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限时练习：100min 完成时间： 月 日 天气：
九年级开学摸底测试卷（二）
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．如意纹 B．冰裂纹
C．盘长纹 D．风车纹
2．为倡导和推进文明健康生活方式，自2024年起，国家卫健委联合教育部等有关部门共同发起“体重管理年”活动．某校为了解本校600名学生的体重情况，从中抽取了50名学生测量体重，下列说法中正确的是（ ）
A．总体是600名学生 B．样本容量是50
C．个体是参与调查的每一名学生 D．该调查方式是普查
3．下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A． B． C．0 D．2
5．如图，在四边形中，对角线，交于点O，．添加下列条件中的一个后，可使四边形是平行四边形的有（ ）
①；②；③．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
6．在一个不透明的袋子中装有个红球，个白球，这些球除了颜色外都相同．若“从中任意摸出个球，其中至少有一个白球”是随机事件，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
7．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，相交于点，其中，的坐标分别为，．反比例函数（）的图象经过点，将矩形向右平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在菱形中，，、分别是、上的动点，满足．若，则周长的最小值为（ ）
A． B． C．12 D．18
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
11．为了解我省中小学生每天课外体育活动时间情况，比较适合的调查方式是 （填“全面调查”或“抽样调查”）．
12．某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如表所示：
种子个数 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000
发芽种子个数 899 1365 2245 3644 7272 13680 18160
发芽种子频率
则该作物种子发芽的概率约为 ．（结果保留两位小数）
13．已知最简二次根式与可以合并，则的值为 ．
14．正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点C，连接，则的面积是 ．
15．若关于x的分式方程有增根，则a＝ ．
16．如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点、、都在反比例函数的图象上，且边经过原点．若平行四边形的面积为，则 ．
17．如图，矩形纸片中，，，点E为上一点（点E不与B、C重合），将纸片沿翻折得到．点F在上，沿再次折叠纸片，使点C的对应点落在上，若E、、三点在同一直线上，则的长为 ．
18．如图，在正方形中，，点O是对角线与的交点，点M在边上，且，点N是上的动点，连接，点E是的中点，连接，当时，线段的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．计算：
(1)；
(2)
20．解方程：
(1)
(2)
21．为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A．乒乓球；B．足球；C．篮球；D．武术．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如图尚不完整的统计图表．
(1)本次调查的样本容量是______，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，“A．乒乓球”对应的扇形圆心角的度数是______；
(3)若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“B．足球”的学生人数．
22．点D是等边内一点，连接，，，将绕点C顺时针旋转得到，连接．
(1)若，，求点C到的距离．
(2)在（1）的条件下，若，求的长度．
23．如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的点，且，连接，．
(1)求证；
(2)连接，若，判断四边形的形状，并说明理由．
24．某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用的材料．
(1)求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？
(2)如果制作甲、乙两种边框的材料共米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的倍，求应最多安排制作甲种边框多少个不计材料损耗？
25．如图，与次函数的图像交于点，的图像交y轴于点B．将过点A、B的直线向下平移，平移后的直线与反比例函数的图像交于点C，交y轴于点D，且点C的横坐标为3．．
(1)求k，m的值；
(2)直接写出当时，不等式的解集是： ；
(3)在x轴负半轴上确定一点E，使得以A、D、E三点为顶点的三角形是等腰三角形，请求出所有符合条件的点E的坐标．
26．在边长为2的正方形中，点E是的中点．
(1)如图1，点F是的中点，连接交于点．试判断线段的关系，并说明理由；
(2)如图2，将正方形的一部分翻折，使点A与点E重合，点B落在点P处，折痕为，求线段的长；
(3)在（1）的条件下，如图3，连接，求线段的长．
试卷第1页，共3页
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《九年级开学摸底测试卷（二）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（苏科版）》参考答案：
1．D
【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可．
【详解】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意；
B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则B不符合题意；
C是轴对称图形，也是中心对称图形，则C不符合题意；
D不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了统计调查与抽样调查，根据个体、总体、样本容量及调查方式的定义逐一判断即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：A、总体是600名学生的体重，则错误，故不符合题意；
B、样本容量是50，则正确，故符合题意；
C、个体是每名学生的体重，则错误，故不符合题意；
D、该调查方式是抽样调查，则错误，故不符合题意；
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则是解题的关键．根据二次根式的加、减、乘、除运算法则进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
4．B
【分析】本题考查分式值为零的情况．根据分式的值为0的条件，得到且，解之即可解题．
【详解】解：分式的值为0，
且，
解得且，
综上所述，．
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，以及先证明，再得出，同理得证四边形是平行四边形，即可作答．
【详解】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
故①符合题意；
∵，，
∴仍证明不了，
∴无法得四边形是平行四边形，
故②不符合题意；
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
∴故③符合题意；
故选：B
6．A
【分析】本题考查随机事件（在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件）和必然事件（在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件）的定义，解题的关键是根据题意列举所有可能即可作出判断．
【详解】解：∵在一个不透明的袋子中装有个红球，个白球，这些球除了颜色外都相同，
A．若从中随机抽出个球，可以是个红球，个红球和个白球，个红球和个白球，个红球和个白球，
∴此时“从中任意摸出个球，其中至少有一个白球”是随机事件，故此选项符合题意；
B．若从中随机抽出个球，可以是个红球和个白球，个红球和个白球，个红球和个白球，
∴此时“从中任意摸出个球，其中至少有一个白球”是必然事件，故此选项不符合题意；
C．若从中随机抽出个球，可以是个红球和个白球，个红球和个白球，
∴此时“从中任意摸出个球，其中至少有一个白球”是必然事件，故此选项不符合题意；
D．若从中随机抽出个球，则必然是个红球和个白球，
∴此时“从中任意摸出个球，其中至少有一个白球”是必然事件，故此选项不符合题意；
∴的值可能是．
故选：A．
7．A
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数图象的综合应用，根据反比例函数图象的分别位置判断出的符号，进而判断出一次函数图象的分别位置即可判断求解，掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：、∵反比例函数图象分布在一、三象限，
∴，
∴，
∴一次函数图象经过一、三、四象限，该选项符合题意；
、∵反比例函数图象分布在一、三象限，
∴，
∴，
∴一次函数图象经过一、三、四象限，该选项不合题意；
、∵反比例函数图象分布在二、四象限，
∴，
∴，
∴一次函数图象经过一、二、四象限，该选项不合题意；
、∵反比例函数图象分布在二、四象限，
∴，
∴，
∴一次函数图象经过一、二、四象限，该选项不合题意；
故选：．
8．B
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算．先求出的度数，然后由旋转的性质和等腰三角形的性质分析求解．
【详解】解：根据题意，
∵，，
∴，
由旋转的性质可得，，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
9．A
【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，矩形的性质，先求解反比例函数为，结合矩形的性质求解，再结合平移的性质可得答案．
【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点，
∴，
∴这个反比例函数的表达式为，
∵矩形的对角线，相交于点，
∴点是的中点，
∵，的坐标分别为，，
∴，即，
当，则，
∴平移的距离为，
故选：A．
10．B
【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，正确添加常用辅助线构造全等三角形是解题的关键．
如图：连接．先根据菱形的性质说明都是等边三角形，再结合已知条件证明可得，进而证明是等边三角形；再根据垂线段最短求得的最小值为，最后求的周长即可．
【详解】解：如图：连接．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴都是等边三角形，
∴，
∵，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
根据垂线段最短可知，当时，的长最短，
如图：过B作垂足为，
∵,
∴,
∴，
∴,即的最小值为，
∴周长的最小值为．
故选B．
11．抽样调查
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．据此进行进行判断．
【详解】解：为了解我省中小学生每天课外体育活动时间情况，比较适合的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查．
12．
【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，解答此题的关键是判断出：大量重复试验发芽率逐渐稳定在左右，再结合题意即可得到答案．
根据某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验表，可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在左右，再结合题意即可得到答案．
【详解】解：随着种子个数的增加，发芽种子的频率越来越稳定．
当种子的个数为20000时，发芽种子的频率为，
∴可以估计种子的发芽的概率为．
又因为保留两位小数，
所以该作物种子发芽的概率约为，
故答案为：
13．
【分析】题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，根据题意可知这两个最简二次根式是同类二次根式，然后列出方程求解即可．
【详解】根据题意得，，
解得，
故答案为：．
14．5
【分析】根据反比例函数k的几何意义直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点C，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义：反比例函数图像上一点与原点的连线和到坐标轴垂线围成的三角形面积是．
15．或0
【分析】本题考查分式方程的增根，理解增根的概念和产生过程是正确解答的关键．
根据增根的概念，代入分式方程去分母后所得到的整式方程，求即可．
【详解】解： ，
去分母可化为，
整理得：，
∴
又因为关于的分式方程有增根或，
当时，，
当时，，
综上所述：若关于x的分式方程有增根，则或．
故答案为：或0．
16．
【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键；依据题意，设，，可得，连接，又平行四边形的面积为，从而，结合，进而可得，最后由平行四边形的对角线与互相平分，可得①，且②，从而计算可以得解．
【详解】解：由题意，设，，
．
连接，
又平行四边形的面积为，
．
又，
．
．
，．
又平行四边形的对角线与互相平分，
①，且②．
由②得，③．
将③代入①得，④．
把④代入③得，
．
．
故答案为：．
17．或
【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，，，，，证明，得出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
由折叠的性质可得：，，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
18．
【分析】此题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
连接，由正方形性质得，由点E是的中点，可得，进而可得，由此可证明，继而得，证明，则，，
然后由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形为正方形，且边长为6，
∴，
∵点E是的中点，
∴是斜边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算；
（1）先化简二次根式，计算二次根式的乘法运算，再计算二次根式的加减运算即可；
（2）先计算二次根式的除法，乘法运算，化简二次根式，再计算加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．(1)无解
(2)
【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
（1）按照解分式方程的一般步骤求解即可，注意验根；
（2）按照解分式方程的一般步骤求解即可，注意验根．
【详解】（1）方程两边同时乘以，得：
，
，
检验：当时，，
∴是该分式方程的增根．
所以该分式方程无解．
（2）方程两边同乘以，约去分母，得
，
解这个整式方程，得，
检验：把代入，得，
所以，是原方程的解．
21．(1)，图见解析
(2)
(3)估计该校最喜欢“B．足球”的学生人数为名
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，从两个统计图中获取数量之间的关系，和样本估计总体是解决问题的关键．
（1）首先根据C项目的人数和百分比求出总人数，然后计算出B项目的人数，进而补全条形统计图；
（2）求出“A．乒乓球”人数占总人数的比例，再乘以，可得答案；
（3）用全校人数乘样本中喜欢“B．足球”的百分比得出人数．
【详解】（1）解：（1）(名)，
喜欢“B．足球”的人数为（名）．
补全条形统计图如图．
（2），
故答案为．
（3）（名）．
答：估计该校最喜欢“B．足球”的学生人数为名．
22．(1)点C到的距离为1；
(2)．
【分析】（1）由旋转性质得到，，证明是等边三角形得到，过C作延长线于F，则有，根据含30度角的直角三角形的性质可求解；
（2）利用旋转性质和勾股定理可求得，，进而可求得，再根据等边三角形的性质得到可求解．
【详解】（1）解：∵绕点C顺时针旋转得到，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
过C作延长线于F，
则，
∴，
即点C到的距离为1；
（2）解：由旋转性质得，
由（1）知，
在中，，，
∴，
∵是等边三角形，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定与性质是解答的关键．
23．(1)见解析
(2)四边形是菱形，见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
（1）利用证明三角形全等；
（2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，，
，又，
，
．
在和中，
．
．
（2）四边形是菱形，理由如下．
连接，交于O，
．，
．
又，
．
．
四边形是平行四边形．
四边形是平行四边形，，
四边形是菱形．
．
四边形是菱形．
24．(1)制作甲种边框需用材料米，制作一个乙种边框需用材料2米
(2)最多安排制作甲种边框100个
【分析】题目主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，理解题意，根据题意列出方程和不等式是解题关键．
（1）设制作一个乙种边框需用材料米，根据题意列出方程求解即可；
（2）设应安排制作甲种边框个，根据题意列出一元一次不等式求解即可得出结果．
【详解】（1）解：设制作一个乙种边框需用材料米，则制作一个甲种边框需用材料米，
由题意得：
解得：，
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
当时，，
答：制作一个甲种边框需用材料米，制作一个乙种边框需用材料2米；
（2）解：设应安排制作甲种边框个，由题意得：
解得：，
答：最多安排制作甲种边框100个．
25．(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，定义三角形的定义：
（1）分别把点A的坐标代入两函数解析式中利用待定系数法求解即可；
（2）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可；
（2）先求出点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点坐标，再分三种情况利用勾股定理进行讨论求解．
【详解】（1）解：把代入，得：，
∴反比例函数解析式为，
把代入，得：，解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：，，
，
由函数图象可知，当时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当时，不等式的解集为；
（3）解：∵点在反比例函数的图象上，且横坐标为3，
∴，
∴，
∵直线是直线平移得到的
∴可设直线的解析式为，
把，代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴；
设，
∵，
∴，
当以A、D、E三点为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①时，，
解得：或（舍去）；
②时，，
解得：或（舍去）；
③时，，
解得：（舍去）．
综上：或，
∴点或．
26．(1)，理由见解析
(2)
(3)2
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）由正方形的性质可得，再由线段中点的定义可推出，则可证明，得到，导角可证明，即；
（2）过点N作于H，设交于T，可证明四边形是矩形，得到，由折叠的性质可得，则可证明，进而证明，得到，由勾股定理得，则；
（3）如图所示，延长交于H，证明，得到，则，即可得到．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∵点E是的中点，点F是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，；
（2）解：如图所示，过点N作于H，设交于T，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在，由勾股定理得，
∴；
（3）解：如图所示，延长交于H，
∵四边形是边长为2的正方形，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，即，
∴
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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