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作业14八下解分式方程与计算题专练
题型一、分式的约分、通分
1．（1）通分：和；（2）约分：
2．计算．
(1)约分： ；
(2)通分：，．
3．（1）约分：；
（2）通分：，．
4．已知，求分式的值．
5．已知（其中），求分式的值．
题型二、分式的混合运算与化简求值
6．计算：
(1)
(2)
7．计算
(1)；
(2)．
8．计算：
(1)；
(2)．
(3)先化简，再求值：，其中．
9．先化简，再求值：，其中a从1，2，3中选一个恰当的数代入求值．
10．先化简，再求值：，请从0，1，2，3，中选取一个你认为合适的整数作为a的值，再代入求值．
题型三、分式方程
11．解方程：
(1)；
(2)．
12．解方程．
(1)；
(2)．
13．解方程：
(1)；
(2)．
14．解方程
(1)；
(2)．
15．解方程
(1)
(2)
16．计算：
(1)
(2)
17．计算：
(1)．
(2)
18．计算
(1)
(2)
19．计算
(1)
(2)
20．计算：
(1)
(2)
题型五、分母有理化
21．比较与的大小可以采用下面的方法：
；
．
显然，所以．
仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题：
(1)猜想：与的大小关系；
(2)尝试计算：．
22．阅读材料：像，，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．其中一个是另一个的有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．如，．
像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
(1)解决问题：的有理化因式是 ，分母有理化，得 ；
(2)已知，求的值；
(3)利用上述知识比较代数式与的大小．
(4)计算：．
23．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，我们可以将其进一步化：．这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：
(1)化简：．
(2)若a是的小数部分，求的值．
(3)矩形的面积为，一边长为，求它的周长．
24．先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：．请完成下列问题：
(1)的有理化因式是_____；_____．
(2)利用这一规律计算：的值．
25．探究：
观察下列等式：
；
；
；
……
解答下列问题：
(1)模仿：化简：__________，__________．
(2)拓展：比较和的大小．
(3)运用：计算
题型六、二次根式的化简求值
26．已知，求的值．
27．已知：，分别求下列代数式的值：
(1)
(2)
28．（1），，求代数式的值．
（2）先化简，再求值．
，其中，．
29．先化简，再求值：，其中．
30．先化简，再求值：，其中．
试卷第1页，共3页
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《暑假作业14 八下解分式方程与计算题专练（6大题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（苏科版）》参考答案：
1．（1）；；（2）
【分析】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式．
（1）找出两分母的最简公分母，通分即可；
（2）原式变形后，约分即可得到结果．
【详解】解：（1）；
（2）原式．
2．(1)
(2)，
【分析】本题主要考查了分式的约分和通分，熟知约分和通分的计算法则是解题的关键．
（1）分别把分子和分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案；
（2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行通分即可．
【详解】（1）
；
（2），
，
，
3．（1）；（2），
【分析】本题主要考查了分式的约分和通分，熟知约分和通分的计算法则是解题的关键．
（1）分别把分子和分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案；
（2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行同分即可．
【详解】解（1）
；
（2）∵，，
∴，．
4．
【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键；根据题意先对分式进行化简，然后再代入求值即可．
【详解】解：由条件可知，因此．
原式
．
另解：∵，∴，
∴
．
5．
【分析】本题考查求分式的值．设，即可得到，代入分式即可求解．
【详解】解：设，
则，
∴．
6．(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据同分母分式的加减法法则计算即可；
（2）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简．
【详解】（1）解：原式
（2）原式
7．(1)
(2)
【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
（1）先算乘方，再算乘除即可；
（2）先算括号里面的，再算除法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
8．(1)1
(2)
(3)，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式的混合计算，分式的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）根据分式的加法计算法则求解即可；
（2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案；
（3）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，接着把最右边的分式约分，最后计算分式加法化简并代值计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
当时，原式．
9．，
【分析】本题考查了分式的化简与求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．先利用分式的运算法则化简，再根据分式有意义的条件得出且，所以选择代入求值即可．
【详解】解：
，
且，
代入，原式．
10．，当时，原式；当时，原式；当时，原式．
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
【详解】解：


，
∵，
∴，
∴当时，原式；
当时，原式；
当时，原式．
11．(1)
(2)无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键．
（1）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可；
（2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可．
【详解】（1）解：
方程两边同乘，得，
解这个一元一次方程，得，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
（2）解：
方程两边同乘，得，
解这个一元一次方程，得，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
12．(1)
(2)
【分析】本题考查了分式方程的计算，熟知运算法则是解题的关键．
（1）先去分母，再计算一元一次方程即可；
（2）先去分母，再计算一元一次方程即可．
【详解】（1）解：，
方程两边同乘，得，
解得：，
检验：时，，
∴是该分式方程的解；
（2）解：
方程两边同乘，得，
解得：，
检验：时，，
∴是该分式方程的解．
13．(1)
(2)原方程无解
【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
（1）根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可；
（2）根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．
【详解】（1）解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴分式方程的解为；
（2）解：去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
14．(1)
(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根．
（1）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：，
去分母得，，
解得，，
经检验，是分式方程的解；
（2）解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项合并得，
解得，，
经检验是增根，分式方程无解．
15．(1)
(2)无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：
方程两边同时乘以，得：
，
经检验，当时，，
所以，是原分式方程的解；
（2）解：
方程两边同时乘以，得：
，
经检验，当时，，
所以，是原分式方程的增根，
所以，原分式方程无解．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式混合运算法则进行解答即可；
（2）根据平方差公式、完全平方公式及二次根式混合运算法则进行解答即可．
本题考查二次根式的混合运算及平方差公式和完全平方公式的应用，解题关键是掌握二次根式的混合运算法则．
【详解】（1）解：
；
（2）解：原式
．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
（1）先根据二次根式的乘除法法则运算，然后合并即可；
（2）先化简二次根式及绝对值，然后合并即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．(1)
(2)1
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
（1）先利用二次根式的性质化简，再计算加减法即可；
（2）利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
（2）原式
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再去括号后计算二次根式乘法，最后计算加减法即可得到答案；
（2）根据二次根式的乘除法计算法则求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解；
．
20．(1)；
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的性质和化简，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；
（1）先化简二次根式，先计算乘除法，再计算加减法即可；
（2）先计算乘除法，再化简二次根式．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
21．(1)
(2)9
【分析】此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
（1）根据阅读材料中的方法将两式化简，即可做出比较；
（2）原式变形后，计算即可得到结果．
【详解】（1）解：，．
显然，
所以．
所以
（2）解：
22．(1)，；
(2)
(3)
(4)2023
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值，熟知分母有理化的方法是解题的关键．
（1）仿照题意找出各式的分母有理化因式即可；
（2）先对分母有理化，再根据计算求解即可；
（3）分别把和分母有理化，然后比较出二者分母有理化的结果即可得到答案；
（4）先证明，再把所求式子裂项求解即可．
【详解】（1）解：，，
的有理化因式是，分母有理化，得；
故答案为：，；
（2）解：
，
∴
；
（3）解：
，
，
∵，且，
∴；
（4）解：
，
∴
．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查估算无理数的大小、二次根式的混合运算、二次根式的应用，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
（1）根据题目中的例子可以解答本题；
（2）根据题意，可以得，可以求得所求式子的值；
（3）根据题意，可以求得矩形的另一边长，从而可以求得该矩形的周长．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵a是的小数部分，，
∴，
；
（3）解：∵矩形的面积为，一边长为，
∴其邻边长为，
∴该矩形的周长为．
24．(1)，．
(2)2024
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化、二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则等知识点．掌握相关运算法则成为解题的关键．
（1）根据有理化因式和平方差公式求解即可；
（2）先分母有理化，再把括号内合并，然后利用平方差公式求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴的有理化因式是；
.
故答案为：，．
（2）解：
．
25．(1)，
(2)
(3)
【分析】（）仿照例题化简即可；
（）先求出和的倒数，进而比较倒数即可判断求解；
（）利用二次根式的化简方法对括号内的各项化简，进而利用平方差公式计算即可求解；
本题考查了二次根式的分母有理化，掌握二次根式运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
，
故答案为：，；
（2）解：，
，
，
，
；
（3）解：
．
26．
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
先根据二次根式的运算法则化简得到，再把，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴a、b同号，且a、b均为正数数，
∴
．
27．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确把a、b分母有理化是解题的关键．
（1）先把a、b分母有理化，再求出的值，根据计算求解即可；
（2）根据（1）所求，结合计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，
∴
．
28．（1）
（2），
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，平方差公式等知识点，能灵活运用二次根式的运算法则进行计算是解题的关键．
（1）先求出和的值，再把变成，最后代入求出答案即可；
（2）先根据二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则对原式进行化简，然后求出的值，再代入原式即可求出答案．
【详解】解：（1），，
，
，
；
（2），，
，
当，时，
，
原式．
29．，
【分析】本题考查了分式的化简求值.
先通分，再去括号，约分，最后将代入即可.
【详解】
，
当时，原式
30．，
【分析】本题考查分式化简求值，二次根式混合运算，熟练掌握分式和二次根式混合运算法则是解题的关键．
先根据分式混合运算法则与顺序化简，再把代入化简式，根据二次根式混合运算法则计算即可．
【详解】解：原式
．
当时，原式．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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