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2025届高三高考3月模拟演练卷
数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保留。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则等于
A. B. C. D.
2.复数，则等于
A. B. C. D.
3.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数为
A. B. C. D.
4.已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，且时，，则等于
A. B. C. D.
5.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，分别是的中点，，则球的体积为
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，延长交准线于点，若，则的值为
A. B. C. D.
7.已知数列满足，，若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
8.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则函数在上的所有零点之和为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数，则下列说法正确的是
A. 的最小正周期为
B. 的最大值为
C. 的图象关于直线对称
D. 在上单调递减
10.已知双曲线，过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线的右支交于点，若，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线的离心率
B. 双曲线的渐近线方程为
C. 点的坐标为
D. 直线的斜率为
11.已知数列，定义数列为数列的 “2 倍差数列”。若的 “2 倍差数列” 的通项公式为，且，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 数列是递减数列
D. 数列的前项和
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中的系数为______.
13.已知向量，，若，且，，则的最小值为\\\。
14.已知函数，，若在区间上不单调，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知。
(1) 求角的大小；
(2) 设函数，求的最大值。
16.（15分）2024年巴黎奥运会上网球女单决赛中中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！网球比赛为三局两胜制，设郑钦文与维基奇的单局比赛获胜概率为，且每局比赛相互独立．
(1)在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计．
（i）为多少？
（ii）请利用上述数据计算郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率．
(2)在中是否存在一个实数使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率？
17.（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.
(1)证明：是等腰三角形.
(2)若平面平面，求点到平面的距离.
18.（17分）已知D为双曲线E:的左顶点，点在E上，且E的离心率为2.
(1)求双曲线E的方程.
(2)过点且斜率为的直线l交E的右支于A，B两点，△ABD的外心为M，O为坐标原点，线段OM所在直线斜率为.
①求证:直线AD和直线BD的斜率之积为定值;
②试探求和的关系，并说明理由.
19.（17分）对于定义域为的函数，若存在区间，使得当时，的值域也是，则称区间为函数的 “保值区间”。
(1) 求证：函数不存在 “保值区间”。
(2) 若函数存在 “保值区间”，求实数的取值范围。
(3) 设函数，求其所有 “保值区间” 的长度之和。（区间的长度为）
参考答案
一、选择题
1.A 2.A 3.D 4.A 5.D 6.C 7.C 8.B
二、选择题
9.ABD 10.AD 11.ABD
三、填空题
12.
四、解答题
15.(1) 由正弦定理（为外接圆半径），将，，代入得：，化简为。
因为，所以。
展开得，移项可得。
在中，，两边同时除以得。
又，所以。
(2) 对进行化简：
由 (1) 知，在中，，所以。
因为，所以，则。
当，即时，取得最大值为。
16.（1）（i）根据两次交手记录，郑钦文共胜2局，负3局，因此的估计值为0.4．
（ii）法一：不妨设赛满3局，用表示3局比赛中郑钦文胜的局数，则，
则郑钦文在决赛中获得冠军的概率，即．
法二：郑钦文最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1，
前者是前两局郑钦文连胜，后者是前两局郑钦文、维基奇各胜一局且第3局郑钦文胜．
因为每局比赛的结果是独立的，郑钦文最终获胜的概率为．
（2）法一：三局两胜制中，设赛满3局，用表示3局比赛中郑钦文胜的局数，则，
那么获胜的概率为
同理：五局三胜制中，设赛满5局，用表示5局比赛中郑钦文胜的局数，其中，
那么获胜的概率为
综上，，化简得，
因为，所以，即，
在中不存在这样的实数，使得五局三胜制获胜的概率大于三局两胜获胜的概率．
法二：三局两胜制中郑钦文最终获胜的概率，
五局三胜制中郑钦文最终获胜的概率，
所以，化简得，
因为，所以，即，
在中不存在这样的实数，使得五局三胜制获胜的概率大于三局两胜获胜的概率．
17.（1）设为的中点，连接，.
因为，，，
所以，所以，
，即，
又，，平面，，所以平面，
因为平面，所以，
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，所以平面.
因为平面，所以，
在中，，为的中点，所以，即是等腰三角形.
（2）建立如图所示以为坐标原点，为轴，过与平行方向为轴，
为轴的空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则取，则.
设平面的法向量为，
则取，则.
因为平面平面，所以，解得（舍去），
所以，，
，
所以，，所以，
所以，所以是等腰直角三角形，
取的中点，连接，则.
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以的长为点到平面的距离.
因为，所以点到平面的距离为.
18. （1）由点在E上，且E的离心率为2，得，
解得，故双曲线E的方程为.
（2）①易得直线AD和直线BD斜率存在且不为零，且不为.

设直线AD的方程为，直线BD的方程为，则均不为零且不为.
设，直线AB的方程为且，
联立，消去x得，
，
，，
从而.
故直线AD和直线BD的斜率之积为定值；
②联立，消去x得，
解得.同理可得.
线段AD的中点，线段BD的中点，
线段AD的中垂线方程为，线段BD的中垂线方程为.
联立两直线方程得=，
即，
化简得.联立和，
得，从而点，
，
=，
.
由①知，所以，
故和的关系为.
19.(1) 假设函数存在 “保值区间”。，其对称轴为，最小值为。
①若，则在上单调递减，所以，即，两式相减得，因为，所以，将代入得，即，解得，不在内，舍去。
②若，则在上单调递增，所以，即，分别解得或，解得或，均不满足，舍去。
③若，则的最小值，不满足值域是，舍去。
综上，函数不存在 “保值区间”。
(2) 函数，其定义域为，且在和上均单调递增。
设 “保值区间” 为，则，即，整理得。
因为函数存在 “保值区间”，所以方程有两个不同的非零实根，所以且，即，，，解得或。
(3) ，求导得。
令，得。在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。
设 “保值区间” 为。
①若，则在上单调递增，所以，即，，分别解得或，解得或，所以。
②若，则在上单调递减，所以，即，两式相减得，因为，所以，配方得，结合，可得。
③若，则在上单调递增，所以，即，，分别解得或，解得或，所以。
所以 “保值区间” 为，，，长度之和为。

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