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作业14 平行四边形的性质与判定
三层必刷：巩固提升＋能力培优＋创新题型
【题型一：利用平行四边形的性质求线段长】
（2025八年级下·湖北·专题练习）
1．如图，在中，，，的平分线交于点E，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
（24－25八年级下·四川宜宾·阶段练习）
2．如图，在中，对角线相交于点O，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
（24－25八年级下·河南安阳·期中）
3．如图，在中，，对角线的垂直平分线交于，若的周长是8，则长为（ ）
A．8 B．6 C．7 D．5
（24－25八年级下·湖北武汉·期中）
4．在平行四边形中，，平分交于点E，平分交于点F，且，则的长为（ ）
A．8或12 B．8 C．10或14 D．10
（24－25八年级下·江苏宿迁·期中）
5．如图，在中，的平分线交延长线于点E，，，则 ．
【题型二：利用平行四边形的性质求角度】
（24－25八年级下·福建漳州·期中）
6．如图，是“左侧通行”的交通标识，其中四边形为平行四边形．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（24－25八年级下·江西赣州·期中）
7．如图，中，平分，若，则（　　）
A． B． C． D．
（24－25八年级下·河南洛阳·阶段练习）
8．如图，在中，，，点在边上，以，为边作，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（24－25八年级下·浙江杭州·期中）
9．如图，在中，连结，过点作，垂足为．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（上海市奉贤区2024－－2025学年八年级下学期期末数学练习卷）
10．将一副三角板在平行四边形中按如图所示位置摆放，如果，那么的度数是
【题型三：利用平行四边形的性质求周长】
（24－25八年级下·山东济宁·期中）
11．如图，已知在中，对角线相交于点，若，，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
（24－25八年级下·福建漳州·期中）
12．如图，在中，、相交于点，交于点，若的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
（24－25八年级下·海南儋州·期中）
13．如图，平行四边形中，点E 在边上，以为折痕，将折叠，使点A 恰好落在上的点F，若的周长为12，的长为3，则的周长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
（2024秋 西山区校级期末）
14．如图，若平行四边形的周长为，，相交于点O且为，则的周长为 ．
（2024秋 黄浦区校级期末）
15．如图，平行四边形中，，垂足分别是E、F，，则平行四边形的周长为 ．
【题型四：利用平行四边形的性质求面积】
（2024春 仓山区期中）
16．一个平行四边形的一条边长为7，两条对角线的长分别是10和，则这个平行四边形的面积为（ ）
A． B． C．35 D．
（24－25八年级下·广东汕头·期中）
17．如图，在中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12 B．6 C．3 D．1.5
（2025·云南·模拟预测）
18．如图，是平行四边形的中心，过点的两条直线与对角线将平行四边形分成阴影和空白部分．若，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
（2025·四川广安·模拟预测）
19．如图，在中，点在上，且平分．若，，则的面积为（ ）
A． B． C．16 D．32
（24－25八年级下·江西赣州·期中）
20．如图，在中，对角线交于点O，．
(1)求的面积：
(2)求的长．
【题型五：利用平行四边形的性质的证明】
（2024·山东济南·一模）
21．如图，在中，点F是中点，连接并延长交的延长线于点E．求证：．
（24－25八年级下·广东汕头·期中）
22．已知：如图，在平行四边形中，点G，H分别是的中点，点E，F在上，且．求证：．
（2025·山东济南·二模）
23．如图，在中，点E、F在上，且，求证：．
（24－25八年级下·山东菏泽·期中）
24．如图，的对角线，相交于点，点、在上，且．
求证：．
（2025·山东济南·模拟预测）
25．如图，已知平行四边形，点E是对角线上的一点，，．求证：．
【题型六：两平行线间的距离及其应用】
26．如图，在中，过点C分别作边，的垂线，，垂足分别为M，N，则直线与的距离是（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
27．如图，四边形是平行四边形，点M在边上，，垂足分别为E、N，则平行线与之间的距离是（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
（2024春 馆陶县期末）
28．如图,直线∥，于E，交 于F，直线交于M，于N，于O，则直线和之间的距离是哪个线段的长（ ）
A． B． C． D．
（2024春 冷水滩区校级期末）
29．在同一平面内，已知，若直线之间的距离为，直线之间的距离为，则直线间的距离为（ ）
A．或 B． C． D．不确定
（2024春 巴彦县期末）
30．已知，点E，F分别为，上的点，连接，，若，则两直线与间的距离是（　　）
A．5 B．6 C． D．
【题型七：判断能否构成平行四边形】
（24－25八年级下·江苏扬州·期中）
31．下列四边形，根据所标数据，一定为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
（24－25八年级下·山东聊城·期中）
32．根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
（2025·河北·模拟预测）
33．如图，根据四边形中所标的数据，能判定为平行四边形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（24－25八年级下·江苏南京·期中）
34．一个四边形的三个内角的度数依次如下，能判定该四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
（2025·河北秦皇岛·一模）
35．如图，四边形是平行四边形，在对角线上取两点E，F，连结，，，．下列条件：
①；②；
③，；
④；⑤；
能得到四边形是平行四边形的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【题型八：平行四边形判定的条件】
（2025·湖南常德·二模）
36．如图，四边形的对角线与相交于点O，已知，若要证明四边形为平行四边形，则还需要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
（24－25八年级下·上海崇明·期中）
37．如图，在四边形中，E是边的中点，联结并延长交的延长线于点F，如果，那么再添加以下一个条件使得四边形是平行四边形，请选出正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（24－25八年级下·河北石家庄·期中）
38．如图，在四边形中，对角线，交于点O，．添加下列条件中的一个后，可使四边形是平行四边形的有（ ）
①；②；③．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
（2024下·安徽合肥·八年级统考期中）
39．如图，已知点E、F在四边形ABCD的对角线BD所在的直线上，且BE=DF，AE∥CF，请再添加一个条件（不要在图中再增加其它线段和字母），能证明四边形ABCD是平行四边形，并证明你的想法.
你所添加的条件： ；
证明：
（2024下·黑龙江绥化·八年级统考期末）
40．四边形ABCD中，如果AB=DC，当AB DC时，四边形ABCD是平行四边形．
【变式5－2】（2023下·北京通州·八年级统考期中）
41．如图，在四边形中，，垂足分别为．请你只添加一个条件 （不另加辅助线），使得四边形为平行四边形．

【题型九：平行四边形的判定的证明】
（24－25八年级下·甘肃定西·阶段练习）
42．如图，在四边形中，，，，延长到点，使，连接AE．求证：四边形是平行四边形．
（2025·湖北·二模）
43．如图，在中，为上一动点，与关于点中心对称，连接，，求证：四边形是平行四边形．
（2025·陕西榆林·二模）
44．如图，在四边形中，连接，，过点A作交于点F，过点C作交于点E，，求证：四边形是平行四边形．
（2025·四川泸州·二模）
45．如图，，，平分，．求证：四边形是平行四边形．
（24－25八年级下·湖北宜昌·期中）
46．如图，四边形是平行四边形，对角线交于点，点是上的两点且．求证：四边形是平行四边形．
【题型一：求与已知三点组成平行四边形的点的个数】
（23－24八年级下·贵州黔东南·期中）
47．以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（ ）
A．或 B．或
C．或或 D．或或
（23－24八年级下·山东济南·期末）
48．在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）
A． B． C． D．
（23－24八年级下·山西临汾·期中）
49．如图,在平面直角坐标系中,三点的坐标分别是,若以为顶点的四边形为平行四边形,则点的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
（23－24八年级下·辽宁丹东·期末）
50．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是，点A的坐标是，点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是 ．
（23－24八年级下·湖北十堰·期中）
51．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标 ．
【题型二：平行四边形与平面直角坐标系的综合】
（2024春 南平期末）
52．如图，在平面直角坐标系中，□AOBC的顶点B在x轴上，OA=2，∠AOB =60°， OP平分∠AOB交AC边于点P，则点P的坐标是是（ ）
A． B．
C． D．
（2025九年级下·河南商丘·学业考试）
53．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点A、C的坐标分别为，将风车绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
（24－25九年级下·江苏常州·期中）
54．如图，四边形是平行四边形，，，点A在x轴的正半轴上，将平行四边形绕点O逆时针旋转得到平行四边形，点C的对应点点D恰好落在x轴的负半轴上，且经过点C，则点E的坐标为 ．
（24－25八年级下·四川成都·期中）
55．如图：在平面直角坐标系中， ，，，将绕点B顺时针旋转得．
(1)求直线解析式．
(2)点P是第一象限直线上一点，当时，求点P的坐标．
(3)在（2）的前提下，点N是直线上的点，点M是x轴上的点，当点B、P、M、N四点构成平行四边形时，请求出点M的横坐标．
【题型一：利用平行四边形的性质与判定求解】
（24－25八年级下·山东青岛·阶段练习）
56．在 中，，相交于点O，过点作于点，在上取点，连接，使．连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，则的面积为________．
（2025·湖南岳阳·二模）
57．如图，在平行四边形中，是对角线上的两点（点在点左侧），且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求线段长．
（2025·江西九江·三模）
58．追本溯源
题（1）来源于课本中的习题，请你完成解答、提炼方法并解答题（2）．
(1)如图1，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，且．求证：的周长等于．
(2)如图2，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．若，求的周长．
（24－25八年级下·浙江舟山·期中）
59．如图，在平行四边形中，，是直线上的两点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，且，求的长．
（24－25八年级下·山西太原·阶段练习）
60．综合与实践：
问题情景：如图，在中，为对角线，的交点，，，为上一动点，连接并延长交于点．
独立思考：（1）当时，求的度数；
实践探究：（2）当四边形为平行四边形时，求的长．
【题型二：利用平行四边形性质与判定证明】
（24－25八年级下·辽宁大连·期中）
61．如图1，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，求证：四边形是平行四边形．
（2024上·山东烟台·八年级统考期末）
62．△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CFDE交AB于点F．
(1)当点D是BC边的中点时，如图①，求证：EF＝CD．
(2)如图②，当点D是BC边上的任意一点时（除B、C外），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（2025·河北石家庄·三模）
63．如图，在中，点E在上，点P是上一点，分别与于点F，G，．
(1)若，判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，求证：；
(3)若，直接写出DG的长．
（2024上·北京海淀·八年级清华附中校考开学考试）
64．如图，在中，，点P为内一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接

(1)用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)当时，
①直接写出的度数为_______；
②若M为的中点，连接，依题意补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明．
（2025八年级下·广东·专题练习）
65．已知：如图1，在四边形中，，．P是边上一动点，连接，将绕点P顺时针方向旋转α，得到，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)M是延长线上一点，连接，且．
①若，求证：；
②如图2，若，，连接、，求证：．
试卷第1页，共3页
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《暑假作业14 平行四边形的性质与判定（13大题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（北师大版）》参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到，即可得到，然后根据线段的和差解答即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，先根据平行四边形的性质得出，，再根据勾股定理得出，最后根据勾股定理即可得出答案.
【详解】解：∵在中，，，
∴，，
∴，
∴，
故选：B.
3．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．由垂直平分线的性质可得，再根据的周长得出，即可求解．
【详解】解：在中，，
，，
垂直平分，
，
的周长是8，
，
，
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．分两种情况：当与在有交点平行四边形内部有交点时，当与在有交点平行四边形外部有交点时，分别证明，，即可得到答案．
【详解】解：如图1所示，当与在平行四边形内部有交点时，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴；
如图2所示，当与在平行四边形外部有交点时，
则；
综上所述，的长为8或12，
故选：A．
5．2
【分析】此题考查了平行四边形的性质，等角对等边，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
首先由平行四边形的性质得到，，，然后等量代换求出，得到，进而求解即可．
【详解】∵在中，
∴，，
∴
∵的平分线交延长线于点E
∴
∴
∴
∴．
故答案为：2．
6．B
【分析】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质等知识，推导出，并且求得是解题的关键．由平行四边形的性质得，，而，则，求得，进而可得出答案．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
利用平行四边形对边平行得，结合角平分线得定义，求角解答即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，，
∴．
∴，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查等边对等角，平行四边形的性质，根据等边对等角，求出的度数，平行线的性质，求出的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选B．
9．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，根据平行四边形对角相等可知，根据等边对等角可知，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，根据角的和与差可求的度数．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
10．75度##
【分析】本题考查平行四边形性质与平行线性质的综合运用，解题关键是作辅助线构造平行关系，利用平行线性质和三角板角度计算角度．
过点作，利用平行线的性质，结合三角板已知角度，逐步推导求出答案．
【详解】解析：如图，过点作，
，
由题意得∶，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
故答案为：．
11．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，，进而即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴的周长，
故选：．
12．C
【分析】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，根据平行四边形的性质得，，，再根据垂直平分线的性质得，继而推出，再利用整体代入的思想并结合平行四边形的周长即可得出结论．解题的关键是掌握：平行四边形的对边相等，对角线互相平分．
【详解】解：∵四边形平行四边形，且、相交于点，
∴，，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴的周长为．
故选：C．
13．C
【分析】本题主要考查翻折的性质，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．根据翻折的性质得到，求出，再根据，即可求出答案．
【详解】解：，
，
以为折痕，将折叠，使点A 恰好落在上的点F，
，
，
，
，
，
即，
故选C．
14．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边相等．
根据平行四边形的性质得到，求出，再结合即可解答．
【详解】解：∵平行四边形的周长为，
∴，，，
∴，
∵，相交于点O且为，
∴的周长为：，
故答案为：．
15．20
【分析】由平行四边形的性质得，再证，然后由含角的直角三角形的性质得即可解答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴平行四边形的周长，
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16．B
【分析】根据勾股定理逆定理可以说明平行四边形的对角线互相垂直，进而可以判断这个平行四边形是菱形，据此即可求解．
【详解】解：设平行四边形的对角线交于点O，且，，，
∴，，

∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
∴平行四边形的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的逆定理，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定．
17．C
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等．证明，可得，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
18．A
【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形与四边形的面积关系，中心对称图形的性质，勾股定理知识，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．根据平行四边形的中心对称性质可知，，根据勾股定理求出的长即可得出结果．
【详解】解：如图，
过点作，交的延长线于点，
，
，
，
由勾股定理得，
即，
解得，
的面积，
是 的中心，
阴影部分的面积为．
故选：A．
19．D
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，平行四边形的性质．过点E作于点F，根据直角三角形的性质可得，再根据平行四边形的性质以及平分可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作于点F，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
故选：D
20．(1)48
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键；
（1）根据平行四边形的性质和勾股定理先求出的长，再根据平行四边形的面积公式求解即可；
（2）根据平行四边形的性质可得，然后利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴的面积；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
则在直角三角形中，根据勾股定理可得：，
∴．
21．见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，由平行四边形的性质得到，则，再由线段中点的定义得到，据此证明，得到，则可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点F是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
22．见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，先由平行四边形的性质得到，则，再由线段中点的定义证明，据此可利用证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点G，H分别是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴．
23．见解析
【分析】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的性质和判定．根据平行四边形的性质得出，，推出，进而利用证明和全等，利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
24．见详解
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先根据平行四边形的性质，得，因为，故，再证明，即可作答．
【详解】解：∵的对角线，相交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，由平行四边形的性质得到，，再由平行线的性质证明，，则可证明得到．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，，
∴，
，，
，
．
26．C
【分析】由平行四边形的性质可得,由平行线之间的距离的定义可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
又∵
∴直线AB与CD的距离为CM的长，
故选择：C
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线之间的距离，掌握平行线之间的距离的定义是解题的关键．
27．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线之间的距离等知识点，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
由平行四边形的性质和平行线之间的距离可求解即可．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴平行线与之间的距离是的长．
故选：B．
28．B
【分析】根据夹在两条平行线间的垂线段的长度即为两平行线的距离，即可判断．
【详解】因为直线∥，于E，交于F，
所以直线EF也垂直于直线CD，
则直线AB和CD之间的距离是线段EF的长．
故选B．
29．A
【分析】分两种情况，当直线在直线、之间时，当直线在直线、外部时，即可解决问题．
【详解】解：当直线在直线、之间时，如图（1），

直线、间的距离为；
当直线在直线、外部时，如图（2），
直线、间的距离为，
直线、间的距离是或．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的距离，清晰的分类讨论是解本题的关键．
30．D
【分析】作于H，证是等腰直角三角形，计算即是直线与间的距离．
【详解】解：如下图，作于H，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了求平行线间的距离，结合等腰直角三角形知识点，作垂直构造等腰直角三角形是解题的关键．
31．A
【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行线的判定，根据平行四边形的判定性质逐项进行分析判断即可．
【详解】解：A、，
∴对边平行且相等，
四边形是平行四边形，符合题意；
B、，
∴一组对边平行且另一组对边相等，
∴不能确定四边形是平行四边形，不符合题意；
C、一组对边相等，不是平行四边形，不符合题意；
D、，
∴一组对边平行不是平行四边形，不符合题意．
故选：A．
32．C
【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识．根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意；
D、根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：C．
33．B
【分析】由第一个图可知，该四边形的一组对边平行另一组对边相等，所以该四边形不一定是平行四边形；由第二个图可知，该四边形内角和可知，四边形邻角互补，所以两组对边分别平行，所以该四边形一定是平行四边形；由第三个图可知，该四边形的一组对边相等，一组对角线被平分，所以该四边形不一定是平行四边形；由第四个图两个阴影部分三角形底相等，面积相等，所以高相等，补充两个三角形的高，构造直角三角形全等，可以推出两条对角线互相平分，所以该四边形一定是平行四边形；于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的判定，正确理解平行四边形的判定是解题的关键．
【详解】第一个图形：一组对边平行另一组对边相等，不能判定；
第二个图形：根据四边形内角和可知，四边形邻角互补，所以两组对边分别平行，可以判定；
第三个图形：一组对边相等，一组对角线被平分，不能判定；
第四个图形：
过点B作交于点E，交于点F，
∵交于点E，交于点F，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴,
又∵，即对角线互相平分，可以判定．
故选：B．
34．A
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握两组对比分别平行的四边形是平行四边形成为解题的关键．
先根据四边形的内角和求得第四个角，然后根据平行四边形的判定定理逐项判断即可解答即可．
【详解】解：A. ，则第四个角为，由相邻两个角的和都为，所以两组对边都平行，该四边形是平行四边形，符合题意；
B. ，则第四个角为，由相邻两个角的和都不为，所以两组对边都不平行，该四边形不是平行四边形，不符合题意；
C. ，则第四个角为，所以一组对边平行，该四边形是梯形，不符合题意；
D. ，则第四个角为，由相邻两个角的和都不为，所以两组对边都不平行，该四边形不是平行四边形，不符合题意．
故选A．
35．C
【分析】此题主要考查平行四边形的定义及其判定，熟练掌握平行四边形的性质及判定，则比较简单．
此题利用平行四边形的判定及全等三角形的性质求解．
【详解】解：连接交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
①，可得，即可判定四边形是平行四边形；
②添加，结合，可证得，∴，可得，可以证明四边形是平行四边形；
③，可证得，根据， 证明，可得，可以证明四边形是平行四边形；
④，无法判定，则无法判定四边形是平行四边形；
⑤，则，可得，结合，则，继而可得，可以证明四边形是平行四边形；
∴能得到四边形是平行四边形的个数是4个．
故选：C．
36．C
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意；
B、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意；
C、因为，，所以四边形为平行四边形，符合题意；
D、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意；
故选：C．
37．D
【分析】本题考查平行四边形的判定．当添加时，可证得，进而推出，，即可得到四边形是平行四边形．
【详解】解：当添加时，，
∵点E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
而添加，，均无法证明四边形是平行四边形．
故选：D
38．B
【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，以及先证明，再得出，同理得证四边形是平行四边形，即可作答．
【详解】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
故①符合题意；
∵，，
∴仍证明不了，
∴无法得四边形是平行四边形，
故②不符合题意；
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
∴故③符合题意；
故选：B
39．AE=CF
【详解】试题分析：要证四边形ABCD是平行四边形，只要得出一组对边（AB和CD）平行且相等即可，即只要添加一个条件使得△ABE≌△CDF，由已知可得两三角形全等的条件有∠E＝∠F，BE＝DF，故可添加AE＝CF（答案不唯一），利用SAS证明△ABE≌△CDF．
试题解析：答案不唯一，例如：添加AE＝CF．
证明如下：
∵AE∥CF，
∴∠E＝∠F，
又BE＝DF，AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，通过题目已有条件分析得出证明四边形ABCD为平行四边形只需证明△ABE≌△CDF是解决问题的关键．
40．
【分析】根据平行四边形的性质解答即可．
【详解】解：∵两对边平行且相等的四边形是平行四边形，AB=CD
∴ABCD．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握两对边平行且相等的四边形是平行四边形是解答本题的关键．
41．或或（答案不唯一）
【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：添加条件为：或或，
①添加，
理由：∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
故答案为：．
②添加，
理由：∵，
∴是直角三角形，且，
在中，
，
∴，
∴，
∴，且，
∴四边形为平行四边形，
故答案为：．
③添加，
理由：∵，
∴，且，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
故答案为：．
综上所示，添加的条件有或或，
故答案为：或或（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
42．见解析
【分析】本题考查了等边对等角，平行四边形的判定，平行线的判定与性质，由垂直定义可知，再通过等边对等角得，然后通过平行线的判定可得，最后由平行四边形的判定方法即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
43．见解析
【分析】本题主要考查中心对称图形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握中心对称图形的性质及平行四边形的判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求证
【详解】证明：∵与关于点中心对称，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
44．证明见解析．
【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，由平行线的性质得到，再证明，得到，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】证明：，
，
，
，即，
∵，，
∴，
，
，
四边形是平行四边形．
45．证明见解析
【分析】利用三角形的全等证明，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可．
本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形．
46．见解析
【分析】题目主要考查平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键．
根据平行四边形的性质得出，确定，再由平行四边形的判定即可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，对角线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
47．D
【分析】先根据题意画出图形，然后分为边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的判定和平移的性质即可解答．
【详解】解：如图：当为对角线时，点的坐标为，即；
当为边时，点的坐标为，即；点的坐标为，即．
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
48．B
【分析】作出图形，结合图形进行分析可得．
【详解】解：在平面直角坐标系中，
将向左平移各单位得到，
此时；
将向右平移各单位得到；
此时；
将先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到，
此时；
综上所述，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和线段的平移；解题的关键是通过平移得到平行四边形．
49．D
【分析】根据平行四边形的性质可知：平行四边形的对边平行且相等，连接各个顶点，数形结合，可以做出D点可能的坐标，利用排除法即可求得答案．
【详解】解：数形结合可得点D的坐标可能是（﹣3，﹣1），（7，﹣1），（1,5）；但不可能是（2,5）
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和直角坐标系，考查学生解题的综合能力，解题的关键是在直角坐标系中画出可能的平行四边形．
50．或
【分析】此题考查了坐标与图形的性质以及平行四边形的性质，先建立平面直角坐标第，再分和两种情况求解即可．
【详解】解：①当，时，如图：
∵点C的坐标是，点A的坐标是，
∴，
∵点B不在第一象限，
∴点B坐标为，即
①当，时，如图：
由坐标可知：点向下平移3个单位，向左平移1个单位到点O，
∴由坐标可知：点向下平移3个单位，向左平移1个单位到点B，
故点B坐标为：即，
综上所述：点B的坐标是或，
51．，，
【分析】需要分类讨论：以为边的平行四边形和以为对角线的平行四边形．
【详解】解：①当为边且为邻边时：如图

因为点、，
所以点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点，
相应的点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点，
，
；
②当为边且为邻边时：如图

因为点、，
所以点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点，
相应的点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点，
，
；
③当为对角线时：如图

因为点、，
所以点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点，
相应的点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点，
，
；
故答案为：，， ．
【点睛】本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，利用数形结合思想解决．
52．D
【分析】过点P作，构造平行四边形和直角三角形，利用平行四边形的性质和直角三角形的性质及勾股定理求解.
【详解】解：如图，过点P作，
，， OP平分∠AOB，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
点P的坐标是，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形和直角三角形的知识，涉及知识点：平行四边形的性质与判定，三角形外角的性质，直角三角形中所对直角边等于斜边的一半，勾股定理，解题关键构造平行四边形和直角三角形．
53．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与平面，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
先根据平行四边形的性质得到，然后找到规律得到第2025次旋转结束相当于第9次旋转结束，当于顺时针旋转了，此时点对应点记为点，过点分别作轴的垂线，垂足为点，则，证明即可求解．
【详解】解：∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵将风车绕点O逆时针旋转，每次旋转，，
∴12次为一个周期，
∵，
∴第2025次旋转结束相当于第9次旋转结束，
∵，
∴第9次逆时针旋转了，则相当于顺时针旋转了，此时点对应点记为点，
过点分别作轴的垂线，垂足为点，则，
由旋转得，
∴，
∴
∴，
∴，
∴则第2025次旋转结束时，点B的坐标为，
故选：B．
54．
【分析】本题考查了旋转变换和平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度的直角三角形的性质，掌握相关知识点是解本题的关键．作轴于点G，即可求出F点坐标，从而可求出E点坐标．
【详解】解：作轴于点G，
∵平行四边形绕点O逆时针旋转得到平行四边形，
∴，，，，，，
∴，
又∵，
∴．
∴是等边三角形，，即旋转角为．
∴，
∴，，，
∴，
又∵，，
∴．
故答案是：．
55．(1)直线解析式为
(2)
(3)的横坐标为
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是关键．
（1）求出，，利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）连接，设，根据和，，列方程解方程即可得到答案；
（3）设，，当，为对角线，当，为对角线，当，为对角线，分以上三种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：过E作轴于K，如图：
∵ ，，，
∴，
∵将绕点B顺时针旋转得，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，把，代入，
得：，
解得，
∴直线解析式为；
（2）连接，如图：
设，
，
，
，
，
解得，
；
（3）设，，
由，，
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
，此时，重合，不符合题意，舍去；
当，为对角线，同理可得，
解得，
，此时的横坐标为；
当，为对角线，同理可得，
解得，
，此时，重合，不符合题意，舍去；
综上所述，的横坐标为．
56．(1)见详解
(2)96
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟记各性质与判定是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可；
（2）根据勾股定理求出，再根据平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
由（1）得，
在中，由勾股定理得，，即
，
∵，
∴，
∴
∴
故答案为：
57．(1)证明见详解
(2)
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
（1）根据，可推出，再根据平行四边形的性质可得，，即可得出，，进而可证四边形是平行四边形．
（2）根据勾股定理可得，由等面积法得出，根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，，，
∴，
∵,
∴,
∵，
∴．
58．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明，，可得，，再进一步求解即可；
（2）先证明，，可得，，结合，可得，再进一步求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴，，
∴的周长为
．
（2）解：在中，，，，
∴，，
∵的平分线交于点，的平分线交于点．
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的周长为．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的判定等腰三角形是解本题的关键．
59．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是得到．
（1）根据平行四边形的性质得到，，从而，则，易证，得到，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据勾股定理求出的长度，连接交于，求得，根据平行四边形的性质得到，设，根据勾股定理列方程即可得解．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
．
．
在和中，
，
．
，．
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，，
，
连接交于，
，
四边形是平行四边形，
，
，
设，
，
，
，
，
，
（负值舍去），
的长为．
60．（1）（2）4
【分析】本题考查平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）根据，，推导出，再根据邻补角定义即可求解；
（2）根据推导出 和全等，根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的性质可知，进而得到点为中点，在中，根据直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，得到的值，进而得到值即可；
【详解】解：（1），，
，
，
．
答：的度数为．
（2），
，，
，
、为对角线，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，，，
，
．
61．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判的性质是关键．
（1）根据平行四边形的性质证明，即可求解；
（2）根据题意得到，，根据平行四边形的判定方法即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
又，
，
；
（2）证明：由（1）得，
，
，即，
，
，
四边形是平行四边形．
62．(1)见解析
(2)EF=CD成立，理由见解析
【分析】（1）根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED∥CF，求证△ABD≌△CAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；
（2）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，BC=AC．
∵D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAC=30°．
∵△AED是等边三角形，
∴AD=DE，∠ADE=60°．
∴∠BDE=90°－∠ADE=90°－60°=30°．
∵CF∥DE，
∴∠BCF=∠BDE =30°．
在△BCF和△CAD中，
∵∠BCF=∠CAD =30°，∠B=∠ACB，BC=AC，
∴△BCF≌△CAD．
∴CF=AD．
∵AD=DE，
∴CF = DE．
又∵CF∥DE，
∴四边形EDCF是平行四边形，
∴EF=CD．
（2）解：EF=CD成立．
理由： ∵CF∥DE，
∴∠BDE=∠BCF．
∵∠BDE +∠ADE =∠CAD+∠ACB，
由（1）知∠ADE=∠ACB=60°，
∴∠BDE =∠CAD，
∴∠BCF =∠CAD．
在△BCF和△CAD中，
∵∠BCF=∠CAD ，∠B=∠ACB，BC=AC，
∴△BCF≌△CAD．
∴CF=AD．
∵AD=DE，
∴CF = DE．
又∵CF∥DE，
∴四边形EDCF是平行四边形，
∴EF=CD．
【点睛】此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握．此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大．
63．(1)平行四边形，理由见解析；
(2)见解析；
(3)2．
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用所学知识成为解题的关键．
（1）由等边对等角可得，再结合已知条件运用等量代换可得，即，进而的到，再结合即可证明结论；
（2）先证明，再运用全等三角形的性质即可证明结论；
（3）先说明是等边三角形可得，再结合已知条件可得．；由平行线四边形的性质可得，，即；然后运用直角三角形的性质以及线段的和差即可解答．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形．理由如下：
，
，
又∵，
．
，
，
∵，
四边形PCDG是平行四边形．
（2）证明：，，
．
，
又，
．
．
（3）解：如图：∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴．．
∵，
∴，，
∴
，
∴，
∴，
∴，
．
64．(1)
(2)
【分析】（1）利用 证明 , 即可得出答案;
（2） ①由三角形内角和定理知 ，再利用角度之间的转化和等量代换可得 ，即可解答；
② 延长 到 ，使 ，连接 、， 得出四边形 为平行四边形，则 且 ， 再利用 证明 ，得 ，即可解答；
【详解】（1），
证明： ∵，
∴，
∵将线段绕点C顺时针旋转 得到 ，
（2）①当 时，
则 ，
∵，
∴，
∵，
∴，
又 ∵，
∴；
故答案为；
②，理由如下：
延长 到 ，使 ，连接 、，

∵ 为 的中点，
∴，
∴四边形 为平行四边形，
∴ 且 ，
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质， 全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键
65．(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）由平行线的性质可得，再由可得，从而得出，再由平行四边形的判定可得结论；
（2）①先证明，再证明，推出，可得结论；
②延长至N，使，联结、，先证明，可得是线段的线段垂直平分线，得出，则是等腰直角三角形，从而证得，再证明，从而得出，延长交于E，则，最后由勾股定理得出，最后可得结论．
【详解】（1）如图1，
，
；
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）①如图1，
，，
，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
；
②如图2，延长至N，使，连接、，
在与中，
，
，
，；
，
是线段的线段垂直平分线，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
又，
；
四边形是平行四边形，
，
，
；
在与中，
，
，
，，
；
延长交于E，则，
，
，
四边形内角和为，，
，
在中，
，
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，全等三角形判定和性质等知识，正确添加辅助线是解本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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