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限时练习：150min 完成时间： 月 日 天气：
作业11特殊四边形中的几何变换与最值模型
要点一、以特殊四边形为背景的折叠（翻折）问题
几何变换中的翻折（折叠、对称）问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力．涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样．无论如何变化，现阶段解题工具无非全等、勾股定理，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键．对于翻折和折叠问题主要分两大类题型：直接计算型和分类讨论型，由浅入深深度逐步加大，掌握好分类讨论型的翻折问题，那么拿下中考数学翻折题型就没问题了．
（1）直接计算型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形全等，或利用勾股定理设方程来解题．一般难度小，我们要多做一些这些题型，熟练翻折的性质，以及常见的解题套路．
（2）分类讨论型，运用翻的性质，结合题中的条件，或利用三角形全等，或利用勾股定理设方程来解题．一般难度较大，需要综合运用题中的条件，多种情况讨论分析，需要准确的画图，才能准确分析．
要点二、以特殊四边形为背景的旋转问题
几何变换中的旋转问题是历年中考考查频率高且考查难度较高，综合性强，通常有线段、三角形、（特殊）平行四边形的旋转问题．在解决此类问题时，要牢牢把握旋转的性质，即旋转前后的图形全等，对应角相等，对应边相等，再结合几何图形本身的性质，找到旋转过程中变化的量和不变的量，运用三角形全等的有关知识，求解有关角、线段及面积问题．本专题以特殊的平行四边形为背景，研究翻折与旋转变换下的角度、长度、周长、面积、坐标等问题．
要点三、以特殊四边形为背景的动态轨迹问题
（1）动中求静，发现运动变化中的不变量、不变图形；
（2）把相关的量用含变量的代数式表示列方程或确定函数的关系；
（3）把握运动中的特殊位置，临界位置，分段、分情况讨论．
要点四、以特殊四边形为背景的最值问题
几何背景下的最值是考生感觉较难的，往往没有思路．常见的有：（1）几何图形中在特殊位置下的最值；（2）比较难的线段的最值问题，其依据：1.两点之间，线段最短；2.垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形的三边关系”等．
常见最值模型：（1）将军饮马；（2）瓜豆原理（动态轨迹问题）；（3）胡不归；（4）费马点问题．
注意：正方形和菱形、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，常运用其轴对称性解决最小值问题．
要点五、瓜豆原理等五类最值模型补充
【最值模型补充一】瓜豆原理1（直线轨迹型）
1、如图，是直线上一动点，连接，取中点，当点在上运动时，点轨迹是？
解析：当点轨迹是直线时，点轨迹也是一条直线．
做法：分别过、向作垂线，垂足分别为、，在运动过程中，因为，所以始终为的一半，即点到的距离是定值，故点轨迹是一条直线．
2、如图，在中，为定值，当点在直线上运动时，求点轨迹？
解析：当与夹角固定且为定值的话，、轨迹是同一种图形．
做法：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的点的位置，连线即可，比如点的起始位置和终点位置，连接即得点轨迹线段．
3、确定动点轨迹的方法
①当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线；
②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；
③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；
④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；
⑤若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为其他已知轨迹的线段求最值．
【最值模型补充二】瓜豆原理2（圆弧轨迹型）
1、如图，是圆上一个动点，为定点，连接，为中点．点轨迹是？
如图，连接，取中点，任意时刻，均有，．
则动点是以为圆心，为半径的圆．
2、如图，是直角三角形，且，当在圆运动时，点轨迹是？
如图，连结，作，；任意时刻均有，且相似比为．
则动点是以为圆心，为半径的圆．
3、定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．（常见于动态翻折中）
如图，若为动点，但，则、、三点共圆，
则动点是以圆心，半径的圆或圆弧．
4、定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若为动点，为定值，，则动点是以为直径的圆或圆弧．
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若为动点，为定值，为定值，则动点的轨迹为圆弧．
【最值模型补充三】“将军饮马”模型
1、“两点一线”模型（5种情况）
1）当两定点、在直线异侧时，在直线上找一点，使最小．
做法：连接交直线于点，点即为所求作的点．的最小．
2）当两定点、在直线同侧时，在直线上找一点，使最小．
做法：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，点即为所求作的点．的最小值为．
3）当两定点在直线同侧时，在直线上找一点，使最大．
做法：连接并延长交直线于点，点即为所求作的点．的最大值为．
4）当两定点在直线异侧时，在直线上找一点，使最大．
做法：作点关于直线的对称点，连接并延长交直线于点，点即为所求作的点．的最大值为．
5）当两定点在直线同侧时，在直线上找一点，使最小．
做法：连接，作的垂直平分线交直线于点，点即为所求作的点．的最小值为0．
2、“定点两线”模型（4种情况）
1）点在的内部，在上找点，在上找点，使得周长最小．
做法：分别作点关于的对称点，连接，交于点，点即为所求周长最小为．
2）点在的内部，在上找点，在上找点，使得最小．
做法：作点关于的对称点，过点作交于点，点、即为所求．的最小值为．
3）点在的外部，在上找到点，使与点到直线的距离之和最小．
做法：过点作线段的垂线，分别交、于点、，点、即为所求．的最小值为线段的长．
4）点、在的内部，在上找点，在上找点，使得四边形周长最小．
做法：分别作点、关于、的对称点、，连接，交、于点、，点、即为所求．的最小值为，所以四边形的周长的最小值为．
3、其他模型（三点三线）
（三点三线求三角形周长最小值）点分别为边上的动点，求周长的最小值．
做法：先将点视为定点，利用“一点两线”模型作辅助线；当最小时，即时的交点为．周长的最小值为线段的长度．
【最值模型补充四】“将军遛马”与“将军过桥”模型
1、“将军遛马”模型
【问题描述】如图，将军在点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？
【模型转化】已知两点，长度为定值，求确定位置使得值最小？
做法：考虑为定值，故只要值最小即可．将平移使重合，，将转化为．构造点关于的对称点，连接，可依次确定位置，可得路线．
2、“将军过桥”模型（单桥/双桥）
【单桥模型】已知将军在图中点处，现要过河去往点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑长度恒定，只要求最小值即可．问题在于彼此分离，所以首先通过平移，使与连在一起，将向下平移使得重合，此时点落在位置．问题化为求最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．
【双桥模型】已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP＋QM＋NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP＋QM＋NB为A'Q＋QM＋MB'．当A'、Q、M、B'共线时，A'Q＋QM＋MB'取到最小值，再依次确定P、N位置．
【最值模型补充五】胡不归模型
1、模型建立
一动点在直线外的运动速度为，在直线上运动的速度为，且，、为定点，点在直线上，确定点的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）
2、问题分析
，记，即求的最小值．
3、问题解决
构造射线使得，，将问题转化为求最小值．
过点作交于点，交于点，此时取到最小值，即最小．
4、模型总结
在求形如的式子的最值问题中，关键是构造与相等的线段，将型问题转化为型．（若，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）．
二层必刷：巩固提升＋能力培优
题型一、以平行四边形为背景的折叠（翻折）问题
1．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将平行四边形纸片沿折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，
(1)求证：；
(2)求证：．
3．综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．
(1)【观察发现】如图1，若，，，求的长；
(2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形．
题型二、以矩形为背景的折叠（翻折）问题
4．如图，在长方形纸片中，，，点在上，沿直线折叠长方形纸片，点B落在点F处，连接，当取最小值时，的长为 ．
5．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕，然后再把纸片展平；第二步：如图2，将图1的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好落在上的点处，得到折痕交于点M，再把纸片展平．问题解决：
(1)如图1，求证：四边形是正方形．
(2)如图2，若，求的面积．
6．实践操作
(1)在矩形纸片中，．
①将矩形纸片折叠，使点A落在点P处，折痕为．如图D，若点P恰好在边上，连接，求的长度；
②将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处如图①．设与相交于点F，求的长；
(2)若，．将矩形纸片折叠，使点B与D重合如图②，求折痕的长．
题型三、以菱形为背景的折叠（翻折）问题
7．如图，在菱形纸片中，，是边的中点，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，折痕为，与交于点．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
8．在菱形中，，，M为的中点，N为上一动点（不与点B重合），将沿直线折叠，使点B落在点E处，连接，，当为等腰三角形时，线段的长为 ．
9．如图，在菱形中，分别是边上一点，将菱形沿折叠，当点落在的中点处时，连接．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的长．
题型四、以正方形为背景的折叠（翻折）问题
10．如图，正方形的对角线、相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点D恰好与上的点F重合，展开后折痕分别交，于点E、G，连结、，则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C．四边形是菱形 D．
11．【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点P为线段上一个动点，若线段垂直于点E，交线段于点M，交线段于点N，则．
（1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点B落在上的点处．若折痕，则______．
【继续探索】
（2）如图③，正方形中，点P为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交，
于点M，E，F，N，求证：．
（3）如图④，在正方形中，E、F分别为上的点，作于M，在上截取，连接，G为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______．
12．折纸，操作简单，富有数学趣味，常常能为证明一个命题提供思路和方法．
【动手操作】如图1，把正方形纸片对折后再展开，折痕为；将点B翻折到EF上点，折痕为；连接．
(1)判断的形状并说明理由；
【类比操作】如图2，点P为长方形纸片的边上一点，折叠纸片，使B与P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B折叠后落在上的点B处，展平纸片，得到折痕、与交于点O；连接、．
(2)求证：点O在的垂直平分线上；
(3)试探究与之间的数量关系，并说明理由．
题型五、以特殊四边形为背景的旋转问题
13．【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转．
【问题发现】
（1）①线段，之间的数量关系是________．
②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长．
14．如图1，在中，，，的顶点与点A重合，两边分别与，重合．
(1)求的度数；
(2)如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与平行四边形的两边，相交于点E，F．
①试探究，的数量关系，并证明你的结论；
②连结，在旋转过程中，的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值．
15．在综合与实践课上．老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点、、的对应点分别为点、、．
(1)初步感知
如图①，当点落在边上时，线段的长度为______；
(2)迁移探究
如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接．求线段的长度．
(3)拓展应用
如图③，设点在边上，且，连接、、，在矩形旋转过程中，的面积存在最大值，请直接写出这个最大值为______．
题型六、以特殊四边形为背景的动态轨迹问题
16．如图，矩形中，．一动点P从A点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，同时另一动点Q从C点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒，过点P作于点E，连接．
(1)求证：；
(2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
(3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．
17．在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中．
(1)若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（、相遇时除外）并说明理由；
(2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值．
18．已知：如图，在矩形中，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S．
(1)当四边形是正方形时，求x的值；
(2)当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式；
(3)当 时， S最大；当 时， S最小．
题型七、以特殊平行四边形为背景的最值问题
19．如图，为正方形中边上的一点，且，，分别为边，上的动点，且始终保持，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
20．如图正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，要使最小，则这个最小值为（ ）
A．6 B．3 C． D．
21．如图，菱形的边长是，，点为对角线的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ．
22．在正方形中，点、分别为边、上的动点，且
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，当点为线段中点，连接，求证：；
(3)如图③，若正方形边长为9，连接，点是的中点，为上的点，且，则的最小值是_______________．
23．（1）如图1，正方形中，点、分别是、的中点，连接，交于点．请写出线段与之间的关系，并证明；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，试说明平分；
（3）如图3，若点、分别是、上的动点，且，，则的最小值为___________．
24．（1）如图1，正方形中，E、F分别是、上的动点，且，与交于点G，直接写出与的关系： （不要求证明）
（2）利用上述结论解决以下问题：
【问题1】
在（1）的条件下，在上截取的平分线交于点N，连接，如图2，求证：．
【问题2：延伸】
①如图3，已知正方形的边长为2，点E，F分别是边，上的两个动点，且满足，连接，，则的最小值为 ．
②如图4，在正方形中，M为上一点，且，E、F分别为、上的动点，且，若，求的最小值．
25．如图，中，，，点P为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
26．如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
27．如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
28．如图，在矩形中，点，分别在边，上，且将矩形沿直线折叠，使点恰好落在边上的点处，连接交于点现有下列结论：；；；是等边三角形．其中正确的有( )
A． B． C． D．
29．如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为 ．
30．如图，在菱形中，，折叠该菱形，使点A落在边上的点M处，折痕分别与边交于点E、F，当点M与点B重合时，的长为 ；当点M的位置变化时，长的最大值为 ．
31．如图1，已知矩形纸片，，，将纸片进行如下操作：将纸片沿折痕进行折叠，使点A落在边上的点E处，点F在上（如图2），则 ；然后将绕点F旋转到，当过点C时旋转停止，则 ．

32．如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求．
33．已知，如图，．
(1)的对角线相交于点，直线过点，分别交于点．求证：；
(2)将（纸片）沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点分别交于点．
①求证：；
②连接，求证：．
34．（1）如图，正方形，M是上的一点，连接．点N是上的动点，过点N作，分别交直线，于点E，F．求证：．
（2）如图，正方形的边，M是上的一点，连接．过点M作，分别交正方形的外角平分线于点Q．求证：．
（3）如图，正方形中，，M是上的一点，，且，连接．点N是上的动点，过点N作，分别交直线，于点E，F．连接、．求的最小值，并说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《暑假作业11 特殊四边形中的几何变换与最值模型（5大模型+7大题型+巩固强化）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（苏科版）》参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，折叠性质，根据已知条件求出是解题的关键．先根据平行四边形的性质，得出，根据平行线的性质，得出，根据折叠得出，根据三角形内角和得出的度数即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
，
根据折叠可知，，
∴，
，
∴，故C正确．
故选：C．
2．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据折叠的性质可得，根据平行线的性质可得，根据等量关系可得，根据等角对等边即可求解；
（2）根据平行四边形的性质，可得，，根据折叠的性质，可得，，所以，，由等量代换得，得，，，得到，可证．
【详解】（1）证明：由折叠的性质可得，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又根据题意得：，，
∴，，
∴，
又∵，，，
∴，
在与中，
，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定．解题的关键是熟练运用平行四边形和折叠的性质，找出角与边的等量关系，进而证明线段相等和三角形全等．
3．(1)
(2)见解析
【分析】（1）由折叠的性质可得，则，由三角形外角性质得，所以，再利用勾股定理得，然后由，求得，即可求解．
（2）根据折叠的性质先证，再证即可证明四边形为平行四边形．
【详解】（1）解：由折叠知，
．
．
，
．
．
由勾股定理得，，
．
．
．
．
（2）证明：由折叠知，，．
，
，
，
，
，
∵，
∴，，
，
，
，
，点在延长线上，
，
，
．
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形判定与性质，折叠性质，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定、折叠性质是解题的关键．
4．
【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明当点F在AC上，则AF+CF的值最小是解题的关键．由，证明当点F在上，则的值最小，由折叠得，，则，所以，求得，于得到问题的答案．
【详解】解：∵，
∴当点F在上，则，此时的值最小，
如图，点F在上，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠得，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
5．(1)证明见解析；
(2)6．
【分析】（1）先证明四边形是矩形，再根据，即可得出结论；
（2）连接，，由矩形的性质得到，由折叠的性质，证明，得到，设，由勾股定理得，解得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴矩形是正方形；
（2）解：如图，连接，，
由（1）知，，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠知，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得：，
即，
∴的面积 =．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
6．(1)①；②
(2)
【分析】（1）①根据矩形的性质可得，，由折叠的性质得到，利用勾股定理求出，再求出，再利用勾股定理即可求解；②根据折叠的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，设，表示出，在中，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）根据折叠的性质可得，设，表示出，然后在中，利用勾股定理列出方程求出，再连接、，根据翻折的性质可得，，根据两直线平行，内错角相等求出，然后求出，根据等角对等边可得，从而求出四边形是菱形，再利用勾股定理列式求出，然后根据菱形的面积列出方程求解即可．
【详解】（1）解：①∵在矩形纸片中，，
∴，，
由折叠的性质得到，
∴，
∴，
∴；
②解：由折叠得，，
矩形的对边，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
；
（2）解：由折叠得，，设，
则，
在中，，
即，
解得，
，
连接、，
由翻折的性质可得，，，
矩形的边，
，
，
，
，
四边形是菱形，
在中，，
，
即，
解得．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
7．①②③④
【分析】由菱形的性质，，可得，是等边三角形，结合是边的中点，根据三线合一可得，根据含角直角三角形的性质，可证③正确，
由，结合折叠的性质，可证①正确，
由折叠的性质得到的度数，结合，得到，根据三角形内角和，可证②正确，
连接，与交于点，由，，得，结合，由，可证④正确，
本题考查了，菱形的性质，折叠的性质，含角直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形．
【详解】解：∵菱形，
∴，
∵，
∴，是等边三角形，，
∵是边的中点，
∴，
∴，
∴，故③正确，
∴，
由折叠的性质可得，，，
∴，故①正确，
∴，
∵，
∴，故②正确，
连接，与交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①②③④．
8．或
【分析】分两种情况①当时， 连接， 作于，由菱形的性质得出，求出，， 证明，得出， 证出、、三点共线， 设， 在中， 由勾股定理得出方程，解方程即可；②当时， ， 得到 是等边三角形， 即可解题．
【详解】解：分两种情况：
①当时， 连接， 作于，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，，，∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
∵为的中点，
∴，
由折叠的性质得： ，， ，
在和中，
，
，
，
，
∴、、三点共线，
设则，
在中， 由勾股定理得：，
解得： ，即；
②当时，，此时点与重合，与点重合，如图所示：
则是等边三角形，(含这种情况)；
综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、勾股定理、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，注意分类讨论．
9．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握相关结论即可．
（1）连接．可推出是等边三角形，根据是的中点，推出即可求证；
（2）由题意得．推出；设，则．根据，即可求解；
【详解】（1）证明：如答图，连接．
四边形是菱形，，
是等边三角形．
是的中点，
，即，
，
即是直角三角形．
（2）解：由（1）可知，是等边三角形，是的中点．
．
在中，由勾股定理可得
翻折至，
．
设，则．
在中，，
即，
解得，
即．
10．D
【分析】证明，可以判断选项A正确；证明是等腰直角三角形，推出，可以判断选项B正确；证明，可以判断选项C正确，如图，过作于，则，过作于，证明，可得结论．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
由翻折变换的性质可知，，，，
∴，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∴，故选项B正确，不符合题意；
由翻折变换的性质可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意．
如图，过作于，则，
过作于，而，
∴
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∴，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，等腰直角三角形，菱形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
11．（1）9；（2）见解析；（3）补全图形见解析，
【分析】（1）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案．
（2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质证出，由模型呈现知，，则可得出结论；
（3）连接并延长使得，利用可证，再结合全等三角形的性质和正方形的性质证明，进而可证明，是等腰直角三角形，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
，，
过点F作于P，连接，
则四边形是矩形，
，，
由翻折知，，则，
∴，
∵，
，
∴，
在中，由勾股定理得，
故答案为：9；
（2）证明：如图，连接，
正方形是轴对称图形，F为对角线上一点，
，，
又垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由模型呈现知，，
，
；
（3）解：根据题意补全图形如图所示：
连接并延长使得，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
，
，，，则，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由正方形的性质可知，，
，
，，，
则，
是等腰直角三角形，
∵，
∴，则也是等腰直角三角形，则，
．
故答案为：．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键．
12．(1)是等边三角形，理由见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据正方形的性质和翻折的性质可得，进而可以进行判断；
（2）由题意得，是的垂直平分线，是的垂直平分线，，可得，进一步得出结论；
（3）同理（2）可得，，证明，从而，，根据得出，进一步得出结论．
【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下：
由翻折可知：，，
∵四边形是正方形，
，
，
∴是等边三角形；
（2）证明：如图2，连接，，，
由题意得：是的垂直平分线，是的垂直平分线，，
，，
，
，
∴点O在的垂直平分线上；
（3）解：，理由如下：
如图3，连接，
与（2）同理得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的一条三等分线，
．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了轴对称的性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
13．（1）①，②，理由见解析；（2），证明见解析；（3）或．
【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得到，从而可得；②由①的结论及勾股定理即可得到三线段间的数量关系；
（2）由矩形的性质可证明，则有；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得；在中，由勾股定理及等量代换可得
；
（3）分两种情况：点E在边上；点E在延长线上；由（2）的结论及勾股定理即可解决．
【详解】（1）解：①∵四边形、四边形均为正方形，
∴，，，
∴；
在与中，
，
∴，
∴；
②在中，，
而，，
∴；
（2）解：三线段间的数量关系为：；
证明如下：
∵四边形、四边形均为矩形，矩形的中心为O，
∴，，，
∴；
在与中，
，
∴，
∴；
∵，
∴；
在中，由勾股定理得：，
∴；
（3）解：①当点E在边上时；
由（2）的结论知：；
另一方面，在中，由勾股定理得：，
即；
设，则，而，
∴，
解得：，
即；
②当点E在延长线上时，如图；
把补成矩形，延长交延长线于点P，连接，
与（2）证法相同，同样有，
另一方面，在中，由勾股定理得：，
即；
设，则，而，
∴，
解得：，
即；
综上，的长为或．
【点睛】本题是四边形的综合，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，证明三角形全等是问题的关键．
14．(1)
(2)①，证明见解析；②
【分析】（1）由已知得四边形是菱形，得，根据，即得，故；
（2）①数量关系是：，理由是：由四边形是菱形，可得和是等边三角形，即得，，即可证明，从而，故；
②的周长发生改变，理由是：由，，可得，是等边三角形，即有，当最小时，周长的最小，即最小时，周长的最小，此时，在中，可得，即，周长的最小值为．
【详解】（1）∵中，，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵的顶点与点A重合，两边分别与，重合，
∴；
（2）①，证明如下：
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴和是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
②的周长发生改变，理由如下：
如图，连接，
由①知：，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵的的周长，
∴的周长发生改变，
当最小时，周长最小，即最小时，的周长最小，
此时，
在中，，，
∴，，
∴，
∴周长的最小值为．
【点睛】本题考查菱形的性质及应用，涉及等边三角形性质及判定、全等三角形性质及判定、三角形周长最小值、勾股定理等知识，解题的关键是证明．
15．(1)
(2)；
(3)24
【分析】本题考查矩形的性质，旋转的性质与勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据旋转得到，根据矩形得到，结合勾股定理即可得到答案；
（2）首先证明出，得到，从而得到，即可得到，利用勾股定理求解即可得到答案；
（3）根据矩形的性质，勾股定理求出固定，即可得到高最大，面积最大，结合三角形三边关系得到最大高即可得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，逆时针旋转矩形得到矩形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵四边形是矩形，逆时针旋转矩形得到矩形，
∴，，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得
∴，
解得：，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
过A作于E，
∵点B到的距离小于，
∴当，，三点共线时高最大，的面积最大如图所示，
∵，
∴，
∴，
∴．
16．(1)见解析
(2)能，
(3)2.5或4，见解析
【分析】（1）根据得到，由，得到，由即可得到结论；
（2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，得到，则，即可得到答案；
（3）分和两种情况进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：能．理由：
∵，
∴四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴时，四边形是菱形；
（3）解：当时，满足条件，此时四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
当时，∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
当时，舍去
综上所述，满足条件的t的值为2.5或4．
【点睛】本考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、矩形的判定和性质、含的直角三角形的性质、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是解题的关键．
17．(1)四边形是平行四边形，理由见解析；
(2)或．
【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由矩形的性质得到，由，分别是，中点，得到，再得到，证明，得到，，，即可得出结论；
（2）分两种情况讨论，分别求解即可．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，分别是，中点，
∴，，
∴，
∵点，的运动速度相同，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图1，连接，
∵，分别是，中点，，，，
，
在矩形中，，，
∴四边形是矩形，
，
①如图1，当四边形是矩形时，，
，，
，
，
，
；
②如图2，当四边形是矩形时，
同理可得：，，
，
；
综上，四边形为矩形时，或．
18．(1)3
(2)
(3)，
【分析】（1）只要证明即可解决问题；
（2）如图，连接，作于Q，想办法证明，可得，由此即可解决问题；
（3）①如图3中，当点N与D重合时，x的值最小，的面积最大，在中，，推出S的最大值．②如图4中，当点M在上时，x的值最大，的面积最小．
【详解】（1）解：如图1中，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接，作于Q，则，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵矩形中，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴.
∴S与x的函数关系式；
（3）解：①如图3中，当点N与D重合时，x的值最小，的面积最大，
在中，，
∴S的最大值．
②如图4中，当点M在上时，x的值最大，的面积最小，
此时易得，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用一次函数的性质确定最值问题．
19．C
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
过点作交于，过点作，过点作，两直线交于点，连接，由勾股定理求出的长，证明，得出，证明四边形是平行四边形，得出，，从而推出，当点、、三点共线时，的值最小，为，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：如图，过点作交于，过点作，过点作，两直线交于点，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
当点、、三点共线时，的值最小，为，
．
故选：C．
20．A
【分析】本题考查的是正方形的性质和轴对称最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．由于点与关于对称，所以连接，与的交点即为点．此时最小，而是等边的边，，由正方形的面积为36，可求出的长，从而得出结果．
【详解】解：设与交于点，连接、．
点与关于对称，
，
，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴当点P在点时，，即最小，
∴的最小值为的长，
正方形的面积为36，
，
又是等边三角形，
．
故选：A．
21．
【分析】本题主要考查菱形是轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．
连接，，根据，可知当时，最短，即取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值．
【详解】解：连接、，
∵四边形是菱形，
，互相垂直平分，
∴点关于的对称点为，
，
，
当时，最短，
中，，，
，
，
；
故答案为：
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质易得，证明推出，进而求出，得到，即可证明结论；
（2）取中点O，连接，设交于点M，由（1）知，利用直角三角形的性质可得，推出，证明，同理（1）得，进而证明为中点，垂直平分，推出，得到， 由，即可得出结论；
（3）作点关于的对称点，连接，由（1）知，利用直角三角形的性质可得，当三点共线时，有最小值，即有最小值，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：在正方形中，，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴；
（2）证明：取中点O，连接，设交于点M，
由（1）知，
∵点O是中点，
∴，
∵点为线段中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理（1）得，
∵，
∴为中点，即垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：作点关于的对称点，连接，
则，
由（1）知，
∵点 M 是的中点，
∴，
当三点共线时，有最小值，即有最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，对称的性质，直角三角形的性质．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（1），见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）证明，得到，，进而推出，得到即可；
（2）过点作，易得四边形为矩形，证明，得到，即可得出结论；
（3）在上截取，连接，证明，得到，连接，同法可得，得到，延长至点，使，连接，易得垂直平分，得到，进而推出，利用勾股定理求出的长即可得出结论．
【详解】解：（1），理由如下：
∵正方形，
∴，，
∵点E、F分别是、的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）过点作，如图，

由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵点E、F分别是、的中点，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴平分；
（3）在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
连接，同法可得：，
∴，
∴，
延长至点，使，连接，
则：垂直平分，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴的最小值为：．
故答案为：.
【点睛】本题全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，中垂线的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊三角形和全等三角形是解题的关键．
24．（1），；（2）问题1：见解析；问题2：①；②
【分析】（1）根据正方形的性质证明即可得到答案；
（2）问题1：如图，过作，与交于点，由正方形的性质结合已知条件证明，是等腰直角三角形，从而可得结论；
问题2：①连接，由（1）可知，，延长至，使得，连接，则垂直平分，得，则，当在上时取等号，再根据勾股定理即可求解；
②设，则，，最小值可以看作在平面直角坐标系中，点到定点，距离之和最小，进而求得．
【详解】解：（1）在正方形中，，，
又∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，则，
∴，
故答案为：，；
（2）问题1：如图，过作，与交于点，
四边形是正方形，则
，
由（1）得：，
，
，
，则是的垂直平分线，
，则，
平分
，
，
，
，则，
，
；
问题2：①在正方形中，，
连接，由（1）可知，，
延长至，使得，连接，则垂直平分，
∴，

则，当在上时取等号，
∵，则，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：；
②如图，

作于，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
在中，，
∴
，
最小值可以看作在平面直角坐标系中，点到定点，的距离之和最小，
如图，

作J的对称点，连接，
则与x轴的交点是H点，此时最小，
作轴于T，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，轴对称的性质等知识，正确作图和掌握相关图形的判定与性质是解题的关键．
25．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等面积法，利用等面积法求的长是解题的关键．
设，交于点，由四边形是平行四边形，得出，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值．
【详解】解:如图，设，交于点，过点作于点，连接
四边形是平行四边形，
，，
∵点D是的中点，为定点，
∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，则最小，
即当重合时，最小，
∴的最小值为,
，
∴,
∵，即
∴
，
∴的最小值为
的最小值为
故选：B.
26．B
【分析】根据平行四边形的性质可求出，由三角形内角和求出，然后由折叠的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵将沿折叠至处，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，根据翻折前后对应角相等是解题的关键．
27．B
【分析】作，根据菱形的性质得，其中，然后设，可表示，根据勾股定理得，进而得出接下来根据勾股定理列出方程，求出解即可得出答案．
【详解】如图所示，过点M作，交的延长线于点F，
∵四边形是菱形，且，
∴，其中．
在中，，设，
∴，
根据勾股定理，得．
∴，
根据折叠得，
在中，，
即，
解得，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
28．D
【分析】本题考查了翻折变换的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定等知识，熟记各性质并准确识图是解题的关键．求出，根据翻折的性质可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求出，再根据翻折的性质求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，判断①；进而根据判断②；求出 ， ，然后求出 ，判断③；求出 ，然后得到 是等边三角形，故④正确．
【详解】解：，
，
由翻折的性质得，，
，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，故②错误；
由翻折可知，
，
，，
，故③错误；
由翻折的性质，，
，
，
，
是等边三角形，故④正确；
综上所述，结论正确的是①④．
故选：D．
29．
【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等是解题的关键．
设，则，用勾股定理解求出；同理，设，则，用勾股定理解求出；作于点H，构造矩形，最后用勾股定理解可得答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
设，则，
由折叠知，，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
；
同理，设，则，
由折叠知，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
；
如图，作于点H，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，
故答案为：．
30． ##
【分析】如图1中，求出等边的高即可．如图2中，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接．证明，求出的最小值，可得结论．
【详解】解：如图1中，
四边形是菱形，
，，
∴，都是等边三角形，
当点与重合时，是等边的高，
∴
∴．
如图2中，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接．
，，
，
，
四边形是矩形，
∵
∴
∴
，
，，，
，
，
，
，
，，
，
的最小值为，
的最大值为．
故答案为：，．
【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
31． 3
【分析】连接，证四边形是正方形，得，进而得，，由勾股定理得，证明得，，从而垂直平分，，最后利用面积公式构造方程即可得解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上，
∴，，
∴四边形是矩形，,
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，，
如图所示，连接，
∴，

∵将绕点旋转到，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：3，．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，矩形的性质，正方形的判定及性质，线段垂直平分线的判定以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质，矩形的性质，正方形的判定及性质是解题的关键．
32．(1)正方形，见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可得，，又由可得，由此得四边形是矩形，又由得四边形是正方形．
（2）过点D作于H，则可得，进而可得，，在中，根据勾股定理即可求出的长．
本题主要考查了旋转的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下：

∵将点B按顺时针方向旋转，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
（2）解：如图，过点D作于H，

∵四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
在中，．
33．(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）由平行四边形性质，结合三角形全等的判定与性质即可得证；
（2）①由（1）中结论，结合折叠性质，利用三角形全等的判定与性质即可得证；②过点作，交于点，如图所示，由等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质即可得证．
【详解】（1）证明：∵在中，，
∴，
又∵，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）得，
由折叠得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②过点作，交于点，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、折叠性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形与三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
34．（1）见解析
（2）见解析
（3）
【分析】（1）过点B作交于G，交于H，先证明四边形是平行四边形，得，再证明，得，即可得出结论；
（2）在边上截取，使，连接，证明，即可得出结论；
（3）根据正方形的性质求得与，再由勾股定理求得；过作于
，证明得，再将沿方向平移至，连接，当三点共线时，的值最小，由勾股定理求出此时的的值便可．
【详解】（1）证明：过点B作交于G，交于H，如图，
∵正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：在边上截取，使，连接，如图，
∵正方形，
∴，，
∴
∵
∴，，即，
∴
∵是正方形的外角平分线，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
（3）解：过F作于G，则，,
∵正方形的边长为2，
∵，,
∵，
∴，
∵E，
∴
∴，
∴
∴，
将沿方向平移至，连接，则，
∴四边形为平行四边形，
∴，,
当、、三点共线时，的值最小．
此时，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，利用轴对称求最短路径问题，两点之间线段最短，平行四边形的判定与性质．本题属正方形与全等三角形、平行四边形的综合题目，难度较大．熟练掌握相关知识的灵活应用是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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