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绝密★本科目启用前
2024－2025学年（下）高三年级4月模拟考试
数学科目
考生注意：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．本试卷为通用版试卷，本月练习卷无地区卷。命题范围：高考范围。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知复数z满足，则
A． B． C． D．
2．设是定义在上的可导函数，则是为函数的极值点的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设在△ABC中，点D为BC边上一点，且，点E为AC边上的中点. 若，，则
A． B． C． D．
4．已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为
A． B． C． D．
5．已知袋中装有红色、黄色、绿色的小球各5个，小球除了颜色外完全相同，现从中随机取出5个小球，则不同的取法种数为
A．15 B．19 C．21 D．23
6．若函数为偶函数，则实数的取值范围是
A． B． C． D．或
7．四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为
A．0 B． C． D．
8．莫比乌斯（Mobius）环是最具有代表性的单侧曲面之一，它由德国数学家莫比乌斯于1858年发现. 就是把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈.现将一个长为30cm、宽为4cm的矩形纸条粘合两端（粘合两端重叠部分忽略不计），形成一个莫比乌斯环，如图：
下列关于莫比乌斯环说法正确的是
A．一只小虫在不跨过它的边缘情况下沿着表面至少走30cm就能回到原处
B．如果把它沿中线剪开（如图白色线的部分），曲面被分成独立的两部分
C．如果把它沿中线剪开（如图白色线的部分），最终得到纸带的边缘周长为120cm
D．一只小虫在不跨过它的边缘情况下不能爬遍整个曲面
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知曲线Γ：（），则
A．Γ可能是等轴双曲线 B．若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则
C．Γ可能是半径为的圆 D．若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则
10．函数满足，且，，下列说法正确的有
A．为的一个周期 B．为奇函数
C． D．
11．若序列满足满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期，对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为6的0-1序列中，满足的序列是
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某水产单位对其投放的网箱产量（单位：kg）进行了样本统计，得到样本数据的频率分布直方图如下图所示，请根据频率分布直方图估计该水产单位所有网箱产量的上四分位数为 kg．
13. ，
若定义，则中的元素有 个．
14. 已知，若在上有解，则的最小值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知，，是互不相等的正实数.
（Ⅰ）若，，成等差数列，求证：，，不可能是等比数列;
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，，，若，，成等差数列，求证：．
16．（15分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求证：最大值小于;
（Ⅱ）若有两个零点，求实数k的取值范围．
17．（15分）
已知双曲线，该双曲线的右顶点为A，点B(2,1)在C的渐近线上，过B的直线与交于P,Q两点，直线AP,AQ分别与y轴交于M,N两点．
（Ⅰ）若的面积为，求的方程;
（Ⅱ）证明：线段的中点为定点．
（17分）
某商场为了解月投放消费券（单位：千元）和月利润（单位：万元）的关系，进行了数据收集整理，得到下面的表格：
月投放消费券千元 25 64 100 144 196 289
月利润万元 591 595 600 604 607 615
（Ⅰ）根据表中数据，通过作散点图分析，可把作为关于的经验回归方程，试求该经验回归方程;
（Ⅱ）该商场为进一步提高利润，推出了“购物达千元，玩游戏，送消费券”的活动.在商场游戏活动点放置甲、乙两个袋子，甲袋中放有3个相同的小盒，其中有两个小盒中放有“奖”字条，另一个是空盒，乙袋中也放有3个与甲袋中相同的小盒，都是空盒.游戏活动参加者先从甲、乙两袋中各任取一个小盒交换后再放回袋子中，重复次这样的操作后，记甲袋中恰有2个小盒放有“奖”字条的概率为，恰有1个小盒放有“奖”字条的概率为.若甲袋中恰有2个小盒放有“奖”字条，参加者可得200元消费券；恰有1个小盒放有“奖”字条，参加者可得100元消费券；没有小盒放有“奖”字条，参加者可得50元消费券．
（i）求；
（ii）记一个游戏活动参加者参加一次活动获得消费券总数为，分别求和的数学期望和，并判断对于和，游戏活动参加者应如何选择？
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
(
第19题图
)
（17分）
如上图，半径为2的半球面O，底面设为，AB是半球面O的直径，点C在半球面上，且，平面平面. 过点C的平面与半球面O相交形成圆S，CD为圆S的一条直径，且D在平面ABC上，且平面与的夹角为，点C，D均在平面的同侧，记，．
（Ⅰ）求证：平面;
（Ⅱ）点P在圆S上，设，. 且，Q在平面上;
（i）用表示PQ的长；
（ii）当DQ与平面ABC所成角最大时，求．
数学试题 第7页（共4页） 数学试题 第8页（共4页）2024－2025学年（下）4月模拟考试
数学科目·答案
1．C
[答案解析]由可得：，解得，
用复数除法得：，则，故选：C.
2．B
[答案解析]根据函数极值点的定义可知为函数的极值点，必有；反之，当时，不一定为函数的极值点，比如，，满足，但在R上单调递增，即不是函数的极值点，故是为函数的极值点的必要不充分条件，故选：B
3．D
[答案解析]
因为，所以为中点，即，又因为点E为边上的中点，所以，由，因为，，所以，故选：D.
4．A
[答案解析]由题意可知函数的最小正周期，
由，且，则与分别为函数的最大(小)，小(大)值，所以.故选：A.
5．D
[答案解析]由正方体性质，选项A，B，C中，A，B，C，D四点显然不共面．
对于D选项，如下图取E，F为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF，
易知ADCEBF为平面正六边形，所以A，B，C，D四点共面．
故选：D
6．A
[答案解析]函数为偶函数，的定义域为，且为偶函数，在(或其子集)上为偶函数，恒成立，恒成立， 故选: A .
7．B
[答案解析]因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，为正四棱锥，设底面中心为,则四棱锥外接球球心及内切球球心都在上，设外接球球心为，半径为. 连接，则有.四棱锥的底面是边长为2的正方形，，在中，，由得，，整理得，.
设内切球的半径为，中，，，所以，所以四棱锥表面积为，由，即，∴，则的长为. 故选：B.
8．C
[答案解析] 解法一
对于选项 A：一只小虫在不跨过它的边缘情况下沿着表面走 30 cm ，则会发现小虫来到“另一面”，需要在继续前进30cm，才能回到原处，也就是说至少要走60cm才能回到原处，故 A 错误;
对于选项 B：设想从白线的一侧某处出发，并且永远在这一侧，向着一个方向前进，走完30cm到达了背面的白线的对侧，需要再前进30cm刚好回到原点，因此剪开后得到的仍然是一个环带，没有分成两部分，把莫比乌斯带沿中线剪开后不会分成两个独立部分，而会得到一个长度加倍且360°扭转对接的环带，故 B 错误;
对于选项 C：沿中线剪开后得到的环带长是 60 cm，其边缘周长是 60cm2＝120 cm，故 C 正确;
对于选项 D：实际走一走，可以看出小虫在不跨越边缘的情况下可以爬遍整个曲面，故 D 错误.
故选：C.
解法二
如图1标记原纸带的正面的四个角,起始端线和终止端线的中点分别记做,
其背面的相应点依次记做小写的字母表示相应的线段.
图2是第一次扭转180°粘接后的莫比乌斯环的两面沿剪断后展开图，图3是从中间白线剪开后的纸环沿剪断后的展开图，
从图可以看出，小虫在不跨越它的边缘的情况下沿表面至少要走60cm才能回到原处，此时也正好爬遍整个曲面；
沿中间线剪开后的纸带是如图3所示的矩形纸带扭转2个180°重新粘接的环，其周长为矩形的上下两边线的和，总长为120cm；
故选：C.
9．BCD
[答案解析]对于A，若Γ是等轴双曲线，则，显然不成立，故A错误；
对于B，Γ表示焦点在y轴上的椭圆，
则，解得，故B正确；
对于C，Γ是圆，则，解得，半径为，故C正确；
对于D，Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则，
解得，故D正确. 故选：BCD.
10．ABC
[答案解析]对于A，当有意义，且，时，
则，
则，
.
当时，(无意义)，
可得,
所以,
所以.
当时，,
可得,
综上，总有. 故为的一个周期，故A正确；
对于B，，即，函数关于点对称.
又由为的一个周期，所以，
所以，故为奇函数，故B正确；
对于C，为奇函数，但无法直接判定有意义.
但已知，可得有意义，故有意义，,
所以分母不为零，有意义，从而,即,
所以，故C正确；
对于D，. 因为：，，
满足题设所有条件，但是不存在（），故D错误. 故选：ABC.
11．BCD
[答案解析]由题意，由知，序列的周期为，由已知，，，对于选项A，
所以不满足题意.
对于选项B，
均符合题意.
对于选项C，
均符合题意.
对于选项D，
均符合题意. 故选：BCD.
12．49.375
[答案解析]上四分位数即为分位数，网箱产量在的频率分别为，因此分位数，由，解得49.375，
所以所有网箱产量的上四分位数为49.375.
故答案为：49.375
13．
[答案解析]因为，，所以，，共14个元素. 故答案为：
14．12
[答案解析]因为函数，
又在上有解，设这个解是，则，则，即，
即点可看作在动直线上，则可转化为点到原点距离的平方的最小值．
则，令，，
则，当且仅当，即时取等号，此时，则．
15．
[答案解析]（1）假设，，成等比数列，所以，①
因为，，成等差数列，所以，②
由①②可得，与已知，，是互不相等的正实数矛盾，故假设不成立，原命题成立．
（2）因为，，成等差数列，所以，所以， 由余弦定理和基本不等式可得
，当且仅当时，等号成立， 因为，，为△ABC的三边，所以，所以，所以，所以．
16．
[答案解析]（1）当时，，先证明：，令，其中，则，当时， ，所以 在上单调递增，即，则不等式在上恒成立，再证明：，令，其中，则，则当时， ，当时， ，所以在上递增，在上递减，即，则不等式在上恒成立，
所以有，证毕；
（2）由得：，
构造函数，由，因为，所以，即函数在上单调递增，
由，根据单调性可得：
，再构造，则，则当时， ，当时， ，所以在上递减，在上递增，即，当时，由，可知，当，由对数函数没有一次函数增长得快，可知，
而函数有两个零点等价于直线与函数有两个交点，根据数形结合可得：.
17．
[答案解析]（1）首先，我们把记为①，
显然直线的斜率存在，设的方程为记为②，
①②联立得：．
则有记为③，记为④，
如图，设，
则记为⑤，记为⑥，
把⑤⑥代入：，
所以，
得到，解得．
满足③④式，则直线的方程为．
（2）设，不妨设．则直线⑦，
联立①⑦得：，
则，
则；同理：．
而，，
又三点共线，则有，
则，
得到，即，由中点坐标公式得的中点为定点．
18．
[答案解析]（1）设，则，
，所以，
，
所以，
，所以，
，
所以关于的经验回归方程为.
（2）（i）由题意得，由全概率公式得，.
（ii）由题意可知，
，
和的可能取值为，和的分布列分别为
50 100 200
50 100 200
，
，
因为，所以，
故游戏活动参加者应选择.
19．
[答案解析]（1）因为，，，又，则.记为弧的中点，则，又因为平面平面，且平面，平面平面，则，又因为，则.又根据题意知球心为，截面圆圆心为，连接，
则，，则，又平面，平面，且，则平面，又平面，则，所以为平面与的夹角，即，又，所以，已知，又为中点，所以，则，即，又平面平面，平面，平面平面，所以平面．
（2）（i）连接，延长交于，由（1）性质可知，，，如图，
在中，，由余弦定理得，，
则，在中，，，则，由于三点共线，
所以在中，由，又，所以．
（ii）如图，
过作，垂足为，连接，因为平面，平面平面且交线为， 因此平面，所以即为与平面所成角的平面角．设平面，连接，过作，垂足为.由平面，则，平面，平面，
则平面，平面，平面平面，
则，同理，由可得，
则四边形是平行四边形，则，且平面，又平面，则，则，且，则，则，故，
令，则，构造函数，则，在上单调递增，并存在唯一零点，故在上单调递增，在上单调递减．则当时，有最大值， 由DQ与平面ABC所成角的范围为，故当与平面所成角最大时，．

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