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1.4 《线段垂直平分线与角平分线》小节复习题
题型01 线段垂直平分线的性质定理的运用（长度、角度）
1.如图，在 ABC中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2.如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若 ABC周长为13，， ．
4.如图，在 ABC中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（ ）
A．17 B．16 C．18 D．20
题型02 线段垂直平分线的判定定理及运用
1.如图，已知：，，点E在的延长线上．(1)求证：垂直平分；(2)求证： BDE
2.如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
3.定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，如图，正五边形的对角线、相交于点O．(1)求五边形每一个内角的度数；(2)求证：；(3)连接，求证：垂直平分．

4.如图，已知，，与交于O，．求证：(1)；(2)点O在线段的垂直平分线上．
题型03 角平分线性质定理的运用（长度、面积、角度）
1.如图，点是 ABC内一点，平分，于点，连接，若，，则 AOB的面积是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，平分，于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在中，，的平分线交于点，为上一动点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．2.5
4.如图，在 ABC中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
题型04 角平分线的判定定理的运用
1.如图，在 ABC中，点E、F分别在上，是的垂直平分线，，，交于点G．
(1)求证：平分；(2)若，求证：．
2.如图，在 ABC中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（ ）
A． B． C． D．
3.如图， ABC中，点、分别是、延长线上一点，、的角平分线、交于点，连接，过点作、，垂足分别是点、，则、、之间的数量关系是 ．
4.如图，与都是等边三角形，若与相交于点．
(1)求的度数；(2)连接，求证：平分．
题型05 角平分线的第二定理（拓展）
1.已知 ABC，是一条角平分线．
(1)【探究发现】如图1所示，若是的角平分线．可得到结论：．
小红的解法如下：过点作于点，于点，过点作于点，
∵是的角平分线，且，，∴________．（________）
∴________，又∵，∴．
(2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：．
(3)【拓展应用】如图3所示，在 ABC中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是________．
2.如图， ABC的三边、、长分别是、、，其三条角平分线交于点，并将 ABC分为三个三角形，则的比值为（ ）
A． B． C． D．
3.某数学兴趣小组进行如下探究：如图1，在 ABC中，是它的中线，则中线平分三角形的面积，即．继续探究，如图2，在 ABC中，是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现和的面积比等于图中两组不同的线段比，即①________，②________．
(1)【证明结论】①根据“发现”，完成填空：________=________；
②请选择“发现”中的一组线段比进行证明．
(2)【应用结论】如图3，在 ABC中，是它的角平分线，，是的中点，连接．①求证：垂直平分；②在图中画出边上的高（只需体现的位置），并求．
4.已知 ABC，是一条角平分线．
【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：．
小艳的解法如下：过点作于点，于点，过点作于点，
∵是的角平分线，且，，∴______
∴______又∵，∴______
【类比探究】如图2，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：．
【拓展应用】如图3，在 ABC中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是______

题型06 多定理叠加运用（垂直平分线+角平分线）
1.如图，在 ABC中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于.(1)求证：.(2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想；(3)若，，则________.
2.如图，已知是线段的垂直平分线，直线经过点，过点作，垂足是，点是线段上一点，连接，，平分，则线段之间的等量关系是 ．
3.如图， ABC 中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点 ， 于点． 若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，已知 ABC中边上的垂直平分线与的平分线交于点E，交的延长线于点F，交于点G．(1)求证：．(2)求证：．
题型07 线段垂直平分线与角平分线的实际应用
1.如图，某小区的三栋单元楼分别位于 ABC的三个顶点处，要在 ABC内建一个快递站，并使快递站到每一栋单元楼的距离相等，则快递站应建在 ABC的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
2.如图，是三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个中转站，要求它到三条公路交叉点的距离都相等，则可供选择的地址有（ ）．
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
3.如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
4.某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点
C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点
题型08 线段垂直平分线与角平分线的尺规作图
1.如图，A、B两镇位于国道l的同侧，两镇距离国道分别有数公里．随着经济发展，过往车辆增多，政府规划在国道l上新建一座多功能加油站，既为车辆提供便利，又促进两镇资源互通．如果你是工程师，请解决以下规划问题：
(1)公平选址：确定加油站位置P，使得加油站到A、B两镇的距离相等；
(2)路径优化：从A镇前往B镇，需途径加油站加油．确定加油站位置Q，使得总路程最短：请分别作出上述两种情况下的加油站P、Q的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹并写出结论，不用证明）
2.如图，已知 ABC，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程：
①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F；②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M；③作射线，与延长线父于点P，点D为延长线上一点．
根据以上作法，下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
3.尺规作图：求作点P，使点P到点M，N的距离相等，同时到的两边的距离也相等．
4.如图，两条笔直的小路与相交于点，点、处分别为枫叶林景区和花卉景区，现打算在内部修建一处观景台，使得观景台到的距离与观景台到的距离相等．且，请你找出观景台的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
5.尺规作图：如图， ABC中，为上一点，连接 ，请在 ABC内部找一点 ． 使点到边的距离相等，且满足（保留作图痕迹，不写作法）
题型09 角平分线的性质与判定综合运用
1.如图，在 ABC中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
2.如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
3.如图，在 ABC中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③若，则；④；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4.如图，在 ABC中，，，，，角平分线、交于点，于点，．下列结论：①点在的平分线上；②；③；④，其中正确的结论是 （填序号）
5.如图，在 ABC中，，角平分线、交于点O，于点F．下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论有 ．
题型10 线段垂直平分线的判定与性质的综合运用
1.如图，在 ABC中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论：①；②；③；④．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图， ABC中，，点M，N分别在，上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论：①直线垂直平分；②；③；④若M是中点，则．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
3.情景一：小明在数学兴趣小组探究活动课上发现：对于一个△ABC，分别作边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，如图1所示，此时经过测量后，得到∠MAN＝30°，根据上述条件，能不能得到∠BAC的度数呢？小明结合所学过的知识进行了以下论证．
证明：∵DM是边AB的垂直平分线，
∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠B．同理可得∠NAC＝∠C，
则 解得∠BAC＝105°．
情景二：小明继续对上述问题进行探究发现：若边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，如图2所示，试判断∠MAN与∠BAC之间的数量关系．
(1)情景一中得到∠MAB＝∠B的理由是______．
(2)在图1的情况下，若∠MAN的度数为α，则∠BAC的大小为______（用含α的代数式表示）．
(3)请写出情景二中∠MAN与∠BAC之间的数量关系，并说明理由．
4.如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O．
(1)如图1，当时，直接写出的度数_________；
(2)如图1，当，且．
①若，则________°；②当_________°时，；
(3)如图2，连接，，．若 ADE的周长为，的周长为．则线段________；线段__________．(4)如图3，若，则__________°．
参考答案
题型01 线段垂直平分线的性质定理的运用（长度、角度）
1.C
【详解】解：∵垂直平分，垂直平分，∴，，
∴的周长为，故选：C．
2.C
【详解】解：，，
的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，
，，，，
，，故选：C．
3.
【详解】解：∵是的垂直平分线，∴．
∵，∴是的垂直平分线，∴，∴．
∵ ABC的周长为，，∴，∴，
则，∴，即．故答案为：．
4.D
【详解】解：由作图痕迹可得，垂直且平分，，
，故选：D．
题型02 线段垂直平分线的判定定理及运用
1.（1）证明：∵，，∴点A和D都在线段的垂直平分线上，∴垂直平分；
（2）证明：由（1）知垂直平分，∴，
在 BDE和中，，∴．
2.C
【详解】解：为的中点，，
，，，
在与中，，，
，，，
，，，故选：C．
3.（1）解：由题意得：；
（2）证明：，，
同理得：，，
，，；

（3）证明：连接，，，，，∴，，
，，垂直平分．
4.（1）证明：∵，，∴，
∴在和中，，∴，∴；
（2）证明：∵，∴，∴，
∴点O在线段的垂直平分线上．
题型03 角平分线性质定理的运用（长度、面积、角度）
1.C
【详解】解：过O作于点E，∵平分，，∴，
∴ AOB的面积，故选：C．
2.A
【详解】解：如图，过点作于点，
∵平分，，，∴，
∵，，∴，∴．故选：A．
3.A
【详解】解：作于H，如图，
∵的平分线交于点，，，∴，
∵Q为上一动点，∴的最小值为的长，即的最小值为2．故选：B．
4.D
【详解】解：∵点作于点，于点于点，，
∴分别平分，∴，
∵，∴，
∴，∴；故选D．
题型04 角平分线的判定定理的运用
1.（1）证明：∵是的垂直平分线，∴，
∵，，∴平分；
（2）解：∵，∴，
∵是的垂直平分线，∴，∴，∴，
∴，，∴，∴．
2.C
【详解】解：作于点，于点，交的延长线于点，
∵与的角平分线交于点E，∴，∴，∴平分，
∴，∴只需要知道的度数即可求出的度数；故选C．
3.
【详解】解：如下图所示，过点作，平分，、，，
又平分，，，平分，，
在和中，，，同理可证，，，故答案为： ．
4.（1）解：与都是等边三角形，
，，，，
在和 BDE中，，，，
；
（2）证明：连接，作，于点，，如图所示：
，，，，
，平分．
题型05 角平分线的第二定理（拓展）
1.（1）过点作于点，于点，过点作于点，
∵是的角平分线，且，，∴，（角平分线的性质）
∴，又∵，∴．
（2）如图，过点D作于N，过点D作于M，过点A作于点P，
是的外角平分线，即平分，，
，又，．
（3）在上取点G，使得，连接，
、分别是、的角平分线且相交于点，，
，，，
在 BDE和中，，，
，，
，平分，，
在和中，，，，
，由（1）可得，在中，为的角平分线，，
设，则，，，
2.A
【详解】解：过点作，，，垂足分别为，，，
∵ ABC的三条角平分线交于点O，，，，，
．故选：A．
3.（1）解：①根据“发现”，完成填空：，
②选择：在 ABC中，是它的角平分线，点D到和的距离相等，
即中边上的高，和中边上的高相等，设为h，则；
选择：点D在上，点D到和的距离相等，
即中边上的高，和中边上的高相等，设为，则；
（2）解：①证明：，，由（1）得，，
是的中点，，，又是的角平分线，垂直平分；
②如图，即为所求；
延长交的延长线于点G，设，，
由①得，，
是的角平分线，，，，
在和中，，，
，，，
由①得，，，，
，，．
4.探究发现：解：过点作于点，于点，过点作于点，
∵是的角平分线，且，，
∴，∴，又∵，∴；
故答案为：，，；
类比探究：
证明：过点D作交延长线于N，过点D作延长线于M，过点C作于点P．

∵平分，∴．
∴，，∴；
拓展应用：在上取点G，使得，连接，
∵，∴，∵分别是的角平分线，
∴，，，
∴，∴，∵，∴，
∴，∴∴是的角平分线
由（1）知，，设，，则，，
由（1）知，即．
题型06 多定理叠加运用（垂直平分线+角平分线）
1.（1）证明：如图，连接、，∵，D为中点，∴，
∵，，且平分，∴，
在和中，，∴，∴；
（2）解：，证明如下：在和中，
，∴，∴，由（1）知，
∴．即；
（3）解：由（2）知，∵，，∴，
∴，∴，故答案为：2．
2.
【详解】解：如图，过点作于，连接，
∵，∴，∵平分，∴，
在和中，，∴，∴，，
∵，，∴，
∵是的一个外角，∴，∴，
即，∴，
∵是的垂直平分线，∴，∴，∴，
又∵，，∵，
在和中,，，∴，
∴，∴，故答案为：．
3.B
【详解】解：连接
∵是的平分线 ，∴，∵，，∴，
在和中 ，，∴，∴，，
∵是的垂直平分线，∴，
在和中 ，，∴，∴，
∵，，∴，∴，故选：．
4.（1）证明：连接和，∵是的垂直平分线，∴，
∵平分，，，∴，，
在和中，， ∴，∴；
（2）证明：∵平分，，，∴，，
在和中， ，∴，∴，
∵，∴，即．
题型07 线段垂直平分线与角平分线的实际应用
1.B
【详解】解：∵快递站到每一栋单元楼的距离相等，∴快递站应建在的三边的垂直平分线的交点处．
故选B．
2.A
【详解】解：如图所示，分别作，，的垂直平分线，则三条垂直平分线的交点P即为可供选择的地址，有1处．故选：A．
3.D
【详解】解：如图所示，根据角平分线的性质定理“角平分线上点到角两边的距离相等”得到点到三条公里的距离相等，∴可供选择的地址有4个，故选：D ．
4.A
【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分线的交点上．故选A．
题型08 线段垂直平分线与角平分线的尺规作图
1.（1）如图所示，点P即为所求；
（2）解；如图所示，点Q即为所求；
2.C
【详解】解：连接，过点作于点，于点，
由作图得，，又，∴，∴，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∵，∴，
∴，故选项B正确，不符合题意；无法判断，故选项C符合题意；
∵，，，∴，又，
∴，故选项D正确，不符合题意；故选：C．
3.解：如图：点P即为所求．
4.解：如图，作线段的垂直平分线，作的平分线，与的垂直平分线交于点，点即为所求．∵观景台到的距离与观景台到的距离相等，∴点在的角平分线上，
∵，∴点在线段的垂直平分线上，
∴的角平分线于线段的垂直平分线上的交点即为点．
5.解：点到边的距离相等， P点在的角平分线上；
，，点P在的垂直平分线上；
点P为的角平分线与的垂直平分线的交点，如图所示，点P为所求．
题型09 角平分线的性质与判定综合运用
1.B
【详解】解：和的平分线相交于点，，，
，①错误；
，，，分别是与的平分线，
，，，，
如图，在上取一点，使，是的角平分线，，
在和中，，，
，，，
在和中，，，
，，故②正确；作于，于，
和的平分线相交于点，
点在的平分线上，，，
，故③正确．故选：B．
2.A
【详解】解：∵平分，，，∴，
在和中，，∴，故①正确；∴，
在和中，，∴，
∴，∴，故②正确；
∵，∴，设交于，
∵，∴，故③正确；
∵，，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴，
∴，即，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∵和不一定相等，
∴和不一定相等，∴和不一定相等，故④错误；
综上，正确结论的序号有①②③，故选：．
3.C
【详解】解：设，，
平分交于点，平分交于点，，
，，，；
在中，，故①说法正确，符合题意；
是的角平分线，不是三角形的中线，与不一定相等，故与不一定相等，
故②说法错误，不符合题意；若，则，
∵平分，∴，∴，，
，故③说法正确，符合题意；如图1所示，在边上取，连接，
平分，，，，，
∵，，，
又平分，∴，，
，，，故④说法正确，符合题意；
过作于，于，∵，∴，
∵，，，
故⑤说法正确，符合题意；综上，说法正确的有①③④⑤，共4个．故选：C．
4.①②④
【详解】解：过点O作于点G，于点N，如图所示：
∵是的角平分线，，，∴，
同理得：，∴，∴点在的平分线上，故①正确；
在 ABC中，，，∵BD,CE分别是的角平分线，
，，
，则，结论②正确；
如图，在上取一点，使得，连接，连接，
在和中，，，
，，
由对顶角相等得：，，
在和中，，，，，
，，
在和中，，，，
在和中，，，，
∴，故③错误；由以上证明可知：，
∴，故④正确；综上，正确的结论是①②④，故答案为：①②④．
5.①③
【详解】解：如图，过点作于点，
∵是的角平分线，，∴，
∵，，∴，结论①正确；
∵，，∴，∴，
∵是的角平分线，∴，∴，
∵，∴，结论②错误；
如图，过点作于点，作于点，
∵是的角平分线，是的角平分线，，
∴，，，
∵，∴，
∴，∴，
∵，，∴，
在和中，，∴，∴，结论③正确；
如图，在取一点，使得，连接，
∵是的角平分线，是的角平分线，∴，，
在和中，，∴，∴，，
由上已证：，∴，∴，即，
在和中，，∴，∴，
设，∵，∴，∴，
∴，
又∵，∴，∴，
∴，
∴，结论④错误；综上，正确结论有①③，故答案为：①③．
题型10 线段垂直平分线的判定与性质的综合运用
1.D
【详解】解：，，，，
，，所以①正确；
是的角平分线，，
，而，
，所以②正确；
垂直平分，，，
，，，所以③正确；
，，所以④正确．
故选：D．
2.C
【详解】①∵将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），
∴直线垂直平分，故①正确；
②由①得，直线垂直平分，∴，，
∴∠NAD=∠NDA，，∴
∵是 CDM的一个外角，是 NAD的一个外角，
∴，
∴，∴，
∴，∴，∴
又∵，∴
即，
又∵(已证)，∴，故②正确；
③∵，∴，∴
又∵，∴与不一定相等，
∴与不一定相等，∴与不一定相等，故③错误；
④∵是的中点，∴，∵，∴，∴，，
又，∴，∴，
∴，故④正确；综上所述，一定正确的有①②④，故选：C．
3.（1）解：是的垂直平分线，，
，(SAS)，，故答案为：；
（2）由(1)知，，同理可得，，
，，
，故答案为：；
（3）∠MAN+2∠BAC=180°；
理由：是的垂直平分线，，
，，同理可得，，
，，
，，
，，．
4.（1）解：∵垂直平分，垂直平分，∴，，
∴，，
∴；故答案为：．
（2）解：①∵，∴，
∵垂直平分，垂直平分，∴，，
∴，，∴，
∴；故答案为：60；
②∵，∴，根据解析①可知，，
∵，∴，
∴，即当时，；故答案为：135．
（3）解：根据解析（2）可知，，，
∵ ADE的周长为，∴，∴，即，
∵垂直平分，垂直平分，∴，，∴，
∵的周长为，∴，∴，
解得：．故答案为：9；6．
（4）解：∵，∴，
∵垂直平分，垂直平分，∴，，
∴，，∴，
∴，
∵，∴．故答案为：36。

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