徐汇·期末）
32．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可以化为关于y的整式方程是 ．
（22-23八年级下·上海·阶段练习）
33．用换元法解分式方程，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是 ．
（2024秋 仁寿县校级月考）
34．若，则=( )
A．1 B． C． D．2
（2024秋 湘潭县期末）
35．阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程：－＝0.
解：设y＝，则原方程可化为y－＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，解得y1＝2，y2＝－2.
经检验，y1＝2，y2＝－2都是方程y－＝0的解．
当y＝2时，＝2，解得x＝－1；当y＝－2时，＝－2，解得x＝.
经检验，x1＝－1，x2＝都是原分式方程的解．所以原分式方程的解为x1＝－1，x2＝.
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
(1)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________；
(2)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________；
(3)模仿上述换元法解方程：－－1＝0.
【题型二：分式方程与新定义问题 】
（2025八年级下·河南郑州·专题练习）
36．新定义 对于实数a、b，定义一种新运算“ ”为：，这里等式右边是实数运算．按此规定，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
（2025七年级下·浙江·专题练习）
37．设，我们用符号表示两数中较小的一个，如，按照这个规定：方程的解为（　　）
A． B． C．或 D．
（2025·黑龙江哈尔滨·三模）
38．对于实数m、n，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为 ．
（2025·江苏常州·二模）
39．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是 ．
（24-25八年级下·四川资阳·期中）
40．如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”．（直接判断是否即可，无需书写过程）
；
；
(2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值；
(3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《暑假作业13 分式的运算&分式方程的计算（8大题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（北师大版）》参考答案：
1．(1)；
(2)．
【分析】本题主要查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解题的关键．
（1）根据分式的乘法法则计算，即可；
（2）根据分式的除法法则计算，即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
2．(1)
(2)
【分析】（）根据分式的乘法法则计算即可；
（）根据分式的除法法则计算即可；
本题考查了分式的乘除运算，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
3．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分式的除法计算，分式的乘除法计算：
（1）先把两个分式的分子和分母都分解因式，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案；
（2）先把第一个分式的分子分解因式，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
4．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）原式约分即可得到结果；
（2）原式先计算乘方运算，再利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（3）原式约分即可得到结果；
（4）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）原式 ；
（3）原式 ；
（4）原式 ．
5．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则以及积的乘方，本题属于基础题型．
（1）根据分式的乘法法则计算即可求出答案．
（2）根据分式的除法法则计算即可求出答案．
（3）根据分式的乘法法则计算即可求出答案．
（4）根据分式的除法法则计算即可求出答案．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
（3）解：原式．
（4）解：原式
．
6．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分式的乘除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先计算乘方，再计算乘法即可；
（2）先计算乘方，再计算除法即可．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式.
7．(1)
(2)
【分析】本题考查的是分式的除法与乘法运算，掌握运算法则是解本题的关键；
（1）先计算乘方运算，再把除法化为乘法运算，再约分即可；
（2）先把分式的分子与分母先分解因式，再约分即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
8．(1)
(2)
【分析】此题考查了分式的混合运算．
（1）先计算分式的乘方，再计算乘除法即可；
（2）把分式的除法变为乘法计算即可．
【详解】（1）解：原式=
；
（2）解：原式=
9．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则，运算顺序是解题的关键．
（1）先把除法变成乘法，再利用分式的乘法法则计算；
（2）先算乘方，再算分式的乘法即可；
（3）先因式分解，把除法变乘法，再利用分式的乘法法则计算．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
10．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】此题考查的是分式的乘除法，掌握其运算法则是解决此题的关键．
（1）（2）（3）（4）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
11．(1)
(2)
【分析】此题考查了同分母分式减法，根据同分母分式减法法则计算即可．
（1）根据同分母分式减法法则计算，再约分即可；
（2）根据同分母分式减法法则计算，再约分即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
12．(1)
(2)
【分析】本题考查了分式加减运算：同分母分式的加减法是分母不变，分式相加减；异分母分式的加减法运算通过通分转化为同分母的加减运算．
（1）根据同分母相加减，分母不变，分子相加减，即可得出答案；
（2）先把分式的分子与分母进行因式分解，再化成同分母分式，然后进行约分，即可得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
13．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分式的加减计算，熟知分式的加减计算法则是解题的关键．
（1）先把第一个分式的分子利用完全平方公式展开，再根据同分母分式减法计算法则求解即可；
（2）先通分，再把分子合并同类项后约分即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
14．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分式的减法计算，熟知分式的减法计算法则是解题的关键．
（1）直接根据同分母分式减法计算法则求解即可；
（2）先把两个分式通分，再把分子相加后约分化简即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
15．（1）1；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）原式各项利用同分母分式的加减法则，约分计算即可．
（2）原式各项利用同分母分式的加减法则计算即可．
（3）原式各项利用同分母分式的加减法则，约分计算即可．
（4）原式各项利用同分母分式的加减法则，约分计算即可．
【详解】解：（1）原式1；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，再移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，再检验即可得到答案．
【详解】解：方程两边乘得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：当时，，
所以原分式方程的解为．
17．
【分析】本题考查了解分式方程.
先去分母化为整式方程，再解方程，最后检验即可.
【详解】解：
解得
经检验，当时，，
所以解为.
18．(1)
(2)无解
【分析】本题考查解分式方程．去分母，把分式方程正确化成整式方程是解决问题的关键．
（1）方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解；
（2）方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．
【详解】（1）解：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为：；
（2）解：
，
解得：，
经检验：是增根，
∴原方程无解．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解答本题的关键．
（1）方程两边同乘以，得整式方程，求出整式方程的解，再进行检验判断即可；
（2）方程两边同乘以，得整式方程，求出整式方程的解，再进行检验判断即可
【详解】（1）解：；
两边同时乘，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是分式方程的解．
（2）解：．
两边同时乘，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是分式方程的解．
20．（1）无解；（2）x=3
【分析】（1）先两边同时乘以得：，然后解整式方程，最后进行检验即可；
（2）先两边同时乘以得，然后解整式方程，最后进行检验即可．
【详解】解：（1）
两边同时乘以得：，
∴，
∴，
∴，
经检验不是原方程的解，
∴此方程无解；
（2）即，
两边同时乘以得，
∴，
∴，
解得，
经检验是原方程的解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握解分式方程的方法．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查的是分式的加减运算，分式的混合运算；
（1）先把分式化为同分母的分式，再计算即可；
（2）先计算括号内分式的减法运算，再把除法运算化为乘法运算，约分即可.
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
22．(1)
(2)
【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）将括号内分式进行通分化解，然后因式分解化简即可；
（2）将括号内分式进行通分化解，将除法换算成乘法，对分式进行化简求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
23．(1)
(2)
【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握分式的性质是关键．
（1）根据分式的性质把整理得，再结合分式的混合运算法则计算即可；
（2）根据分式的性质把整理得，再结合分式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分式的运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）根据分式的加减计算法则求解即可；
（2）先计算乘方，再根据分式的乘除混合计算法则求解即可；
（3）先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，再进行约分即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
25．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是按照分式的混合运算顺序先进行乘方运算，然后是乘除运算，最后进行加减运算，有括号先算括号里面的．
（1）把除法变成乘法，再约分计算；
（2）先算括号里面的，再把除法变成乘法约分计算；
（3）先算括号里面的，再约分计算；
（4）先算括号里面的，再把除法变成乘法约分计算；
【详解】（1）解：
=
=；
（2）解：
=
=
=
=；
（3）
=
=
=
=；
（4）
=
=
=
=
=
=
26．，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意把分式化为最简形式，再代入求值．先根据分式的除法法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式，
当，时，原式．
27．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的乘除混合运算法则化简，再把代入进行分母有理化，即可得到答案，熟知分式的混合计算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，原式．
28．，-2
【分析】根据分式乘法法则化简再代入a的值计算．
【详解】原式＝
=，
∵
∴原式=-2．
【点睛】本题主要考查的是分式乘法法则等知识，熟练掌握是本题的解题关键．
29．，
【分析】本题考查的是分式的除法运算及化简求值，先化简计算，再选取合适的值代入计算即可．
【详解】解：
，
，
当时，．
30．
【分析】首先对括号内的式子进行通分相减，除法转化为乘法计算，解方程组求得a、b的值，然后代入求解．
【详解】解：原式＝÷－
＝－·－
＝－
＝－．
∵a，b满足
∴,
∴原式＝－＝－．
【点睛】此题主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
31．A
【分析】把代入原方程，得出，再进行整理即可．
【详解】解：整理，得
，
把代入方程得：
，
整理得：，
故选 A．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握利用换元法，把一个式子做为整体进行替换，将分式方程化简为一元二次方程．
32．
【分析】设，则 把原方程化为再去分母，再整理为一元二次方程的一般形式即可．
【详解】解：设，则
∴可化为：
去分母得：
整理为：
故答案为：
【点睛】本题考查换元法解分式方程，理解换元法的方法是解决问题的关键．
33．
【分析】换元后，再化成整式方程即可．
【详解】解：若设，
则，
则原方程可化为，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查换元法解分式方程，理解换元法的意义是解决问题的关键．
34．A
【分析】令，将，转化为一元二次方程进行计算即可．
【详解】解：，则原式化为：，
，
，
解得：；
∴．
故选A．
【点睛】本题考查解分式方程．解题的关键是利用换元法将分式方程转化为一元二次方程．
35．（1）；（2）；（3）x＝－.
【分析】（1）将所设的y代入原方程即可；
（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设y＝，将原方程化为y ＝0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
【详解】（1）将y＝代入原方程，则原方程化为 ＝0；
（2）将y＝代入方程，则原方程可化为y ＝0；
（3）原方程可化为－＝0，设y＝，则原方程可化为y－＝0，
方程两边同时乘y，得y2－1＝0，解得y1＝1，y2＝－1，
经检验，y1＝1，y2＝－1都是方程y－＝0的解；
当y＝1时，＝1，该方程无解；当y＝－1时，＝－1，解得x＝－，
经检验，x＝－是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为x＝－.
【点睛】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．
36．A
【分析】本题主要考查了新定义，解分式方程，根据新定义可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：根据题意，得，
∴
∴，
∴
解得，
经检验是分式方程的解．
故选A．
37．B
【分析】本题考查了解分式方程，新定义，根据题意分当和当列出分式方程，然后解分式方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：当，即时，
方程化为：，解得：，
经检验:是分式方程的解；
当，即时，
方程化为：，解得：（不合题意，舍去）；
综上，方程的解为，
故选：．
38．
【分析】本题是新定义题型，主要考查了解分式方程，正确理解新定义法则是关键；
根据新定义的法则可得关于x的方程，解方程并检验后即得答案．
【详解】解：根据题意：方程即为：，
即，
去分母得：，
解得：，
经检验：是原方程的解；
故答案为：．
39．
【分析】本题主要考查了解分式方程、新定义运算等知识，正确理解新定义运算是解题关键．根据题意确定关于的分式方程，再在等号两边同时乘以，将分式方程化为一元一次方程，求解并检验，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，可得，
等号两边同时乘以，，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得
经检验，是该方程的解，
∴该方程的解为．
故答案为：．
40．(1)不是，是
(2)
(3)或
【分析】（）根据“关联数对”定义分别判断即可；
（）根据“关联数对”定义得到，然后求解即可；
（）根据“关联数对”定义得到，然后根据k为整数求解即可．
本题考查了新定义，分式方程的解，解分式方程，理解“关联数对”的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：若，，则分式方程的解为无解，不符合“关联数对”的定义，
∴不是关于的分式方程的“关联数对”；
若，，分式方程的解为，符合“关联数对”的定义，
∴是关于的分式方程的“关联数对”；
（2）解：∵数对是关于的分式方程的“关联数对”，
∴，
∴，
整理得：，
解得：；
（3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，
∴，，
∴，
∴，
∴
∵k为整数
∴m为整数
∴为整数
∴或，
解得或或0或1．
∵，
∴，
∵且，
∴或．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，分式方程的解，解分式方程，理解“关联数对”的定义是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑