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莘庄中学2024-2025学年第二学期高二年级数学月考
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．事件与事件为对立事件，已知，则___________．
2．双曲线的一个焦点坐标为（5，0），一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是___________．
3．已知工厂库房中的某种零件60%来自甲公司，正品率为90%；40%来自乙公司，正品率为95%，从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为___________．
4．样本数据20，24，6，15，18，10，42，57的第25百分位数为___________．
5．设随机变量服从二项分布，则___________．
6．某同学决定用圆周率的不足近似值3．14159中出现的这六个数字编成一组六位数的开锁密码（每个数字用一次），则两个数字“1”不相邻的不同密码共有___________组．
7．抛物线上一点到点（2，0）的距离最小值为___________．
8．若随机变量，，则___________．
9．已知双曲线的左焦点为，过且与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，为坐标原点，的面积为，则到双曲线的渐近线距离
为___________．
10．一袋中装有除颜色外完全相同的4个黑球和3个红球，从袋中任取3球．已知取出的球中有红球，则取出的3个球都是红球的概率为___________．
11．2025年底，莘庄中学开展迎新狂欢活动，高二某班级决定组织盲盒抽奖活动，到班级参与活动并达到一定要求的同学都可以参与抽奖。组织方准备了20个盲盒，其中有6个盲盒内有奖品，抽奖者甲先拿起一个盲盒在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另一个盲盒打开，记甲中奖的概率为，则___________．
12．在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”．若函数为“函数”，则实数的取值范围是___________．
二、选择题（本大题共4题，13、14题4分，15、16题5分，共18分）
13．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
14．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么事件与事件为互斥而不对立的事件是（ ）
A．事件：恰好有一个白球，事件：都是红球
B．事件：至多有一个白球，事件：都是红球
C．事件：至多有一个白球，事件：都是白球
D．事件：至多有一个白球，事件：至多一个红球
15．设函数的定义域为，是的极大值点，则（ ）
A．是的极小值 B．是的极大值点
C．是的极小值 D．是的极大值点
16．有一袋子中装有大小、质地相同的白球个，黑球甲、乙两人约定种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球。若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题：①；②．判断正确的是（ ）
A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题
三、解答题（本大题共5题，共78分）
17．已知的展开式中，第2项的系数与第3项的系数之比是．
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项．
18．已知双曲线的左右焦点为，．
（1）若双曲线的离心率为，且，是正三角形，求的方程．
（2）若，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为，若，求．
19．一只不透明的袋子中装有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同。甲从中任意取出1个球不放回，若取出的是红球，则往袋中加入1个红球，甲再从袋中取出1个球；若取出的是黑球，则不往袋中加入任何球，甲再从袋中取出1个球．
（1）求甲取到的2个球颜色不相同的概率；
（2）求在甲第二次取到红球的前提下，甲取到的2个球颜色不相同的概率．
20．某地进入6月，天气逐渐变热，防蚊产品需求开始上升。某防蚊产品生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查防蚊产品质量、该厂质检人员从某生产的防蚊产品中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如下频率分布直方图．规定：防蚊产品的质量指标值越高，说明该防蚊产品质量越好，其中质量指标值低于130的为二级防蚊产品，质量指标值不低于130的为一级防蚊产品．
（1）求该厂商生产防蚊产品质量指标值的平均数和第60百分位数；
（2）现从样本防蚊产品中利用分层抽样的方法随机抽取8个防蚊产品，再从中抽取3个，记其中一级防蚊产品个数为，求的分布列及方差；
（3）在2025年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号防蚊产品的某网络购物平台上分别参加，两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号防蚊产品构成．假定甲、乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率分别为，，记甲乙两人抢购成功的防蚊产品总量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值．
21．对于定义在上的函数和，，设．
（1）若，，求；
（2）若，，，求实数的取值范围．
（3）已知对任意，均有，记，求证：“对任意，函数零点个数均有限”的充要条件是“在上是严格增函数”．
莘庄中学2024-2025学年第二学期高二年级数学月考
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．事件与事件为对立事件，已知，则___________．
【答案】
2．双曲线的一个焦点坐标为（5，0），一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是___________．
【答案】
【解析】，所以双曲线的标准方程为
3．已知工厂库房中的某种零件60%来自甲公司，正品率为90%；40%来自乙公司，正品率为95%，从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为___________．
【答案】或
【解析】
4．样本数据20，24，6，15，18，10，42，57的第25百分位数为___________．
【答案】12.5
【解析】6，10，15，18，20，24，42，57，，∴
5．设随机变量服从二项分布，则___________．
【答案】
【解析】．
6．某同学决定用圆周率的不足近似值3．14159中出现的这六个数字编成一组六位数的开锁密码（每个数字用一次），则两个数字“1”不相邻的不同密码共有___________组．
【答案】240
【解析】插空法．
7．抛物线上一点到点（2，0）的距离最小值为___________．
【答案】2
【解析】设抛物线上任一点，，，
∴时，．
8．若随机变量，，则___________．
【答案】
【解析】∴，．
9．已知双曲线的左焦点为，过且与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，为坐标原点，的面积为，则到双曲线的渐近线距离
为___________．
【答案】
【解析】法一：，代入：
法二：，渐近线：，，∴．
10．一袋中装有除颜色外完全相同的4个黑球和3个红球，从袋中任取3球．已知取出的球中有红球，则取出的3个球都是红球的概率为___________．
【答案】
【解析】，．
11．2025年底，莘庄中学开展迎新狂欢活动，高二某班级决定组织盲盒抽奖活动，到班级参与活动并达到一定要求的同学都可以参与抽奖。组织方准备了20个盲盒，其中有6个盲盒内有奖品，抽奖者甲先拿起一个盲盒在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另一个盲盒打开，记甲中奖的概率为，则___________．
【答案】
【解析】．
12．在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”．若函数为“函数”，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】垂直于轴的直线与函数图像至多1个交点
与至多1个交点，即至多有1个解
，令，即在上单调
∵
∴恒成立恒成立
（√），（×），综上：
二、选择题（本大题共4题，13、14题4分，15、16题5分，共18分）
13．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】不变；90更改为70后，变小．
14．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么事件与事件为互斥而不对立的事件是（ ）
A．事件：恰好有一个白球，事件：都是红球
B．事件：至多有一个白球，事件：都是红球
C．事件：至多有一个白球，事件：都是白球
D．事件：至多有一个白球，事件：至多一个红球
【答案】A
【解析】，、对立，两白，一红一白，A正确；
，B不正确；E、F对立，C不正确；且，D不正确；
15．设函数的定义域为，是的极大值点，则（ ）
A．是的极小值 B．是的极大值点
C．是的极小值 D．是的极大值点
【答案】C
【解析】，
，（偶函数），
16．有一袋子中装有大小、质地相同的白球个，黑球甲、乙两人约定种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球。若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题：①；②．判断正确的是（ ）
A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题
【答案】A
【解析】①第一局中：摸1次球甲胜：，摸3次球甲胜：，
摸5次球甲胜：，......
甲胜的概率是以为首项，为公比的等比数列，
∴
②
三、解答题（本大题共5题，共78分）
17．已知的展开式中，第2项的系数与第3项的系数之比是．
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项．
【答案】（1）10 （2）180
【解析】（1），
（2）令，∴常数项为
18．已知双曲线的左右焦点为，．
（1）若双曲线的离心率为，且，是正三角形，求的方程．
（2）若，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为，若，求．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）中，
∴，
（2）
中，由正弦定理：，
，
中，，
19．一只不透明的袋子中装有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同。甲从中任意取出1个球不放回，若取出的是红球，则往袋中加入1个红球，甲再从袋中取出1个球；若取出的是黑球，则不往袋中加入任何球，甲再从袋中取出1个球．
（1）求甲取到的2个球颜色不相同的概率；
（2）求在甲第二次取到红球的前提下，甲取到的2个球颜色不相同的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）①甲第一次取红球且第二次取黑球：
②甲第一次取黑球且第二次取红球：∴所求概率为：
（2）设事件：甲第二次取红球；：甲取到的2个球颜色不相同
；；∴
20．某地进入6月，天气逐渐变热，防蚊产品需求开始上升。某防蚊产品生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查防蚊产品质量、该厂质检人员从某生产的防蚊产品中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如下频率分布直方图．规定：防蚊产品的质量指标值越高，说明该防蚊产品质量越好，其中质量指标值低于130的为二级防蚊产品，质量指标值不低于130的为一级防蚊产品．
（1）求该厂商生产防蚊产品质量指标值的平均数和第60百分位数；
（2）现从样本防蚊产品中利用分层抽样的方法随机抽取8个防蚊产品，再从中抽取3个，记其中一级防蚊产品个数为，求的分布列及方差；
（3）在2025年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号防蚊产品的某网络购物平台上分别参加，两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号防蚊产品构成．假定甲、乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率分别为，，记甲乙两人抢购成功的防蚊产品总量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值．
【答案】（1）125． （2）分布列见解析， （3）∴取最大值时
【解析】（1）
设第60百分数为，，
，∴第60百分位数为125．
（2）一级∶二级
8个产品中，一级品有：个，二级品有6个，，1，2
，，
∴的分布∴
，∴
（3）法一：设甲抢购成功的防蚊产品数量为，乙抢购成功的防蚊产品数量为
的分布的，∴，
的分布为，∴，
∴，，
令，，，，，
∴即时，，∴取最大值时
0
极大值
法二：，，，
∴后续同法一．
21．对于定义在上的函数和，，设．
（1）若，，求；
（2）若，，，求实数的取值范围．
（3）已知对任意，均有，记，求证：“对任意，函数零点个数均有限”的充要条件是“在上是严格增函数”．
【答案】（1） （2）
【解析】（1），令，，，
严格增，∴
（2）令，，
，即，
0 2
0 0
极大值 极小值
①当时，
，无解（舍）
②当时，
，综上：．
（3）证明：①充分性：若在上是严格增函数，
则，的最小值为，
∵，∴对任意恒成立，
∴与是相同函数，∵在上严格增，∴在上严格增，
∴在上严格增，∴对任意，，零点个数均有限，
②必要性，若对任意，零点个数均有限，
，的值域为，
∴，的值域为，最小值为，
先证在上且严格增函数，
对任意，，和，的最小值分别为，
由最值的定义：，∴是增函数，
假设存在使得，则对任意都有，
∴的解有无限多个，与条件“对任意，零点个数均有限”矛盾，
∴假设不成立，∴是上的严格增函数，
再证对任意，，的最小值为，即，
显然，假设，
∵，的最小值为，∴存在使，
∴，的最小值，
取，则，的最小值为，
∵在上严格增，∴与矛盾，∴假设不存在，∴，
∵对任意，都有，∴与是相同函数，
∴在上是严格增函数，
综上，原命题得证．

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