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云南省红河州建水一中2024-2025学年高三上学期期末考试
数学试卷
注意事项:
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答
题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则包含的元素个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2.“”是“为第一象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是(　　)
A. [－4，1] B. [－4，3] C. [1，3] D. [－1，3]
4.以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，且，的面积为，则椭圆的焦距为（ ）
A. B. C. 6 D. 12
6.过点作斜率为的直线，若光线沿该直线传播经轴反射后与圆相切，则（ ）
A. B. C. 2 D.
7.（2023·北京市—零一中统考二）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是.接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.求满足如下条件的最小整数，.且该数列的前项和为2的整数幂.那么是（ ）
A. 83 B. 87 C. 91 D. 95
8.设函数则满足的的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，则下列四式中正确的有(　　)
A. －＝ B. ＝＋＋
C. ＝ D. ＋＋＋＝
10.某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效问卷4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是( )
A. a＝0.028
B. 在4 000份有效问卷中，短视频观众年龄在10~20岁的有1 320人
C. 估计短视频观众的平均年龄为32岁
D. 估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁
11.已知数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，则下列说法中正确的是(　　)
A. an＝ B. 数列的前2 020项的和为
C. 数列的前2 020项的和为 D. 数列{an}的第50项为2 550
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，是双曲线的两个焦点，点M在E上，如果，则的面积为______．
13. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______.
14.已知函数，若在区间上有且仅有2个极值点，则的取值范围是________．
四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分,第18、19题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．
(1)求甲以4比1获胜的概率；
(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；
(3)求比赛局数的分布列．
16.已知函数.
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，设函数在区间上最大值为，求的表达式，并求出的最小值.
17.设数列的首项，前项和满足：．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的公比为，数列满足：，．求．
18.国家发改委和住建部等六部门发布通知，提到：2025年，农村生活垃圾无害化处理水平将明显提升.现阶段我国生活垃圾有填埋 焚烧 堆肥等三种处理方式，随着我国生态文明建设的不断深入，焚烧处理已逐渐成为主要方式.根据国家统计局公布的数据，对2013-2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y（单位：座）进行统计，得到如下表格：
（1）根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）；
（2）求出关于的经验回归方程，并预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；
（3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用（2）所求的经验回归方程预测吗？请简要说明理由.
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
参考数据：，
19.已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，过上一点作的两条渐近线的平行线，分别交轴于，两点，且，内切圆的圆心到轴的距离为．
（1）求的标准方程；
（2）（ⅰ）设点为上一点，试判断直线与C的位置关系，并说明理由；
（ⅱ）设过点的直线与交于，两点（异于的两顶点），在点，处的切线交于点，线段的中点为，证明：，，三点共线．
一、单选题
1.【答案】B
【解析】由，解得或，
所以或，
故，
故选：B.
2.【答案】B
【解析】，若为第一象限角或第三象限角，则，即；
若为第二象限角或第四象限角，则，即.
故“”是“为第一象限角”的必要不充分条件.
故选：B.
3.【答案】B
【解析】原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a＜1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a＜1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1＜a≤3.综上可得－4≤a≤3.
4.【答案】B
【解析】由图知，当时，，选项C，当时，，所以选项C错误；
又由图知，函数图像关于轴对称，对于选项A，，，，所以选项A不正确；
对于选项B，，所以，所以选项B满足题意；
选项D，，，，所以选项D不正确.
故选：B.
5.【答案】B
【解析】由已知条件及椭圆的定义可得，
故，，
设，因为椭圆的离心率为，所以，
由余弦定理可得，
则，故的面积为，故，
则，故椭圆的焦距为.
故选：B．
6.【答案】D
【解析】如图，设经过点的直线交x轴于点，反射直线与圆相切于点，
直线，即，
令，解得，即，
又，所以，
所以直线，即，
则点 到直线直线的距离为，
即.
故选：D.
7.【答案】D
【解析】根据题意将数列分组，第一组为第一项是，
第二组为为第二项和第三项是，，
依次类推，第组为，，，…，
第组含有项，
所以第组的和为：，
前组内一共含有的项数为：，
所以前组内的项数和为：，
若该数列的前项和为2的整数幂.，只需将消去即可；
若，则，，
不满足；
若，则，，
不满足；
若，则，，
满足；
故满足如条件的最小整数为95.
故选：D.
8.【答案】D
【解析】（分类讨论法）根据指数函数单调性，当时，单调递减；
而当时，（为常数），
故分以下两种情况：或，
解得或，
综上可得.
（数形结合法）作出的图像，如图：
结合图像可知或，
解得或，
综上可得.
故选：D.
二、多选题
9.【答案】ABC
【解析】如图，作出平行六面体ABCD-A′B′C′D′，
可得－＝＋＝，则A正确；＋＋＝＋＋＝，则B正确；C显然正确；＋＋＋＝＋＝，则D不正确．综上，正确的有ABC.
10.【答案】CD
【解析】对于A，∵(0.015＋0.033＋a＋0.011＋0.011)×10=1，
∴a=0.03，故A错误；
对于B，由频率分布直方图，短视频观众年龄在10～20岁的对应频率为0.15，
∴短视频观众年龄在10~20岁的有4 000×0.15=600(人)，故B错误；
对于C，平均年龄为
＝(0.015×15＋0.033×25＋0.03×35＋0.011×45＋0.011×55)×10=32(岁)，故C正确；
对于D，设75%分位数为x，
由年龄在10~20岁和20~30岁两组频率是(0.015＋0.033) ×10=0.48，
又年龄在10~20岁和20~30岁，30~40岁三组频率是(0.015＋0.033+0.03) ×10=0.78，
所以75%分位数位于年龄在30~40岁这一组，
则0.015×10＋0.033×10＋(x-30)×0.03=0.75，
解得x=39，故D正确.
故选：CD.
11.【答案】AC
【解析】因为an＋1＝a1＋an＋n，a1＝1，所以an＋1－an＝1＋n，即an－an－1＝n(n≥2)，所以n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝，a1＝1也适合此式，所以an＝，a50＝1 275，A正确，D错误；＝＝2，数列的前2 020项和S2 020＝2(1－＋－＋…＋－)＝，B错误，C正确．故选A、C.
三、填空题
12.【答案】16
【解析】如图所示，
假设，
又，
所以，
所以,
所以的面积.
13.【答案】
【解析】根据题意可得“”是真命题，
当时，命题不成立；
当时，即时，命题成立；
当时，则，即
于是，解得，
综上，符合题意的实数的取值范围是.
14.【答案】
【解析】由已知函数
，
因为，，所以，所以，
依据函数在区间上有且仅有2个极值点，
则由函数图象性质可知，所以，即解得.
四、解答题
15.【答案】解：（1）记事件A为甲以4比1获胜，
甲以4比1获胜即共进行五局比赛，且第五次为甲胜利，即甲前四次共胜利三次，
所以；
记事件为乙获胜且比赛局数多于5局，
当乙以4比2获胜的概率为
当乙以4比3获胜的概率为
所以
（3）设比赛的局数为，则的可能值为4，5，6，7
，
比赛局数的分布列为：
16.【答案】解：（1）当时，，则在上单调递增，满足条件；
当时，的对称轴为，要使在上单调递增，则，解得：，
综上，若在上单调递增，则的取值范围为.
（2）当时，的对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，，，
当时，即时，；
当时，即，，
当时，即，，
综上，，
所以当时，.
17.【答案】（1）证明：由；令，得，
故，；
因为，其中，，．
所以当时，，
两式相减得：，
整理得：，．
综上，数列是首项为1，公比为的等比数列．
（2）解：由题意得：，，
，，
故．
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
综上：.
18.【答案】解：（1）依题知，
相关系数
，
由于与的相关系数非常接近1，所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系.
（2），
，
所以与的线性回归方程为，
由条件知2022年对应的年份代码， 把代入线性回归方程得 ，，
所以预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数为513.
（3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，不能由（2）所求的线性回归方程预测，理由如下：
①线性回归方程具有时效性，不能预测较远情况；
②全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数有可能达到上限，一段时间内不再新建；
③受国家政策的影响，可能产生新的生活垃圾无害化处理方式.
19.【答案】解：（1）如图所示，
设，则，
不妨设直线方程为，
则直线的方程．
令，得，，
则．
设的内切圆（圆心为）分别与，，切于点，，，
则，
所以为的顶点，所以轴，的横坐标为，所以，
故的标准方程为；
（2）（ⅰ）由，得，
结合，得，所以．
所以直线与相切．
（ⅱ）由题易得直线的斜率不为，
设直线的方程为，代入，
得，其中，
设，，则，，，
则，，
由（ⅰ），在点，处的切线方程分别为，．
两式联立，得，
，即，
所以，
故，，三点共线.

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