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云南省砚山县第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试
高一数学
注意事项:
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，且，则（ ）
A. 8或20 B. 8或-20 C. 或20 D. 或
2.设实数满足，函数的最小值为（ ）
A. B. C. D. 6
3.对于实数，，，下列命题中是真命题的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若且，则 D. 若，，则
4.已知函数是定义在上的奇函数，若，则（ ）
A. 3 B. C. 1 D.
5.已知函数，，以下结论正确的（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于点中心对称
C. 函数没有最大值
D. 若方程有两个解，则
6.已知函数（a＞0且a≠1）是R上的单调函数，则a的取值范围是（ ）
A. （0，] B. [） C. [] D. （]
7.将函数图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列各式不正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.函数f(x)＝b（x-a）2（x-b）的图象可以是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是的一个周期 B. 的图象关于点对称
C. 为奇函数 D. 在区间上的最大值为
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则的最小值为_________.
13.设函数，存在最大值，则的取值范围是__________.
14.已知，，则的值为_________.
四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分,第18、19题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（1）设，证明：的充要条件为．
（2）设，求证：至少有一个为负数．
16.（2023·江苏省扬州市高邮市月考）已知函数是奇函数.
（1）求的定义域及实数的值；
（2）用单调性定义判定的单调性.
17.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
18.已知函数．
（1）若在上的最小值为，求的值；
（2）若函数恰有3个零点，求的取值范围．
19.已知函数f(x)＝4sincos ωx在x＝处取得最值，其中ω∈(0,2)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．若α为锐角，且g(α)＝－，求cos α的值．
一、单选题
1.【答案】A
【解析】依题意，由集合元素的互异性可知，且中有1或2个元素：
①若中只有1个元素，则，所以方程只有一个实数根，所以，解得，
当时，，所以，此时，
当时，，所以，此时，
②若中有2个元素，则，所以方程有两个实数根，所以，
且为方程的两根，所以，解得，满足，
原方程即为，解得或，所以，此时，
所以或20.
故选：A.
2.【答案】A
【解析】由题意，所以，
所以,
，
当且仅当，即时等号成立，满足条件，
所以函数的最小值为.
故选：A．
3.【答案】D
【解析】选项，当时，，故A错误；
选项B，当时，若取，，则，故B错误；
选项C，当且，若取，，，，则，故C错误；
选项D，当，时，成立，则D正确；
故选：D．
4.【答案】A
【解析】依题意，因为，所以,
所以,
又因为是定义在上的奇函数，所以，
则，所以，
又因为，所以.
故选：A.
5.【答案】B
【解析】对于A选项，因为，
可知不是偶函数，所以的图象不关于直线对称，故A错误;
对于B选项，因为，
可得是奇函数，即函数关于原点对称，
所以原函数关于点中心对称，故B正确;
对于C选项，当时，，
当时，
因为，所以，
所以，
所以函数有最大值为4,故C错误；
对于D选项，因为,
所以由可得,
即,
若则方程有唯一解为，不满足题意，
若要使方程有两个解，则，
解得且故D错误
故选:B.
6.【答案】C
【解析】当时函数为单调递减，，所以分段函数为单调递减，
当时，，
当时，在递减，即，
当时，对应的值大于等于对应的值，
即，
所以解得,所以选择C.
7.【答案】B
【解析】根据题意可得：，
为奇函数，
，，
，.
故选：B.
8.【答案】D
【解析】先将角化成弧度制，圆心角，由弧长公式，得，
所以该扇形的面积为.
故选：D.
二、多选题
9.【答案】ABC
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，当时，，，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABC.
10.【答案】BC
【解析】对于函数，令，可得，所以函数有零点和，
因为时二重根，所以是不变号零点，是变号零点，
对于A选项，由图可知，左侧零点附近不变号，所以该零点是，右侧零点是变号零点，则，此时，不成立，故A错误；
对于B选项，由图可知，右侧零点为不变号零点，左侧零点为变号零点，
此时，当，，当，，当时，，满足图象，故B正确；
对于C选项，由图可知，左侧零点是，右侧零点是且，对于，当时，，当时，，当时，，满足图象，故C正确；
对于D选项，由图可知，左侧零点是，右侧零点是且，对于，当时，，与图象不符，故D错误.
故选：BC.
11.【答案】BD
【解析】选项A：根据余弦函数周期公式（为前面系数），这里，所以，不是其周期，A错误.
选项B：令，，解得，，当时，，此时，所以的图象关于点对称，B正确.
选项C：，，所以不是奇函数，C错误.
选项D：当时，，此时，所以，最大值为，D正确.
综上，答案选BD.
三、填空题
12.【答案】7
【解析】因为，则，
当且仅当解得()时取等号，所以的最小值为7.
13.【答案】
【解析】①当时，函数在上的解析式为，所以为单调递减，因此不存在最大值；
②当时，，当时，，
故函数存最大值；
③当时，故函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取最大值，故时，，
当时，函数在上单调递增，此时 ，因为存在最大值，所以，解得，又因为，所以 ；
④当时，函数在上单调递减， ，
在上单调递增，此时所以存在最大值，则，解得，又，故；
综上，的取值范围是时函数存在最大值.
14.【答案】
【解析】，，故，
所以.
四、解答题
15.【答案】解：（1）充分性：若，则，
，
，，．
必要性：将两边同时平方，得
，．
（2）方法一：假设，
，，
，
，
，，
，与矛盾，
至少有一个为负数．
方法二：假设，
，，
，，
与矛盾，至少有一个为负数．
16.【答案】解：（1）由，得，
所以的定义域为，
因为是奇函数，则，
即，即，
所以，则，所以.
（2），，
，
由，得，，，
则，即，
所以在上单调递减，
同理在上单调递减.
17.【答案】解：（1）函数是定义在上的奇函数，当时，，
当时，则，则，
则，
又因为，故.
（2）因为当时，，且在上为增函数，
故函数在定义域上为增函数，
由可得，
所以，解得.
18.【答案】解：（1）①当时，在上单调递增，所以在上没有最小值；
当时，因为，，所以，
而在上的最小值为，
所以，即，即，
因为，所以，解得，故；
（2）令（*），
因为，所以.
令，则，且（*）式等价于
如图所示，作出的图象
因为恰有3个零点，所以有两个不相等的实数根，，且，
令，
则，解得，
综上所述，的取值范围是．
19.【答案】解　(1)f(x)＝4sincos ωx
＝4cos ωx
＝2sin ωxcos ωx－2cos2ωx
＝sin 2ωx－cos 2ωx－
＝2sin－.
∵函数f(x)在x＝处取得最值，
∴2ω×－＝kπ＋，k∈Z，
解得ω＝2k＋，k∈Z.
又ω∈(0,2)，∴ω＝，
∴f(x)＝2sin－，
∴最小正周期T＝.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin－＝2sin－的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝2sin－的图象，
即g(x)＝2sin－.
∵α为锐角，g(α)＝2sin－＝－，
∴sin＝，
∴cos＝ ＝，
∴cos α＝cos
＝cos－sin
＝×－×
＝.

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