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第1章 《三角形》单元测试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.）
1．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（ ）
A．2 B．3 C．4或5 D．6
2．在 ABC中，有下列四个命题：
①如果，那么； ②如果，那么；
③如果，那么； ④如果，那么．
其中，真命题的个数有（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是( )
A．有两个内角分别是的三角形
B．有一个角为的直角三角形
C．一个外角是，与它不相邻的一个内角为的三角形
D．有两个内角分别是的三角形
4．如图， ABC的三边，，的长分别为，，，其三条角平分线将 ABC分为三个三角形，则等于( )
A． B． C． D．
5．如图，点P为等边 ABC的边上一点，Q为延长线上一点，，连接交于D，若，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
6．如图，在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线相交于点O．已知，，小婵同学得到如下结论：① ABC是等边三角形；②；③；④点M、N分别在线段上，且，则，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
7．如图等边 ABC中，点D，E为线段上动点且，连接交于点F，连接，下面结论：①；②；③若，则；④若，则．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在 ABC中，三条角平分线交于点O，交于点H，两个外角角平分线交于点M，延长线交反向延长线于点N．则下列结论中：①平分；②当时，；③；；④；⑤；⑥．其中正确个数有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
9．如图，在 ABC中，和的平分线，相交于，交于，交于，过点作于，下列结论中：①；②当时，；③；④若，，则，正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
10．如图，在等腰 ABC与等腰 ADE中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中一定正确的结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分.）
11．如图，为了促进当地旅游发展，某地区要修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址有 处可供选择．
12．如图，在 ABC中，．若添加一个条件可判定 ABC为等边三角形，则添加的条件可以是 ．
13．如图所示，在四边形中，，，P为的中点，连接，若，则的度数为 °．
14．如图，是 ABC的中线，，，若的周长比的周长小4，则 ABC的周长为 ．
15．如图，在 ABC中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为 ．
16．如图，在中，是 ABC的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ．
17.如图，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，连接、、，，过点A作于点H，若，，则五边形的面积为 ．
18.如图， ABC为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分.）
19.（1）如图（1），在 ABC中，已知．
①求证；②若是边的中点，连接，求证．
（2）如图（2），在 ABC中，已知，且是 ABC内的一点，，求证．
20.如图，等腰 ABC中，．用无刻度直尺和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹（铅笔作图）．(1)作线段的垂直平分线交于点；(2)作的角平分线交于点；(3)的周长是 ．
21.已知：在 ABC中，，平分交于点．
(1)如图①，于点，若，求的度数；
(2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）；
(3)如图②，在 ABC中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数；(4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由．

22.如图，在 ABC中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于.(1)求证：.(2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想；(3)若，，则________.
23.在 ABC中，AD是角平分线．
(1)如图1，，．已知，，，求的长；
(2)如图2，求证：；
(3)如图3，，，．若，求证：．
24.如图①，在 ABC中，，，过点C在 ABC外作直线l，于点M，于点N．
(1)试说明：；(2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由.(3)如图③，在 ABC中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长．
25.综合与实践
【问题提出】（1）如图①，在 ABC中，，点为 ABC外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点、于点，且．则猜想并证明，，之间的数量失系．（2）如图②，已知等边三角形及 ABC外一点，连接，，．若，试判断，，之间满足的数量关系，并说明理由；
【问题解决】（3）如图③，在 ABC中，，点为 ABC外一点，且，，直接写出的度数．
26.【背景问题】：老师提出了如下问题：
如图1，在 ABC中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接由已知和作图能得到，所以．
（1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长______（写一个即可）；
【感悟方法】：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）如图2，是 ABC的中线，交于E，交于F，．探究与的关系，并说明理由．
【深入探究】：（3）如图3，在 ABC和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，，，则______．
参考答案
一、选择题
1．C
【详解】解：有图可知，一根小棒的长度为，一根小棒的长度为，
设第三根小棒的长度是，若三根小棒可以围成三角形，
则由三角形三边关系可知，即，再由图中挡板高度为，则，
结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，故选：C．
2．A
【详解】解：命题①：若，则 ABC为等腰三角形，∴底角，故正确．
命题②：若，由等角对等边可知，故正确．
命题③：若，根据大边对大角定理，对的角大于对的角，故正确．
命题④：若，根据大角对大边定理，对的边大于对的边，故正确．
综上，四个命题均为真；故选：A．
3．D
【详解】解：A：两内角是，第三角为，存在两个的角，故为等腰三角形，不符合题意；
B：直角三角形中一个角为，则另一锐角为，两角相等，故为等腰直角三角形，不符合题意；
C：外角对应内角为，与它不相邻的内角为，根据三角形外角的性质，另一不相邻内角为，此时三角形内角为，存在两角相等，故为等腰三角形，不符合题意；
D：两内角为，第三角为，三角均不相等，无法构成等腰三角形，符合题意；
故选：D．
4．C
【详解】解：∵三条角平分线将 ABC分为三个三角形，
∴到 ABC的三边，，的距离相等，设为，
又 ABC的三边，，的长分别为，，，
∴故选：C．
5．A
【详解】解：如图，过点P作交于点F，是等边三角形，，
，，，是等边三角形，，，，，
在和中， )，，
设，则有，，，，
，，，，
解得：，即，故选：A．
6．C
【详解】解：,是等边三角形，故结论①正确；
,,
,,
,
,,故结论②正确；
是等边三角形，，垂直平分,
,故结论③错误；
如图，延长到，使，连接，
,,,
在和中,,,,
,,
在和中,,,
,故结论④正确；综上所述，正确的结论有①②④，故选：C．
7．C
【详解】解：∵ ABC是等边三角形，∴，
∵∴，故①正确，∴，
∴，∴，故②正确，
∵，∴点D、E为的中点，
∵ ABC是等边三角形，∴是的垂直平分线，∴，故③正确，
过点A作于G，∵，∴，
在和中，，∴，∴
∵，∴是和边上的高，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∴，故④错误，综上所述：正确的结论有①②③，共3个，故选：C．
8．C
【详解】解：若是的平分线，则，∵是的平分线，∴.
∵，，∴,
∵分别是的角平分线，∴,
∴，这与与不一定相等矛盾，∴不一定是的平分线，故①不正确；
当时，在上截取，连接，如图：

∵，∴，
∴，∴，∵，∴，
在和中，，∴，∴，
∴，即，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，故②正确；
如图：∵于H，∴，∴，
∵，∴
，故③正确；
∵平分，平分，∴，
∴；同理可得，∴，∴，
而，∴，∴，故④正确；
∵ ABC三条角平分线交于点O，，∴O到的距离都等于，
∴，故⑤正确；
过O作于K，于T，如图：

∵，∴，
∴，由角的对称性可知，，
∴，∴，故⑥正确；
∴正确的有：②③④⑤⑥，共5个；故选：C．
9．D
【详解】解：∵和的平分线，相交于，∴，，
∴
，则结论①正确；
∵，∴，∴，
如图，在上取一点，使得，连接，
∵和的平分线，相交于，∴，，
在和中，，∴，
∴，∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，则结论②正确；
如图，过点作于点，作于点，
∵和的平分线，相交于，，
∴，，，假设，
在和中，，∴，∴，
∵，，，∴，
∴，由已知条件不能得出这个结论，∴假设不成立，即结论③错误；
如图，过点作于点，作于点，连接，
∵，，，，
∴，由上已得：，
∴，即，
∵，∴，∴，则结论④正确；
综上，结论正确的是①②④，故选：D．
10．C
【详解】解：∵，∴，
∵，，∴，∴，故①正确；
过点作于，于，
∵，∴，，∴，∴，
∵，， ∴平分，故③正确；
∵，， ∴，
∴，故②错误；在线段上截取，连接，
∵，∴，∵，，∴，
∴，由②得， ∴，
∵平分，∴，∵， ∴为等边三角形，∴，
∵，，∴，故④正确；综上，正确的结论有个， 故选：．
二、填空题
11．4
【详解】解：如图，
三角形内角平分线的交点D，和外角平分线的三个交点A、B、C，共4处可供选择．故答案为：4．
12．（答案不唯一）
【详解】解：①当或时，∵，∴，即 ABC是等边三角形；
②当或或时，∵，∴ ABC是等边三角形；
故答案为：（答案不唯一）
13．
【详解】解：连接并延长交的延长线于点E，∵点P为的中点，∴，
∵，∴，
∴，∴，，，
∵，，∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，故答案为：53．
14．22
【详解】解：∵为 ABC的边上的中线，∴，∴，
∵的周长比的周长小4，∴，∴，
∵，∴，∴ ABC的周长为，故答案为：22．
15．5
【详解】解：是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，，，
的周长为32，，，
即，，．故答案为：5．
16．
【详解】解：延长交于点，作与点，如图所示，
∵AE⊥CD，是 ABC的角平分线，，，
在和中，，，，，
，，，，，
，，，
，，故答案为：．
17．
【详解】解：∵，∴将绕点A顺时针旋转到的位置，
∴，∴，，，，
又∵，∴，
∵∴，
∵，∴，∴点G、B、E在一条直线上，
∵，∴．∴．
在与中，，，
，，∴
．
18．
【详解】解：如图，连接，∵ ABC为等边三角形，，，
∴，，，，
∵为等边三角形， ∴，， ∴，∴，
在 BCF和中，，∴，∴，，
∴当时，线段的值最小，此时，，∴，故答案为：．
三、解答题
19.（1）①在 ABC中，已知，根据三角形中大边对大角的定理：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边所对的角较大．
，
②延长到点，使，连接，
是边的中点，，又，，，
又，，，；
（2）将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，则，
，
，，设与交于点，
，，
，在中，有，
20.（1）解：如图，直线，点E即为所求．
（2）解：如图，射线即为所求．
（3）解：∵垂直平分，∴，
∴周长为．故答案为：11
21.（1）解：∵在 ABC中，，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∴，
当时，；
（2）由（1）可知，，∴当时，∴；
（3）∵，而，∴，
∵，，∴，∴；
（4）的度数大小不发生改变．理由如下：
∵，，∴，∴．
22.（1）证明：如图，连接、，∵，D为中点，∴，
∵，，且平分，∴，
在和中，，∴，∴；
（2）解：，证明如下：在和中，
，∴，∴，由（1）知，
∴．即；
（3）解：由（2）知，∵，，∴，
∴，∴，故答案为：2．
23.（1）解：∵在 ABC中，AD是角平分线，，，∴，
∵，，，∴，
∴，∴；
（2）证明：如图，作，，，
∴，，
∵在 ABC中，AD是角平分线，，，∴，∴，
∴，；
（3）解：如图，在上取点，使，作的角平分线交于点，
在 ABC中，，，，
是角平分线，∴
又，，∴，，，
，∴，，
又是角平分线，，
，，，
，∴
是角平分线，由（2）可得，即，
，整理得：．
24.（1）解：∵，，∴，
∵，，∴∴∴，
又，，，，
，；
（2）成立，理由：，，，
又∵，，，，，
又，；
（3），，，，
又，，，，，
，，，．
25.解：（1）∵，，∴，
在和中，，∴，
∴，，∴；
（2）结论：，证明：在上截取，连接，
在等边 ABC中，，，
∵，∴ ADE为等边三角形，∴，，∴，
∴， ∴，∵，∴；
（3）证明：延长至，使，再在上取点，使，连接，，
∵， ∴，∴，
∵，∴，又，∴，
∵，∴，∴，∴，
又，∴，∴，
∵，，∴为等边三角形，∴，，
又，∴，∴
∵，，，
∴，∴，∴．
26.解：（1）延长至点E，使，连接，则，是边上的中线，，
在和中，，，，
∵，∴即；边的长度为奇数，或5；
（2），理由如下：
延长到M，使，连接，如图2所示：
是 ABC的中线，，在和中，，，
，，，，∴，
∵∠BFM=∠AFE，；
（3）延长到R，使得，连接、点Q是的中点，，
又，，∴，
，，∴，∴，
∵∠ACB=∠DCE=90°，，，，，
，∴，，，
，，，即，
∴．

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