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限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气：
作业17 平行四边形中的动点运动、最值与定值问题
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：平行四边形中的动点运动问题】
（2024春 铜官区校级期中）
1．如图，在 ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），设运动时间为t（s）（t＞0），若以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的值错误的是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
（2024春 新沂市期中）
2．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD＝6 cm，BC＝12 cm，点P从A出发以1 cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2 cm/s的速度向B运动．两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．若设运动的时间为t秒，以点A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2025 重庆模拟）
3．如图，在四边形ABCD中，，，，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为（秒），以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（ ）秒．
A．2或 B． C．或 D．
（2024秋 蓬莱区期末）
4．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点F，点E是的中点，点P以每秒1的速度从点A出发，沿向点F运动；点Q同时以每秒2的速度从点C出发，沿向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（ ）
A．2 B．5 C．2或 D．5或
（2024春 启东市校级月考）
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=12cm，点E为BC上一点，EC=7，点P从A出发以1cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2cm/s的速度向B运动，两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．当运动时间为t秒时，以A、P、Q、E四个点为顶点的四边形为平行四边形，则t的值是 ．
6．如图，在四边形中，，且，点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由向C运动B，则 秒后四边形成为一个平行四边形．
（2024春 禅城区校级期中）
7．如图，四边形ABCD中，，，，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止；点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ分原四边形为两个新四边形；则当P，Q同时出发 秒后其中一个新四边形为平行四边形．

（2024春 宁江区校级月考）
8．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝24cm，BC＝30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒时其中一个四边形为平行四边形？
（2024秋 钢城区期末）
9．如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒．
(1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？
（2024春 鹿寨县校级月考）
10．如图，在四边形中，，，，M是上的一点，且．点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止．设运动时间为，则：
(1)_______，__________．（用含t的代数式表示）
(2)是否存在时间t，使得以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（24-25八年级下·云南昆明·期中）
11．如图所示，在四边形中，，，，点P从A向终点D以的速度运动．点Q从点C向终点B以的速度运动，Q两点同时出发，有一点到达终点停止后另一点也停止运动，直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形．
(1)当运动t秒时，线段______，______（用含有t的代数式表示）；
(2)直线运动多少秒后将四边形截得两个四边形中一个四边形为平行四边形？
(3)直线运动多少秒后将四边形截得两个面积相等的四边形？
【题型一：平行四边形中的最小值问题】
（2024春 凤城市期末）
12．如图，，直线与直线之间的距离为4，点是直线与外一点，点到直线的距离为2，点，分别是直线与直线上的动点，以点为圆心，的长为半径作弧，再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，则点与点之间距离的最小值为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
（2023 肥西县一模）
13．如图，已知的顶点A、C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
（2023春 安新县期末）
14．如图，四边形为平行四边形，点坐标为，点坐标为，为上一点，将点移动到上，则移动的最短距离为（ ）
A． B． C．4 D．
（2024春 湖州月考）
15．已知点与点，，是一平行四边形的四个顶点，则长的最小值是（ ）
A．10 B． C． D．9
（2024春 赣榆区校级月考）
16．如图，在中，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交于点E、F，则四边形周长的最小值是 ．
（2024八年级上·山东临沂·期中）
17．已知如图，．为x轴上一条动线段，D在C点右边且，当的最小值为 .
（2024八年级下·全国·期中）
18．如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点B、D分别在x轴，y轴上滑动，连接，则的最小值是
（24-25八年级下·浙江舟山·期中）
19．如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ．
（24-25八年级下·江苏盐城·期中）
20．如图，在中，，，，D在延长线上，作平行四边形，则的最小值为 ．
（2025·贵州铜仁·三模）
21．如图，在中，，，．为边上的一点，，为边上的一动点，将沿翻折得，连接、，则面积的最小值为 ．
【教材原题改编】改编自人教版八年级下册数学教材第61页第14题．
22．【教材原题改编】如图，的对角线和相交于点O，过点O且与边分别相交于点E和点F．求证：；
【结论应用】若，则四边形的面积为 ，的最小值为 ．
（24-25八年级下·重庆巴南·阶段练习）
23．已知，等腰中，，，的边经过点，点是线段上一动点，连接．
(1)如图1，若点是的中点，，求的长；
(2)如图2，连接，当时，求证：；
(3)如图3，等腰中，，连接，若，，当点在运动过程中，请直接写出周长的最小值．
【题型二：平行四边形中的最大值问题】
24．如图，在平行四边形中，，，，点是折线上的一个动点(不与、重合)．则的面积的最大值是(　　)
A． B．1 C． D．
25．如图，中，，在的同侧作正，正和正，则四边形面积最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
26．在等边中，为边的中线，将此三角形沿剪开成两个三角形，然后把这两个三角形拼成一个平行四边形．如果，那么在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是 ．
27．已知平面直角坐标系中，点A、B在动直线y=mx－3m+4（m为常数且m≠）上，AB=4，点C是平面内一点，以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是 ．
28．问题探究：
（1）如图1，平行四边形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分别为AD、DC上的点，且DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积最大值是 　 　．
（2）如图2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，连接AB，则△ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．
问题解决
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值．
29．如图1，在ABCD中，∠B＝45°，过点C作CE⊥AD于点E，连接AC，过点D作DF⊥AC于点F，交CE于点G，连接EF．
(1)若DG＝8，求对角线AC的长；
(2)求证：AF＋FG＝EF；
(3)如图2，点P是直线AB上一动点，过点A作AM⊥BC于点M，取线段AB的中点N，作点B关于直线PM的对称点，连接，若AB＝10，请直接写出当取得最大值时PB的长．
【题型三：平行四边形中的定值问题】
30．如图，直线平行于，定点A在直线上，动点B在直线上，P是平面上一点，且P在两直线中间（不包括边界），始终有，则在整个运动过程中，下列各值①；②；③；④中，一定为定值的是 ．（填序号）

31．如图，在中，，点D在边上（不与点B，C重合），且，过点D作，分别交的延长线和于点P和点Q．
(1)求证：．
(2)若点Q是线段的中点，探索与的数量关系．
(3)若的形状和大小都确定，说说的值是否为定值，如果是定值，直接写出这个定值的几何意义；如果不是定值，说明理由．
32．如图所示四边形中，，，为正三角形，点E、F分别在边、上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
(1)四边形______平行四边形（是或不是）
(2)证明不论E、F在、上如何滑动，总有；
(3)当点E、F在、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
33．如图1，点B，C分别是∠MAN的边AM、AN上的点，满足AB＝BC，点P为射线的AB上的动点，点D为点B关于直线AC的对称点，连接PD交AC于E点，交BC于点F。
(1)在图1中补全图形；
(2)求证：∠ABE＝∠EFC；
(3)当点P运动到满足PD⊥BE的位置时，在射线AC上取点Q，使得AE＝EQ，此时是否是一个定值，若是请直接写出该定值，若不是，请说明理由．
34．在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积．
解：延长线段到E，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形面积．
(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 　 　cm2．
(2)如图2，在中，，且，求线段的最小值．
(3)如图3，在平行四边形中，对角线与相交于O，且；，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此时平行四边形的面积．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《暑假作业17 平行四边形中的动点、最值与定值问题（4大题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（北师大版）》参考答案：
1．B
【分析】根据平行四边形的性质得出DP＝BQ，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵P在AD上运动，
∴t≤15÷1＝15，即t≤15，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B﹣C，
由题意得：4t﹣15＝15﹣t，
解得：t＝6；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，
由题意得：15﹣（4t﹣30）＝15﹣t，
解得：t＝10；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，
由题意得：4t﹣45＝15﹣t，
解得：t＝12；
综上所述，t的值为6或10或12，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行四边形中的动点问题，解题的关键是根据题意分情况讨论．
2．C
【分析】根据题意计算AP、PD、BQ、CQ，再根据平行四边形的判定方法进行判定．
【详解】A．t＝1时，AP＝1cm，PD＝5cm，CQ＝2cm，BQ＝10cm，此时构不成平行四边形，不符合题意；
B．t＝2时，AP＝2cm，PD＝4cm，CQ＝4cm，BQ＝8cm，因AD∥BC，此时只构成一个平行四边形PDCQ，不符合题意；
C．t＝3时，AP＝PD＝3cm，CQ＝BQ＝6cm，则CQ＝BQ＝AD，因AD∥BC，此时有2个平行四边形：平行四边形ADCQ和平行四边形ADQB，符合题意；
D．t＝4时，AP＝4cm，PD＝2cm，CQ＝8cm，BQ＝4cm，因AD∥BC，此时只构成一个平行四边形APQB，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟记平行四边形的判定方法．
3．C
【分析】本题主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
由题意已知，，要使P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让即可，列出等式可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
当P从B运动到C时，且P在上，
，，
，
解得，
当秒时，四边形是平行四边形；
当点P在延长线上时，
如图：
，
解得，
秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，一元一次方程的应用．熟练掌握平行四边形的性质，角平分线，一元一次方程的应用是解题的关键．
由平行四边形，是的平分线，可得，则，由题意得，点P运动到时间为，点Q运动到时间为，当时，，，则，，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，，即，计算求解即可；当时，，，则，，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，，即，计算求解即可．
【详解】解：∵平行四边形，是的平分线，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴点P运动到时间为，点Q运动到时间为，
当时，，，则，，
当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，，
∴，
解得，，
当时，，，则，，
当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，，
∴，
解得，，
综上所述，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为2或，
故选：C．
5．
【分析】分两种情形列出方程即可解决问题．
【详解】解：①当点Q在线段CE上，AP=QE时，以A、P、Q、E为顶点的四边形是平行四边形，
则有t=7-2t，解得t=；
②当Q在线段BE上，AP=QE时，以A、P、Q、E为顶点的四边形是平行四边形，
则有t=2t-7，解得t=7＞6（不合题意舍去），
综上所述，t=时，以A、P、Q、E为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
6．2
【分析】设运动时间为t秒，则AP=t，QC=2t，而四边形ABQP是平行四边形，所以AP=BQ，则得方程t=6-2t求解．
【详解】解：如图，设t秒后，四边形APQB为平行四边形，
则AP=t，QC=2t，BQ=6-2t，
∵AD∥BC，
∴AP∥BQ，
当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴t=6-2t，
∴t=2，
当t=2时，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合．
综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
7．4或5
【分析】结合题意，根据平行四边形的性质，列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】设点P和点Q运动时间为t
∵，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止
∴点P运动时间秒
∵，点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止
∴点Q运动时间秒
∴点P和点Q运动时间
直线PQ分原四边形为两个新四边形，其中一个新四边形为平行四边形，分两种情况分析：
当四边形PDCQ为平行四边形时
结合题意得：，
∴
∴，且满足
当四边形APQB为平行四边形时
结合题意得：，
∴
∴，且满足
∴当P，Q同时出发秒4或5后其中一个新四边形为平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形、一元一次方程、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、一元一次方程、一元一次不等式的性质，从而完成求解．
8．当8秒或10秒时，其中一个四边形是平行四边形．
【分析】若四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，那么PD=CQ或AP=BQ，根据这个结论列出方程就可以求出时间．
【详解】解：设P，Q同时出发t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，根据已知得到AP=t，PD=24 t，CQ=2t，BQ=30 2t．
①若四边形PDCQ是平行四边形，则PD=CQ，
∴24 t=2t，
∴t=8，
∴8秒后四边形PDCQ是平行四边形；
②若四边形APQB是平行四边形，则AP=BQ，
∴t=30 2t，
∴t=10，
∴10秒后四边形APQB是平行四边形．
∴出发后8秒或10秒其中一个是平行四边形．
9．(1)；；或
(2)当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形
【分析】此题考查一元一次方程的应用、平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键．
（1），，点E是的中点，得，，则或，而，，则；若点Q与点E重合，则，求得；若点P与点D重合，则，所以当时，则，当时，则，于是得到问题的答案；
（2）由，可知点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，再分两种情况讨论，一是当Q运动到E和B之间，则得：；二是当Q运动到E和C之间，则得：，解方程求出相应的t值即可．
【详解】（1）解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上，
∴，，
∴或，
∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，
∴，
∴；
∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动，
∴，
若点Q与点E重合，则，
解得；
若点P与点D重合，则，
当时，则，
当时，则，
故答案为：；；或；
（2）解：，
∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，
是的中点，
，
分两种情况：
①当Q运动到E和B之间，则得：，
解得：，
②当Q运动到E和C之间，则得：，
解得：，
综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
10．(1)；或
(2)当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或．
【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质．
（1）根据题意可得出，分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可得到的值；
（1）分F在M的右侧和左侧两种情况讨论，利用平行四边形“对边相等”的性质列方程，求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
当F在M的右侧时，，
当F在M的左侧时，，
故答案为：；或；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，，
当F在M的右侧时，，
又，
∴，
解得；
当F在M的左侧时，，
又，
∴，
∴；
综上，当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或．
11．(1)，
(2)9或12秒
(3)秒
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、列代数式、平行四边形的判定等知识点，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）利用路程、速度、时间的关系，结合各线段之间的关系，用含t的代数式表示出、的长即可；
（2）由，再分或两种情况，分别根据平行四边形的判定定理以及将四边形截得两个四边形中一个四边形为平行四边形并结合（1）列出关于t的一元一次方程求解即可；
（3）由直线将四边形截得两个面积相等的四边形，列出关于t的一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：当运动t秒时，线段，，，．
故答案为：，；
（2）解：∵，
当或时，将四边形截得两个四边形中一个四边形为平行四边形．
当时，，解得：；
当时，，解得：
答：直线运动9或12秒后，将四边形截得两个四边形中一个四边形为平行四边形．
（3）解：根据题意得：，
所以，解得：
答：直线运动秒后，将四边形截得两个面积相等的四边形．
12．B
【分析】根据作图可知四边形是平行四边形，连接，根据垂线段最短，得到当与直线和直线垂直时，点与点之间距离最短，即可得出结论．
【详解】解：如图：由作图可知，四边形是平行四边形，

∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴点到直线的距离等于点到直线的距离，
∴点到直线的距离为2，
连接，则：当与直线和直线垂直时，点与点之间距离最短，
即：；
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质．解题的关键是根据作图得出四边形是平行四边形．
13．B
【分析】当B在x轴上时，对角线OB长度最小，由题意得出∠ADO＝∠CED＝90°，OD＝1，OE＝4，由平行四边形的性质得出OA∥BC，OA＝BC，得出∠AOD＝∠CBE，由AAS证明△AOD≌△CBE，得出OD＝BE＝1，即可得出结果.
【详解】当B在x轴上时，对角线OB长度最小，如图所示：
直线x＝1与x轴交于点D，直线x＝4与x轴交于点E，
根据题意得：∠ADO＝∠CEB＝90°，OD＝1，OE＝4，
四边形ABCD是平行四边形，
∴OA∥BC，OA＝BC，
∴∠AOD＝∠CBE，
在△AOD和△CBE中，
，
∴△AOD≌△CBE(AAS)，
∴OD＝BE＝1，
∴OB＝OE＋BE＝5，
故答案为5.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.
14．D
【分析】过点作于点，过点作于点，设点移动到上，移动的最短距离为，先由勾股定理得，再由平行四边形的性质得，，从而证明，进而利用面积法即可求得的值，从而问题得解．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，设点移动到上，移动的最短距离为，
∵点坐标为，点坐标为，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定及勾股定理是解题的关键．
15．C
【分析】①CD是平行四边形的一条边，那么有AB＝CD；②CD是平行四边形的一条对角线，过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，证△DBN≌△CAM，推出DN＝CM＝a-2，BN＝AM＝8 a，得出D（10 a，6＋a），由勾股定理得：CD2＝（10 a a）2＋（6＋a＋a-2）2＝8a2 24a＋116＝8（a ）2＋98，求出即可．
【详解】有两种情况：
①CD是平行四边形的一条边，那么有AB＝CD＝＝10
②CD是平行四边形的一条对角线，
过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，
则∠BND＝∠DFA=∠CMA＝∠QFA＝90，
∠CAM＋∠FQA＝90，∠BDN＋∠DBN＝90，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴BD＝AC，∠C＝∠D，BD∥AC，
∴∠BDF＝∠FQA，
∴∠DBN＝∠CAM，
∵在△DBN和△CAM中
，
∴△DBN≌△CAM（AAS），
∴DN＝CM＝a-2，BN＝AM＝8 a，
D（10 a，6＋a），
由勾股定理得：CD2＝（10 a a）2＋（6＋a＋a-2）2＝8a2 24a＋116＝8（a ）2＋98，
当a＝时，CD有最小值，是=，
∵＜10，
∴CD的最小值是．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，二次函数的最值的应用，关键是能得出关于a的二次函数解析式，题目比较好，难度偏大．
16．12
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形判定与性质、直角三角形的性质等知识点，确定四边形周长取最小值时点E、F的位置成为解题的关键．
根据平行四边形的性质可得可得，进而确定当取最小值时，四边形周长的最小，即；然后求得取最小值即可解答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴,
∴，
∵,
∴,
∴,
∴四边形周长为，
∴当取最小值时，四边形周长的最小，即,
如图：过A点作,即的长为的最小值，
∵，
∴，即的最小值为2
∴四边形周长的最小值为．
故答案为12．
17．##
【分析】本题考查了“将军饮马”求最值的模型，涉及了平行四边形的判定与性质、两点之间线段最短等知识点，将点向右平移1个单位长度得到点构造平行四边形是解题关键．
【详解】解：将点向右平移1个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，此时的值最小，如图所示：
∵，且
∴四边形为平行四边形
∴
∵点关于轴的对称点为，
∴
∴
∵
∴的最小值为：
故答案为：
18．##
【分析】由条件可先证得是等边三角形，过点作于点，当点，，在一条直线上，此时最短，可求得和的长，进而得出的最小值．
【详解】解：过点作于点，如图所示：
是等边三角形，
，，
∵在平行四边形中，，，，
，
是等边三角形，，
，是等边三角形，
为中点，
，为中点，
，
，
，
当点在线段上时，此时最短，即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，判断出当点，，在一条直线上，最短是解题的关键．
19．
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的性质，先作辅助线，延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，根据勾股定理和平行四边形的性质得到线段的长度，证明出四边形为平行四边形，再根据三角形全等得到对应边相等，再根据垂线段最短得到最小值，即可求解．
【详解】解：延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，如图所示：
，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵垂线段最短，
∴当点与点重合时，最小，此时，
∴最小值为，
故答案为： ．
20．13
【分析】本题考查了平行四边形的性质，轴对称—最短路线，勾股定理，作于，由题意可得在平行于且与距离为的直线上运动，作关于直线的对称点，连接，，则，、、三点共线，结合，得出当且仅当，，，依次共线时取等号，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，
，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴在平行于且与距离为的直线上运动，
作关于直线的对称点，连接，，
则，、、三点共线，
∵，
∴，
∴，当且仅当，，，依次共线时取等号，
在中，，
∴的最小值为，
故答案为：．
21．
【分析】取的中点G，连接，得，根据，，得是等边三角形，得，，得 ，得，得，根据,，得当点在上时，取得最小值，得面积的最小值为．
【详解】解：取的中点G，连接，
∵，
∴，
∵在中，，且，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当点在上时，最小,
由折叠知，，
∴最小值为，
∴面积的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形折叠．熟练掌握平行四边形性质，折叠性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，两点之间线段最短，三角形面积公式，是解题的关键．
22．教材原题改编：见解析；结论应用：6，
【分析】本题考查平行四边形和三角形，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，垂线段性质，是解题的关键．
教材原题改编：由平行四边形性质 ，得到，因此，又，即可证明，得到．
结论应用：由勾股定理求出的长，求出的面积，由，得到四边形的面积的面积，当时，的值最小，由三角形面积公式即可求出的最小值为2.4．
【详解】教材原题改编：证明：∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
结论应用：解：∵，
∴，
∴的面积，
∵，
∴四边形的面积的面积，
当时，的值最小，
∵的面积，
∴，
∴，
∴的最小值为2.4．
故答案为：6，2.4．
23．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据点是的中点，得出，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解；
（2）延长、，交于，延长交于，先证明，证明，进而证明，得出，进而即可得证；
（3）过点作于，作，且，连接，作点关于的对称点，交于，连接交于，勾股定理求得，，证明得出点在与成的直线上运动，当、、三点共线时，的周长最小，此时点与点重合，最小值为，进而证明，得出，进而勾股定理求得，即可求解．
【详解】（1）解：∵在等腰中，，，
∴，
点是的中点，
，
在中，，
，
；
（2）证明：延长、，交于点，延长交于，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
；．
（3）解：如图3，过点作于，作，且，连接，作点关于的对称点，交于，连接交于，
则，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
点在与成的直线上运动，
，
当、、三点共线时，的周长最小，此时点与点重合，最小值为，
在和中，
，
，
，，
，，
，
周长的最小值为：．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，综合性强，难度较大，正确作出辅助线，熟练运用相关知识是解题关键．
24．D
【分析】分三种情况讨论：①当点E在BC上时，高一定，底边BE最大时面积最大；②当E在CD上时，△ABE的面积不变；③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，根据三角形的面积公式可得结论．
【详解】解：分三种情况：
①当点E在BC上时，E与C重合时，△ABE的面积最大，如图1，
过A作AF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠C+∠B=180°，
∵∠C=120°，
∴∠B=60°，
Rt△ABF中，∠BAF=30°，
∴BF=AB=1，AF=，
∴此时△ABE的最大面积为：×4×=2；
②当E在CD上时，如图2，此时，△ABE的面积=S ABCD=×4×=2；
③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，此时，△ABE的面积=2，
综上，△ABE的面积的最大值是2；
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题．
25．B
【分析】过作于，过作，交于，根据等边三角形的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三线合一的性质，得出，进而得出，即点、、在一条直线上，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等量代换，得出，同理得出，再根据平行四边形的判定定理，得出四边形是平行四边形，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据平行四边形和三角形的面积，得出，再以为直径作圆，当最大时，的面积最大，此时为半径，再根据三角形的面积公式，结合二次根式的乘法，计算即可得出答案．
【详解】解：如图所示，过作于，过作，交于，
，，
，
是正三角形，，
，
，即点、、在一条直线上，
在正、正和正，
，，，，
，
，
，
，
同理可得，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
以为直径作圆，当最大时，的面积最大，此时为半径，
，
四边形面积的最大值是2．
故选：B
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三线合一的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理、含角的直角三角形、圆周角定理、二次根式的乘法，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．
26．
【分析】本题考查图形的拼接，平行四边形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
分三种情况作出图形，分别利用勾股定理计算出对角线的长度即可．
【详解】解：∵在等边中，为边的中线，
∴，
∴，
如图，有三种情况．
在图1中，对角线；
在图2中，过点作交的延长线于E，
在中，，
∴；
在图3中，过点B作交的延长线于F，
在中，，
∴，
∵，
∴对角线长度的最大值是，
故答案为：．
27．20
【分析】由直线关系式确定出直线过定点(3，4)，平行四边形面积最大转化为求△ABO的最大面积．
【详解】解：∵直线AB：y＝mx﹣3m+4＝m(x﹣3)+4，
∴AB过定点M(3，4)，
∴OM＝5，
作OH⊥AB于H，
∴OH≤5，
∴，
∵以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积是△ABO面积的2倍，
∴以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是20，
故答案为：20．
【点睛】此题考查了一次函数性质，动点平行四边形面积最值问题，解题的关键是把求平行四边形面积最大转化为求△ABO的最大面积．
28．（1）；（2）存在，4+2；（3）不是，周长之和的最小值为15
【分析】（1）先求出平行四边形的面积，利用面积和差关系可得四边形的面积，则当有最小值时，四边形的面积有最大值，即可求解；
（2）在中，由勾股定理可求的长，由线段的和差关系可求解；
（3）如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，可证四边形是平行四边形，可，，则与的周长之和为，由直角三角形的性质可求的长，即可求解．
【详解】解：（1）过点作，交延长线于，过点作，交的延长线于，
四边形是平行四边形，
，，，，
，，
，
，，
，，
四边形的面积，
，
，
∴
四边形的面积
，
四边形的面积，
则当有最小值时，四边形的面积有最大值，
，
，
，
，
，
当时，四边形的面积，
故答案为；
（2）存在，
设，
，
，
，
的周长，
当时，的周长的最小值为；
（3）与的周长之和不是定值，
理由如下：如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
与的周长之和不是定值，
当时，与的周长之和的最小值为15．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
29．(1)8
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明△DEG≌△CEA，可得结论；
（2）过E作EH⊥EF于点E，交DF于点H，证明△DEH≌△CEF，可得EF＝EH，DH＝CF，进而AF＝HG，在△EFH中FH＝FG＋GH＝EF，即可得结论；
（3）如图，连接、MN，由题意,推出在NM的延长线上时，的值最大，即可求出BP的长．
【详解】（1）∵在ABCD中，∠B＝45°，
∴∠ADC＝∠B＝45°，
∵CE⊥AD，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE＝DE，∠DEC＝∠AEC＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠CFD＝∠DEC＝90°，
又∵∠DGE＝∠CGF，
∴∠EDG＝∠ECA，
∴△DEG≌△CEA（ASA），
∴AC＝DG＝8；
（2）如图，过E作EH⊥EF于点E，交DF于点H，
∵∠FEH＝∠DEC＝90°，
∴∠FEH-∠GEH=∠DEC-∠GEH,
∴∠DEH＝∠CEF，
∵∠EDH＝∠ECF，DE＝CE，
∴△DEH≌△CEF（ASA），
∴EF＝EH，DH＝CF，
∴AC﹣CF＝DG﹣DH，
即AF＝HG，
∵FH＝FG＋GH＝EF，
∴AF＋FG＝EF．
（3）如图2，连接、MN，
∵AB=10，∠AMB=90°，AN=BN，
∴AM=BM= ，,
∵B与关于PM对称，
∴，
∴，
∴当在NM的延长线上时，的值最大，如图3，
∵∠BMN=45°，
∴，
∴，
∴∠AMP=112.5°-90°=22.5°，
∵∠BAM=∠PMA+∠APM=45°，
∴∠PMA=∠APM=22.5°，
∴AP=AM=，
∴PB=AB+AP=．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确找出全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．
30．①②##②①
【分析】过点作，交于点，根据平行线的判定和性质，推出，判断①；证明四边形为平行四边形，为等腰三角形，推出，判断②；结合图形，根据线段的变化情况，判断③和④．
【详解】解：过点作，交于点，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，为定值，故①正确；
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，，
∴，，
∴，
∴为定值，故②正确；
由图可知，当点从下往上运动时，逐渐减小，
∵为定值，
∴逐渐增大，
∴逐渐减小，不是定值，故③错误；
假设，则：，
∴为直角三角形，
∴，
设，
∴，
∴，
∵不是定值，
∴的值也不是定值，故④错误；
故答案为：①②．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造特殊图形．
31．(1)见解析
(2)；证明见解析
(3)的值是定值，这个定值是边上的高的2倍
【分析】（1）根据等腰三角形性质得出，根据余角性质得出，即可证明结论；
（2）过点P作，交的延长线于点E，证明，得出，证明，得出，即可得出结论；
（3）过点A作于点M，延长至点E，使，连接，延长交于点F，证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，证明垂直平分，得出，说明，即可得出．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：过点P作，交的延长线于点E，如图所示：
则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点Q是线段的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：的值是定值，这个定值是边上的高的2倍．
理由：过点A作于点M，延长至点E，使，连接，延长交于点F，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的值是定值，这个定值是边上的高的2倍．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
32．(1)是
(2)见解析
(3)四边形的面积不变，为定值
【分析】（1）根据可知四边形是平行四边形，即可得答案；
（2）根据平行四边形及，可证得和为等边三角形，则，，，再结合是等边三角形，进而证得，利用即可证明，即可得结论；
（3）根据，得，故由，可知四边形的面积是定值，作于点，由等边三角形的性质求得，进而求得即可求得，可得定值．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：是；
（2）证明：由（1）知四边形为平行四边形，则，，
∵，，，
∴，
又∵，
∴和为等边三角形，
∴，，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
又∵，，
∴．
∴；
（3）四边形的面积不变，为定值．
理由如下：由（2）得，则，
故，是定值，
作于点，
∵，
∴，则，
∴，
综上，四边形的面积不变，为定值．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
33．（1）见详解；（2）见详解；（3）是定值，
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）连接BE，根据垂直平分线的性质可等量代换即可得出答案；
（3）是定值，根据已知条件可判断是等腰直角三角形，设设，求解即可．
【详解】解：（1）补全图形，如下图：
（2）连接BE，
∵B、D关于AC对称，且AB=BC
∴BD垂直平分AC
∴
∴
即∠ABE＝∠EFC；
（3），理由如下：
如下图，
根据题意可知，
∴
∴是等腰直角三角形
设
则，
∴
根据勾股定理可得：
∴．
【点睛】本题考查的知识点是垂直平分线性质，理解题意，能够根据题意补全图形，掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．
34．(1)12.5
(2)
(3)不是，，
【分析】（1）根据题意，可以计算出等腰直角三角形的面积，从而可以得到四边形的面积；
（2）由勾股定理可得，由配方法可求解；
（3）由平行四边形的性质可得，，由勾股定理可求，由配方法可求的最小值，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，，，
则的面积，
即四边形的面积为，
故答案为：12.5；
（2）解：，
，
，
，
当时，取最小值，最小值为2；
（3）解：如图，过点B作于H，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
当时，有最小值，即的最小值为，
此时：，，
是等边三角形，
．
综上可知，不是定值，的最小值为，此时平行四边形的面积为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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