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2025年上海市奉贤区二模数学试卷
一、填空题（本题共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分．）
1．等差数列首项为1，公差是3，则第5项等于 ．
2．已知为虚数单位，复数满足，则= ．
3．假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是、、，则该部件的总体良品率是 ．
4．在的二项展开式中，常数项为 ．（用数字作答）
5．直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ．
6．已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ．
7．已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是
“是正三角形”的 条件．
8．抛物线的准线与圆相切，将圆绕直径所在直线旋转一周形成一个几何体，则该几何体的表面积为 ．
9．通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示:
价格（百元）
4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10
需求量（千克）
3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1
那么线性相关系数 ．（精确到）
线性相关系数公式
10．盒子中有大小与质地均相同的个红球和个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球个（大小与质地均相同），再从中随机取1个球，计算此次取到白球的概率是 ．
11．中企联合大厦是奉贤区的第一高楼,是奉贤美奉贤强的一个缩影．某数学建模兴趣小组的同学们去实地进行测量，经过多次的测量，最终在平行于地面的同一水平面上选取三个点：点、点、点作为测量基点．设大厦的最高点为，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，又测得米，，（见图）．
现作出以下几个假设：
直线垂直于平面；
平面到地面的距离等于测角仪高度，在计算过程中测角仪高度忽略不计；
其它次要因素等忽略不计．
根据以上信息估算奉贤第一高楼的高度约 米．（结果保留整数）
12．内一点(见图12-1)，式子可以写成，这个式子中的系数均为1，以三个系数1作为边长可构造一个等边三角形，因此我们尝试把绕点顺时针旋转，得到（见图12-2），所以等于，显然,当四点共线时（见图12-3），最小．
12-1 12-2 12-3
第12题图
试用类似的方法解决下面这道题目：
已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，
则的最小值为 ．
二、选择题（本题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
13．下列有关排列组合数的计算公式，错误的是（ ）
A. （，是正整数，且）
B. （，是正整数，且）
C. （，是正整数，且）
D. （，是正整数，且）
14．如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（ ）
A. ‖
B. 、、三点共线
C. 与是异面直线
D. 第14题图
15．函数的导函数为，若存在实数，使得成立，则称函数具有性质，下列函数具有性质的函数是（ ）
A. B. C. D.
16．若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病
的关系，测得数据如表所示：
不吸烟者 吸烟者 总计
不患慢性气管炎者 121 283
患慢性气管炎者
总计 134 339
估算样本中吸烟者中患慢性支气管炎的百分比；
有多少把握认为患慢性支气管炎与吸烟有关？
附：，其中
，，
，．
18．函数，其中．
（1）若函数是偶函数，当时，求的值；
（2）求函数的值域并证明对任意的正实数和实数，不等式
恒成立．
19．将一块边长为的正方形铁片制作一个正四棱锥的容器罩．同学们设计了甲、乙、丙三个不同的方案，各自裁下阴影部分，用余下的制作成正四棱锥容器罩，形如最右边的图．甲和丙是去制作有盖的容器罩，乙是去制作无盖的容器罩．假设加工过程中铁片损失忽略不计．设甲、乙、丙中白色的四个等腰三角形的底边分别是，，．
（I）请你选择其中的某一个方案，而且只需选一个方案（选择超过一个方案的，按第一个方案处理）．你选择的方案是______，求解以下2个问题：
（1）求出所选方案相对应的棱锥的侧面积，，；
（2）求出所选方案相对应棱锥的体积，，的最大值．
（II）假设三个方案中相应的体积最大值分别记作，，，请直接写出三者的大小关系．（不写判断理由与过程）
甲 乙 丙 第19题图
20．如图20-1，曲线是与组合的．
图20-1 图20-2
第20题图
（1）过点，求的渐近线方程；
（2），设，，曲线上找一个点，使得达到最小；
（3）若，如图20-2，存在过点的两条直线，与曲线的交点分别是点、点、点、点,点在第二象限，点在第一象限．是否存在非零实数使得
成立，请说明理由．
21．函数，其中，定义域是一切实数．
计算的值并指出其几何意义；
当时，方程只有一个解，求实数的取值范围；
设，，，．
求证：．2025年上海市奉贤区二模数学试卷参考答案
一、填空题
1、 2、
3、 4、
5、 6、
7、充要条件 8、
9、 10、
11、 12、
二、选择题
13、C 14、D 15、B 16、B
三、解答题
（1）由已知，
所以，估算样本中吸烟者约有26.54%患有慢性支气管炎. 6分
假设患慢性支气管炎与吸烟无关， 计算
4分
所以我们有把握认为患慢性支气管炎与吸烟有关. 4分
（1）由已知，函数的定义域为
函数是偶函数，对任意的，都有
，
是上的严格增函数，
（2） 又是上的严格增函数， 3分
当且仅当时等号成立，的最小值为2 3分 .
，对任意的正实数和实数， 恒成立 2分
19、（I）
选择甲方案
（1） 4分
（2）该正四棱锥的高 2分
2分
设，则
∴函数在区间上严格增，在区间上严格减
∴当时，. 5分
选择乙方案
（1） 4分
（2）该正四棱锥的高 2分
2分
设，则
∴函数在区间上严格增，在区间上严格减
∴当时，. 5分
选择丙方案
4分
该正四棱锥的高 2分
2分
所以函数在区间上严格增，在区间上严格减
所以当时， 5分
（II）甲乙丙中总面积一样，由于乙的方案是不需要盖，所以相应的侧面积多了，因此凭直觉猜想乙的体积最大，可以猜想： 3分
20、解：
（1），得 2分
所以，渐近线方程：. 2分
（2）
当时，，
1分
1分
当时，存在三个点，最小值 1分
当时，存在唯一的点，最小值 1分
当时，
1分
时存在唯一的点，最小值 1分
（3）设
设
1分
1分
1分
1分
计算出， 2分
当时，存在非零实数使得成立 1分
当时，不存在实数使得成立 1分
21、（1） 1分
原式= 3分
几何意义是函数在点处切线的斜率是 2分
（2）变形得到， 1分
令，在内恒小于零，
所以函数在严格减 2分
得到值域为，所以的取值范围为 1分
（3）由（2）知函数在严格减，且存在唯一的零点使得，即 1分
，根据函数单调性知，
即，依次类推，得到， 1分
同理 1分
即
，所以得到 2分
1分
2分

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