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2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数中，最小的数是（　　）
A． B．0 C． D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各点在反比例函数图像上的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，与位似，点O为位似中心，若，若的面积为3，则的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．16
6．已知，则实数的范围是（ ）．
A． B． C． D．
7．用正六边形瓷砖来铺设地板，以一块正六边形瓷砖为中心，按环状铺设，每次铺设时最外侧的边需一块新的正六边形瓷砖与它衔接，如图①铺设一环需1块正六边形瓷砖，如图②铺设两环需7块正六边形瓷砖，如图③铺设三环需19块正六边形瓷砖，如图④铺设四环需37块正六边形瓷砖，按此规律排列下去，则铺设六环需（ ）块正六边形瓷砖．
A．81 B．91 C．96 D．187
8．如图，已知四边形是的内接四边形，且，过点D作的切线交的延长线于点E，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，连接、交于点H，连接，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．已知整式，其中n为自然数，，，，均为绝对值小于的整数，且，满足．下列结论：
①满足条件的整式中只有个单项式；
②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个；
③满足条件的整式一共有个．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．随着新能源汽车技术的高速发展，新能源汽车的销量持续增加，某品牌新能源汽车2022年销量为20万台，2024年销量为万台，则该品牌汽车销量的年平均增长率为 ．
13．如图，在矩形中，，，点为延长线上一点，连接，若，则的长为 ．
14．三张背面完全相同的数字牌，正面分别印有数字1、2、4，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张把正面数字记为a，将数字牌放回洗匀后，再随机抽取一张把正面数字记为b，则的概率是 ．
15．如图，是的直径，点C，E为圆上两点，若点C为的中点，连接并延长与交于点F，与的延长线交于点H．若，则 ， ．
16．一个四位自然数M的各个数位上的数字互不相等且都不为0，如果前两位数字所组成的两位数与后两位数字所组成的两位数的和等于99，那么就称这个数为“长久数”．“长久数”M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．并且规定：．例如：一个四位数3267，因为，所以3267是“长久数”且．最小的“长久数”是 ．如果M是一个“长久数”，规定等于M的前两位数字之和，且是一个完全平方数，则满足条件的M的最大值是 ．
三、解答题
17．（1）解不等式组：；
（2）先化简，再求值：，其中．
18．在学行四边形和菱形的相关知识后，学习小组进行了拓展性研究．他们发现，过平行四边形的一组对角的顶点分别作一组对边的垂线，与另一组对角的顶点所连对角线或对角线所在直线相交，则这两个交点和两个垂足构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得此结论．请根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在平行四边形中，是对角线，过D作交于点E，连接．用尺规过点B作的垂线，交于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）所作的图形中，求证：四边形是平行四边形．
证明：四边形是平行四边形，
∴，① ，
∴.
∵，
∴，
在和中
，
∴(ASA)，
∴③ ，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
进一步思考，如果四边形是菱形呢？过菱形的一组对角的顶点分别作一组对边的垂线，与另一组对角的顶点所连对角线或对角线所在直线相交，则这两个交点和两个垂足构成的四边形是④ ．
19．为了了解学生掌握环境保护知识的情况，进一步增强学生绿色文明意识、生态保护意识，号召学生积极参与到环境保护的行动中来，某校举行了“保护环境，人人有责”的环保知识大赛．从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的成绩是：73，73，76，79，79，84，84，84，98，100．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：80，85，85，85．
七、八年级抽取的学生成绩统计表：
平均数 中位数 众数
七年级 83 81.5 b
八年级 83 a 85
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ，m= ；
(2)根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中哪个年级学生的环保知识掌握较好？请说明理由（一条即可）；
(3)已知该校七年级有1900人，八年级有1800人参加了此次环保知识大赛活动，请估计两个年级参加该活动的成绩不低于80分的共有多少人？
20．为了助力乡村振兴，某乡镇政府计划对一条长3000米的乡村道路进行改造．
(1)该工程原计划由甲队单独施工，工期为160天．刚开始每天施工16米，施工一段时后，甲队改进技术，施工效率提高了25％，刚好按时完工，则技术改造前甲队施工了多少天．
(2)由于工期需要，该工程决定由甲、乙两队共同完成，通过工程招标，甲队获得了1800米的改造工程，乙队获得了1200米的改造工程．甲、乙两队同时开始施工，甲队每天比乙队多施工20％，结果甲队比乙队晚20天完成任务．求乙队平均每天施工的米数．
21．如图，在四边形中，，，对角线，．动点P以每秒5个单位长度的速度从点B出发，沿着运动，作于点M，同时动点Q从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点N是射线上一点，连接，满足，当点P到达C点时，P、Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为x秒，线段的长度为，线段的长度为．
(1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过）
22．如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别去B，C两港装载物资，运送到位于A港北偏东方向的D港．甲货轮沿A港的北偏东方向航行120海里后到达B港，因装载工人人手不够，甲货轮花了5个小时装载货物，然后沿正北方向航行一定距离到达D港．乙货轮沿A港的西北方向航行一定距离到达C港，3个小时后装载好货物，再沿正东方向航行一定距离到达D港．（参考数据：，
(1)求B，D两港之间的距离（结果保留根号）；
(2)若甲、乙两艘货轮都匀速航行，甲货轮每小时航行30海里，乙货轮每小时航行60海里，哪艘货轮先到达D港？请通过计算说明（结果保留小数点后一位）．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，B两点（A在B的左侧），抛物线的对称轴是直线，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交于点D，点E，F为x轴上的两个动点，点E在F的左侧，且，连接．当线段的长度取得最大值时，求的最小值；
(3)如图2，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得，新抛物交于点N，点M是新抛物上对称轴左侧的一个动点，点K在的对称轴上，连接，当且时，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解其中一个点M坐标的过程．
24．如图，，，将线段绕着点A顺时针旋转α，，得到，连接、，点E为线段中点，过点D作交于点H．连接交于点F．
(1)如图1，当时，求的度数．
(2)如图2，过点C作于点Q，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．
(3)如图3，若，点M是直线上一动点，作点M关于点E的对称点N，连接、，对于α的每一个确定值，都有一个对应的最小值，当最小值等于时，请直接写出四边形的面积．
《2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模数学试题》参考答案
1．D
解：
所以最小的数是，
故选：D．
2．B
解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B.
3．D
解：A、反比例函数，当时，，则不在反比例函数图象上，不符合题意；
B、反比例函数，当时，，则不在反比例函数图象上，不符合题意；
C、反比例函数，当时，，则不在反比例函数图象上，不符合题意；
D、反比例函数，当时，，则在反比例函数图象上，符合题意．
故选：D．
4．B
解：A、，故计算错误；
B、，故计算正确；
C、，故计算错误；
D、，故计算错误；
故选：B．
5．C
解：∵，
∴，
∵与位似，点O为位似中心，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为3，
∴的面积为12，
故选：C．
6．D
解：，
，
，
即实数的范围是，
故选：D．
7．B
解：图①铺设一环需1块正六边形瓷砖，
图②铺设两环需7块正六边形瓷砖，即（块），
图③铺设三环需19块正六边形瓷砖，即（块），
如图④铺设四环需37块正六边形瓷砖，即（块），
按此规律排列下去，
铺设环需块正六边形瓷砖；
则铺设六环需块正六边形瓷砖．
故选：B．
8．A
解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
故选：A．
9．B
解：如图：作交于，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴、、、四点共圆，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10．A
解：∵，，
∴，
当时，，
∵，
∴，
∵，，，均为绝对值小于的整数，且，
∴或，
即或，
共种，其中单项式有个；
当时，，
∵，
∴，
∵，，，均为绝对值小于的整数，且，
∴或或或或或，
∴或或或或或，
共种，其中单项式有个；
当时，，
∵，
∴，
∵，，，均为绝对值小于的整数，且，
∴或或或或或或或或或，
∴或或或或或或或或或，
共种，其中单项式有个；
当时，，
∵，
∴，
∵，，，均为绝对值小于的整数，且，
∴或，
∴或，
共种，其中单项式有个；
综上，
满足条件的整式中，有个单项式，
故①错误；
当时，满足条件的整式有且只有个，
故②错误；
满足条件的整式一共有个，
故③错误；
故正确的个数是个，
故选：A．
11．x≥﹣9
解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x+9≥0，
∴x≥﹣9，
故答案为x≥﹣9．
12．
设该品牌汽车销量的年平均增长率为x，
根据题意，得，
解得（舍去），
答：该品牌汽车销量的年平均增长率为．
故答案为：．
13．
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
解：根据题意，画出树状图如下：
一共有9种等可能结果，其中的有5种，
∴的概率是．
故答案为：．
15． 6
解：∵点C为的中点，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图：连接，设，
∵是的直径，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
根据圆周角定理得：，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：6； ．
16．
解：∵是“长久数”，
∴，，
∵“长久数”要最小，
∴，，
∴，
∴，，
∴最小的“长久数”是；
∵等于M的前两位数字之和，
∴，
∵“长久数”M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数，
∴，
∴
，
∴
；
∵，，，，
∴，
此时最大的完全平方数为，
∴ ，
∵最大，且，
∴，
∴当时，，舍去，
当时，，舍去，
∴不符合题意舍去，
当时，而，
∴，即，
∴当时，，舍去，
当时，，
∴，
∴，，
∴的最大值为：.
故答案为：，
17．（）；（），．
解：（）
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为；
（）
，
由
，
∴原式
．
18．(1)作图见解析
(2)菱形
（1）解：如图所示，
（2）证明：证明：四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
在和中
，
∴(ASA)，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
菱形．
由（2）可知，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是菱形，
∴，
即，
∴四边形是菱形．
故答案为：菱形．
19．(1)，，
(2)八年级掌握知识较好，理由见解析
(3)估计两个年级参加竞赛成绩不低于80分的共有2210人
（1）解：由题知，八年级组所占百分比为：．
八年级组所占百分比为：，
∴，
∵八年级共有人，
∴处于、两个等级的人数之和为：（人），名同学成绩从小到大排序后中间的两个数为第个第个，
∵八年级名学生的成绩在组中的数据是：．
∴八年级名同学成绩从小到大排序后中间的两个数为第个第个为，，
∴；
∵七年级名学生的成绩是：，其中出现次数最多的是，
∴；
（2）解：八年级掌握知识较好，理由如下：
从平均数看，七年级分八年级分，
从中位数看，七年级分八年级分，
从众数看，七年级分八年级分，
∴八年级掌握知识较好；
（3）解：（人）
答：估计两个年级参加竞赛成绩不低于80分的共有2210人．
20．(1)50天
(2)15米/天
（1）解：设技术改造前甲队施工了x天，则技术改造后的施工时间为天，
由题意得：，
解得：；
答：技术改造前甲队施工了50天；
（2）解：设乙队平均每天施工y米，则甲队平均每天施工米/天，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
答：乙队平均每天施工15米．
21．(1)；
(2)见解析
(3)
（1）解：在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵动点P以每秒5个单位长度的速度从点B出发，沿着运动，，
∴当时，点P在线段上运动，当时，点P在线段上运动，
如图1所示，当时，
∵，
∴，
∴，
∴
∴；
如图2所示，当时，则此时有，
∴，
∴；
∵动点Q从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即；
（2）解：如图所示函数图象即为所求；由函数图象可得，当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小；
（3）解：联立得：，解得（已检验）或（舍去），
联立得，解得（已检验）或（舍去），
∴由函数图象可知当时x的取值范围为．
22．(1)海里
(2)甲货轮先到达D港
（1）解：过点B作于点G，，交于点H，
根据题意得：海里，
在中，海里，海里，
在中，海里，海里，
∴海里，
∵，
∴，
∴，
∴海里，
∴海里，
∴海里，
答：B，D两港之间的距离为海里；
（2）解：过点作于点M，
∵，
∴，
∴，
由（1）知海里，海里，海里，海里，
∴，
∴海里，海里，
根据题意得：，则，
∴海里，
∴海里，海里，
∴甲货轮所用时间为：（小时），
乙货轮所用时间为：（小时），
∵，
∴甲货轮先到达D港．
23．(1)
(2)
(3)或
（1）解：根据题意：，则，
将代入抛物线解析式得：，
解得：，则，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：将代入，则，
令，解得：或，
∴，，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
过点P作x轴平行线，交延长线于点G，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
设，
则点纵坐标为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为，即有最大值，
此时，，即；
将点P向右平移1个单位到点Q，作点Q关于x轴的对称点，连接，
则，，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长；
∵，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：根据题意，
令，解得：或，
根据题意：，
∴，
∴，
∵二次函数图象的对称轴为，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
过点M作于点H，过点作轴平行线交抛物线对称轴于点T，过点作轴平行线，交于点，过点作轴平行线交于点L，则，，，
当点M在点上方时，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，点横坐标为，
设，，则，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
则，
∴；
当点M在点下方时，
同上得，，，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
则，
∴；
综上，所有符合条件的点M的坐标为或．
24．(1)
(2)，证明见解析
(3)
（1）解：∵，，将线段绕着点A顺时针旋转α得到，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图，
∵，，将线段绕着点A顺时针旋转α得到，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点E为线段中点，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
过作于，而，
∴，
∴四边形为矩形，，
∴，，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，即，
∴，
即．
（3）解：如图，由（2）同理可得：，，
∵点M关于点E的对称点N，
∴，
∴，
延长至，使，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，即的长，
此时三点重合，如图，记的交点为，
∵此时，，
∴，
过作于，过作于，
∵，
结合（2）可得：
，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形的面积为：．

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