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专题--基本不等式求最值问题 重点练
2026年高考数学复习备考
一、单选题
1．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
2．若随机变量，则，的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．18 D．32
3．函数过定点A，若，则的最小值为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．10
4．已知x，y是非零实数，则的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．2 D．4
5．已知，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
6．已知，且，则的最小值是（ ）
A．6 B．12 C． D．27
7．已知各项为正的等差数列的前项和为，且，则的最大值为（ ）
A． B．4 C．5 D．
8．若，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．的最小值为1
C．若，则的最小值为8
D．若恒成立，则的最小值为
10．下列式子中最小值为8的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列选项正确的是（ ）
A．若正实数满足，则的最小值为10
B．函数的值域是
C．若正实数满足，则的最大值为
D．若正实数满足，则的最小值为
12．（多选）下列结论正确的是（ ）
A．若，则的最大值为1
B．若，则的最小值为2
C．若，则有最大值1
D．若，则的最小值为2
13．已知，为正实数，且，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
14．已知正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
15．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最大值为
C．若，则的最小值为1
D．若，则的最大值为
三、填空题
16．已知，则的最小值为 .
17．已知，，，则的最小值为 .
18．已知，则的最小值为 ．
四、解答题
19．若正数满足：，
(1)求的取值范围；
(2)求的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C A D C A A AC BC
题号 11 12 13 14 15
答案 AC ACD ACD ABD BCD
1．C
【分析】利用基本不等式转化为一元二次不等式即可求解．
【详解】由题意可知，当时等号成立，
即，
令，则
解得或舍
即，
当且仅当时，等号成立．
故选：C.
2．B
【分析】利用正态分布曲线的对称性得，最后利用均值不等式即可求解.
【详解】因为，且，
所以，
易知，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为16．
故选：B.
3．C
【分析】根据给定条件，求出点的坐标，进而求出的关系式，再借助＂1＂的妙用计算作答．
【详解】当，即时，恒有，即过定点，
因为，所以点在上，
则，且，
于是得，
当且仅当，即时取＂＂，由且得：，
所以当时，取得最小值8．
故选：C
4．A
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】，
当且仅当，
即，等号成立，
所以的最小值为6，
故选：A
5．D
【分析】将变形得，代入再根据基本不等式可求出结果.
【详解】由题意，知，.由，得，
两边同时除以，得.
因为，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
6．C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由，，得
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故选：C
7．A
【分析】由等差数列的性质及前n项和公式得，再应用基本不等式求的最大值.
【详解】由，得，所以．
由已知，得，则，
当且仅当时等号成立．
故选：A
8．A
【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式求出的最小值，即可得出答案.
【详解】因为，，且，
所以，
当且仅当，，，即，时等号成立，
所以的最大值为．
故选：A.
9．AC
【分析】利用基本不等式求解A，利用基本不等式的取等条件判断B，利用基本不等式结合“1”的代换判断C，先分离参数，再对平方后利用换元法和判别式法求解最值，得到的最小值判断D即可.
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，
即，得到，解得．故A正确；
对于B，，
当且仅当，即时取等号，显然的值不存在，故B错误；
对于C，因为，所以，
由基本不等式得，
当且仅当时取等，此时解得，
则的最小值为8，故C正确，
对于D，因为恒成立，且，，
所以恒成立，而
，
令，则可化为，
令，则，
化简得，
而该一元二次方程一定有实数根，得到，
解得，当时，，
故，故即，
得到，则的最小值为，故D错误.
故选：AC
10．BC
【分析】对于A、B选项，直接根据均值不等式结合取等条件判断正误即可；对于C选项，先将原式变形为，再根据均值不等式结合取等条件判断正误即可；对于D选项，根据，利用“1”的代换，结合均值不等式和取等条件判断正误即可.
【详解】对于选项A：，
当且仅当，即时等号成立，但不成立，
所以的最小值不为8，故A错误；
对于选项B：因为，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8，故B正确；
对于选项C：，
当且仅当时，即时，取得最小值8，故C正确；
对于选项D：由题意，
则，
当且仅当，即时，等号成立，故D不正确.
故选：BC
11．AC
【分析】根据基本不等式分式分离，结合“1”的巧用，求解的最值，即可判断A；根据基本不等式和为定值，求解的最值，从而得函数的取值范围，即可判断B；利用基本不等式根据和为定值求和式最值，即可判断C；由已知等式凑乘积为定值的式子，结合基本不等式求的最小值，即可判断D.
【详解】对于A，因为，
当且仅当，即时，等号成立，故选项A正确；
对于B，因为，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为，故选项B错误；
对于C，由正实数满足，由，得，
当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确；
对于D，由，得，所以，
当且仅当，即时等号成立，而，最小值取不到，故选项D错误．
故选：AC．
12．ACD
【详解】因为，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为1，故A正确；因为的等号成立条件是，不成立，所以B错误；当时，，当时，，当且仅当时，等号成立，当时，，故有最大值1，故C正确；因为，当且仅当，即时，等号成立，所以D正确．
13．ACD
【分析】A，利用变形，利用基本不等式求解即可；B，由可得，利用基本不等式求解即可；C，利用，解一元二次不等式即可；D，原式变形为，利用基本不等式求解即可.
【详解】由得，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
此时取得最小值，对
,
，
当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错
因为，当且仅当时取等号，
解不等式得，故的最大值为，C对
，
当且仅当即时取等号，
此时取得最小值，D正确
故选：ACD.
14．ABD
【分析】A选项，由基本不等式得到，得到；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；C选项，平方后得到，结合A知；D选项，，故D正确.
【详解】A选项，正数满足，故，
解得，当且仅当，即时，等号成立，A正确；
B选项，，
当且仅当，即，即时，等号成立，B正确；
C选项，，
由A知，，故，
故，C错误；
D选项，因为，所以，
故，当且仅当，即时，等号成立，D正确.
故选：ABD
15．BCD
【分析】通过消元转化为二次函数求最值判断A选项,通过平方后用基本不等式判断B选项,通过变形将转化为再利用基本不等式求最值, 变形，转化为为整体的一元函数最值问题求解,利用基本不等式或双勾函数求最值即可.
【详解】由题意得，A项错误；
，所以（当且仅当时取等号），B项正确；
，当且仅当时取等号，C项正确；
，
又因为，
所以，
设，
则，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为，D项正确．
故选:BCD．
16．
【分析】将变形为，换元，令，构造均值不等式求解即可.
【详解】，令，所以，
则，
当且仅当，即，时取等号.
所以的最小值为.
故答案为：.
17．
【分析】由得，根据基本不等式得，即可求得的最小值.
【详解】因为，，，所以，
因为，
所以，当且仅当即（负值舍去），等号成立，
此时，整理得，
解得，（不符合题意舍去），
即当，时，有最小值为.
故答案为：
18．
【分析】将目标式子变形，然后根据基本不等式求解即可.
【详解】由得，，
当且仅当即时，等号成立，故的最小值为．
故答案为：
19．(1)
(2)．
【分析】（1）利用基本不等式进行放缩，得到，再通过一元二次不等式的解法进行求解；
（2）利用基本不等式进行放缩，得到，再通过一元二次不等式的解法进行求解.
【详解】（1）由条件等式与基本不等式，得，即，
即，解得，所以，当且仅当时取等号，
所以的取值范围为．
（2）由条件等式与基本不等式，得，
令，得，
解得或（舍去），即，
所以的取值范围为.
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