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行知中学2024-2025学年第二学期高一年级数学月考2
2025.5
一、填空题（本大题共12小题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）
1．设集合，则 ．
2．函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 ．
3．已知函数是奇函数，则实数的值为 ．
4．为虚数单位，若复数满足，则 ．
5．已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合．终边过点，则 ．
6．已知，则 ．
7．关于的不等式的解集为 ．
8．如果函数满足对任意，都有成立，那么实数的取值范围是 ．
9．在中，角的对边分别是，若，且，则的面积最大值是 ．
10．设为实数，若，则的最大值是 ．
11．已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则 ．
12．已知的外接圆圆心为，若（为实数）有最小值，则参数的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分）
13．设，则＂＂是＂＂的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
14．有四个命题：（1）若，则；（2）若，则；
（3）若＂，则；（4）若且，则.其中正确命题的序号是（ ）.
A．（1）（3） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（4）
15．三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：
（1）函数是周期函数；（2）函数是周期函数，则下列判断正确的是（ ）.
A．（1）（2）都正确 B．（1）（2）都错误
C．（1）正确，（2）错误 D．（1）错误，（2）正确
16．已知定义在R上的偶函数，满足对任意的实数都成立，且值域为.设函数，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
三、解答题（本大题满分46分）
17．（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）
已知是一元二次方程的一个复数根.
（1）求的值；
（2）若为纯虚数，求.
18．（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）
已知向量满足
（1）求与的夹角余弦值；
（2）求向量在向量上的投影向量的坐标．
19．（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）
为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形，并修建两条小路（路的宽度忽略不计），其中千米，千米，是以为直角顶点的等腰直角三角形．设．
（1）当时，求：①小路的长度；②草坪的面积；
（2）当草坪的面积最大时，求此时小路的长度．
20．（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）
已知，函数．
（1）若函数的值域为，求的取值范围；
（2）若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求的取值范围。
21．（本题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分）
已知函数，若对于任意的实数都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的＂完美三角形函数＂．
（1）记在上的最大值、最小值分别为，试判断＂＂是＂为上的＂完美三角形函数＂的什么条件？不需要证明；
（2）设向量，若函数为上的＂完美三角形函数＂，求实数的取值范围；
（3）已知函数为（为正的实常数）上的＂完美三角形函数＂.函数的图象上，是否存在不同的三个点，它们在以轴为实轴，轴为虚轴的复平面上所对应的复数分别为，满足，且？若存在，请求出相应的复数，若不存在，请说明理由．
行知中学2024-2025学年第二学期高一年级数学月考2
2025.5
一、填空题（本大题共12小题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）
1．设集合，则 ．
【答案】
2．函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 ．
【答案】
3．已知函数是奇函数，则实数的值为 ．
【答案】1
4．为虚数单位，若复数满足，则 ．
【答案】
5．已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合．终边过点，则 ．
【答案】
6．已知，则 ．
【答案】
7．关于的不等式的解集为 ．
【答案】
8．如果函数满足对任意，都有成立，那么实数的取值范围是 ．
【答案】
9．在中，角的对边分别是，若，且，则的面积最大值是 ．
【答案】
10．设为实数，若，则的最大值是 ．
【答案】
11．已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则 ．
【答案】
12．已知的外接圆圆心为，若（为实数）有最小值，则参数的取值范围是 ．
【答案】
二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分）
13．设，则＂＂是＂＂的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
14．有四个命题：（1）若，则；（2）若，则；
（3）若＂，则；（4）若且，则.其中正确命题的序号是（ ）.
A．（1）（3） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（4）
【答案】C
15．三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：
（1）函数是周期函数；（2）函数是周期函数，则下列判断正确的是（ ）.
A．（1）（2）都正确 B．（1）（2）都错误
C．（1）正确，（2）错误 D．（1）错误，（2）正确
【答案】C
16．已知定义在R上的偶函数，满足对任意的实数都成立，且值域为.设函数，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
三、解答题（本大题满分46分）
17．（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）
已知是一元二次方程的一个复数根.
（1）求的值；
（2）若为纯虚数，求.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由条件可知，，
则，得，
则，得，所以；
（2）由题意可知得，所以，则．
18．（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）
已知向量满足
（1）求与的夹角余弦值；
（2）求向量在向量上的投影向量的坐标．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为，
所以，
又，所以，
故与的夹角余弦值为；
（2）因为，则，
所以向量在向量上的投影向量坐标为．
19．（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）
为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形，并修建两条小路（路的宽度忽略不计），其中千米，千米，是以为直角顶点的等腰直角三角形．设．
（1）当时，求：①小路的长度；②草坪的面积；
（2）当草坪的面积最大时，求此时小路的长度．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由，故，
由余弦定理可得，即，
由正弦定理可得，即，
则，
故有，故;
（2），,
故，
则，
其中，
则当，即时，草坪ABCD的面积最大，
此时，即此时小路BD的长度为.
20．（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）
已知，函数．
（1）若函数的值域为，求的取值范围；
（2）若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为函数的值域为，
即的值域为，
故能够取到一切大于0的实数，
当时，，不符合题意；
当时，
不符合题意，
当时，根据二次函数的图象和性质可得，
解得;综上所述：的取值范围是．
（2）关于的方程的解集中恰好只有一个元素，
所以的解集中恰好只有一个元素，
即且的解集中恰好只有一个元素，
所以，即，
①当时，解得，此时，满足题意；
②当时，，此时也满足题意；
③当且时，两根为，
当时，由得，当时，由得，
因为和只能取一个值，
所以只能取，所以且，解得．
综上所述：的取值范围是．
21．（本题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分）
已知函数，若对于任意的实数都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的＂完美三角形函数＂．
（1）记在上的最大值、最小值分别为，试判断＂＂是＂为上的＂完美三角形函数＂的什么条件？不需要证明；
（2）设向量，若函数为上的＂完美三角形函数＂，求实数的取值范围；
（3）已知函数为（为正的实常数）上的＂完美三角形函数＂.函数的图象上，是否存在不同的三个点，它们在以轴为实轴，轴为虚轴的复平面上所对应的复数分别为，满足，且？若存在，请求出相应的复数，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）充要条件 （2） （3）不存在
【解析】（1）根据＂完美三角形函数＂的定义可得充要条件．
（2），
∵，
①当时，，由得，
②当时，，满足题意，
③当时，，由得，
综上，实数的取值范围是．
（3）由题可得，，由，得，故，
假设存在满足题意的点，且，
则，而
,故，
事实上，由，得，
从而，矛盾，故不存在点满足题意．

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