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一元二次方程、不等式典型考点闯关练
2026年高考数学复习备考
一、单选题
1．已知,是关于的一元二次方程的两个实数根，且,，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则下列关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
8．设，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．在上定义的运算，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13． 的解集为 ，则 的解集为 ．
14．已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 .
15．已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ．
16．若对任意实数，恒成立，则 ．
三、解答题
17．已知函数，且.
(1)求a的值；
(2)当时，恒成立，求m的取值范围.
18．已知函数，其中.
(1)解关于的不等式；
(2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围.
19．已知，解关于的不等式.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B C D A C A C B
题号 11 12
答案 D C
1．C
【分析】根据一元二次函数的图象和零点存在定理求解的取值范围.
【详解】由题意可得，为函数的两个零点．
因为，，结合二次函数图象，利用零点存在定理可得：
，即，所以．
所以，解得：．
故选：C．
2．D
【分析】根据题意，分别求得和或，结合集合的运算，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数，可得，解得，所以，
又由，解得或，所以或，
则，，且，，
故选：D.
3．B
【分析】解对数不等式求出集合，再由交集运算可得结果.
【详解】由题意可得，
解得或，即或；
又，可得.
故选：B
4．C
【分析】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解.
【详解】因为关于的不等式的解集是，
所以且，
解得，所以的取值范围是.
故选：.
5．D
【分析】先解不等式得出集合，再根据交集定义计算求解.
【详解】集合，，
则.
故选：D.
6．A
【分析】由基本不等式，得到，转化为恒成立，结合一元二次不等式的解法，即可得到答案.
【详解】由基本不等式，可得，当且仅当时，即时，等号成立，
因为不等式恒成立，即恒成立，
又由不等式，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
7．C
【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，，
所以.
故选：C.
8．A
【分析】由指数函数单调性和一元二次不等式的解法求集合，判断包含关系，再由充分、必要性定义即可得.
【详解】由，，
所以，即是的充分不必要条件.
故选：A
9．C
【分析】解出集合，再根据并集含义即可得到答案.
【详解】，，
则.
故选：C.
10．B
【分析】根据规定的新定义运算法则化简不等式，然后直接求解一元二次不等式就可以得到正确答案
【详解】根据给出在上定义运算
，
由得，解之得，
故该不等式的解集是．
故选：B
11．D
【分析】由题意在上恒成立，记，按照、、、和分类讨论，根据导数判断单调性，然后利用最小值大于等于0列不等式求解参数范围即可.
【详解】因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
记，则，
当时，，所以在单调递增，显然成立；
当时，，所以在单调递增，
则，化简得，
即，所以，所以；
当时，，
若即，令得或，
令得，
所以在和单调递增，在上单调递减，
又，显然不满足恒成立；
若即，令得，
令得，
所以在单调递增，在上单调递减，
又，显然不满足恒成立；
若即，，所以在单调递增，
则，化简得，
即，所以，所以；
综上，的取值范围为.
故选：D
12．C
【分析】分，，三种情况求解即可.
【详解】当，即，又可得，
当时，在上单调递增，
由，可得，解得，
当，即时，
由，可得，所以，
解得，
当，即，
由，得，所以，
因为，所以不等式无解，
综上所述：不等式的解集为.
故选：C.
13．
【分析】由不等式 的解集为 ，可得到且,代入一元二次不等式求解即可.
【详解】由题干知，不等式 的解集为 ，
可得到，代入一元二次不等式得
，
由于，所以，即 .
故答案为：
【点睛】
14．
【分析】先解绝对值不等式和含参的一元二次不等式得出p和q对应的等价条件，再结合是的充分不必要条件得到集合间的包含关系，则参数m的范围可求.
【详解】由可得，即，
由可得，即，
又因为是的充分不必要条件，所以，
所以(等号不同时成立)，解得，
故答案为：.
15．
【分析】分离参数，利用基本不等式即可求解.
【详解】因为不等式对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
又当时，，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即，所以实数a的最小值为.
故答案为：.
16．2
【分析】利用系数相同，令得出或，即可得出，再检验时存在的值使得恒成立即可.
【详解】注意到中系数相同，不妨令，得或，
又对任意实数恒成立，
则当时有，当时有，则有．
下面检验是否能取到．
当时，
恒成立，
当时有恒成立，显然不成立，
则，且恒成立，
故，解得，，
此时对任意实数x，恒成立，所以．
故答案为：.
17．(1)1
(2)
【分析】（1）根据，即可由对数运算代入求解.
（2）根据一元二次不等式与二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）因为，
所以,
因为，所以，
则.
（2）由（1）可知，等价于.
令，则，
原不等式等价于在上恒成立，
则，解得，
故m的取值范围为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由在单调递增，得即可求解；
（2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，即在上恰有一个实数解，令，则在上恰有一个实数解，利用数形结合即可求解.
【详解】（1）由函数在单调递增，
所以
（2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，求实数的取值范围.
即在上恰有一个实数解.
等价于在上恰有一个实数解.
在上恰有一个实数解.
令，则在上恰有一个实数解.
画出关于的二次函数在上的图像可知，时只有一个交点；
.
19．答案见解析
【分析】化简不等式为，解得方程的两个根为，结合根的大小分类讨论，即可求解.
【详解】由不等式，
即，
方程的两个根为，
①当时，不等式的解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为.
综上所述，
当时，不等式的解集为；
当时，解集为.
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