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专题--集合中的参数问题 重点练
2026年高考数学复习备考
一、单选题
1．已知集合，，若 ，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，，则中的元素个数至少为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知集合，．若，则的最大值是（ ）
A．2 B．-1 C．0 D．1
4．已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知集合，，有且只有2个子集，则实数（ ）
A． B． C．1 D．e
7．设函数，集合，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（ ）
A． B． C． D．
9．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．若集合，，且，则的值可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
13．(多选)已知集合，，且，则实数的值可以为（ ）
A． B． C． D．
14．设集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
15．已知非空集合，，，则实数a的取值范围为 .
16．已知集合，，如果有且只有两个元素，则实数a的取值范围为 ．
17．.设，，若，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
18．设，集合,．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
19．已知，．
(1)是否存在实数使得，若不存在请说明理由，若存在，求出，
(2)是否存在实数使得，若不存在请说明理由，若存在，求出．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D A D C C C C B
题号 11 12 13 14
答案 A ABD BCD ACD
1．C
【分析】解不等式化简集合，再利用集合的包含关系求解.
【详解】依题意，，，
因为 ，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
2．C
【分析】由集合可得且，再由可得与均互异，结合特例可得正确的选项.
【详解】由中元素的互异性，得，即且，
而，则当且时，与均互异，
因此中至少有元素，取，此时，有4个元素，
∴ 中的元素个数至少为4个.
故选：C
3．D
【分析】由题意得到，即可求解.
【详解】由，，
可知，
所以，即的最大值是1.
故选：D.
4．A
【分析】根据，由此列出满足题意的不等式组，求解出m的取值范围.
【详解】因为，所以，解得．所以的取值范围是．
故选：A.
5．D
【分析】解一元二次方程求出集合，再由得到，即可求出，再得到不等式组，解得即可.
【详解】由，即，解得或，
所以或，因为且，
若时，若时，不符合题意，所以，
则或，所以，解得，
即实数的取值范围为.
故选：D
6．C
【分析】构造函数，根据只有一个实数根即可求解.
【详解】令，则，记，则，
当在单调递增，当在单调递减，
且当，,
因此只有一个实数根时，则，
由于有且只有2个子集，则只有一个元素，故，
故选：C
7．C
【分析】利用分式的同异号及导数运算，结合分类讨论，化简集合，从而利用集合的包含关系求得参数的取值范围.
【详解】由得，即，
当时，得，则；
当时，不等式化为，得，则；
当时，得，则.
因为，由得，
当，即时，，则；
当，即时，，则或.
因为 ，
所以当时，，，则 不成立；
当时，，，则 不成立；
当时，，或，则 成立，
综上：，即.
故选：C.
8．C
【分析】由集合有3个真子集可得中有两个不同的元素，故求出的范围后可得正确的选项.
【详解】因为有3个真子集，所以中有2个元素，故中有两个元素，
故且，则，
解得且.
故选：C.
9．C
【分析】先解一元二次不等式求解集合，再根据集合间的关系得出参数范围即可.
【详解】因为，
，所以，所以.
故选：C.
10．B
【分析】由集合的真子集个数,判断出集合中有且只有一个元素，从而转化为方程有两个相等根问题求解即可.
【详解】由集合有且仅有1个真子集，可得集合中有且只有一个元素，
所以方程有2个相等的实数解，
即，解得，
所以实数的取值集合为，
故选：B.
11．A
【分析】解不等式求得，由已知可得，进而可求实数 的取值范围.
【详解】由，可得，解得，
所以，由，可得，
又，所以，
所以实数 的取值范围是.
故选：A.
12．ABD
【分析】根据交集运算和空集的概念可得，或，再由集合中元素的互异性可求解.
【详解】因为，则或或，
由元素的互异性，可得，
所以的值可以是，0，2.
故选：ABD.
13．BCD
【分析】分情况讨论当和时，列方程解方程即可.
【详解】当时，满足，此时；
当时，，此时，
因为，所以或，
即；或
综上所述，或或，
故选：BCD.
14．ACD
【分析】先根据交集得出一元二次不等式的解集，进而结合韦达定理计算判断各个选项.
【详解】由题可得集合，且，
所以方程的两根，满足，.
由韦达定理可知，，即，选项A正确，选项B错误.
.选项C正确.
从而，即.选项D正确.
故选：ACD.
15．
【分析】由可得到，运用集合间的关系可得到关于的不等式，解不等式即可得到答案.
【详解】因为A为非空集合，则，
解得；，
若，则，
则或，
解得或，又，
综上所述，实数a的取值范围为.
故答案为：.
16．
【分析】先分析出曲线表示的是双曲线在轴上及上方的所有点，再分情况讨论当取不同值时，表示的不同曲线，及与曲线的交点个数情况即可得到结果.
【详解】因为有且只有两个元素，
所以曲线与有且只有两个交点.
对于曲线变形可得，
表示的是双曲线在轴上及上方的所有点，
对于曲线，
（1）当时，如图所示，表示的是一条直线，
与交于，两点，符合题意；
（2）当时，，与至多有一个交点，不符合题意；
（3）当时，表示的是两条射线，
，
当时，表示的是
和两条射线，与仅有一个交点，
如下图所示，所以不符合题意；
当时，与轴的交点为，，
且的斜率，的斜率，
而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和，
所以与的左右两支各有一个交点，
如下图所示，所以符合题意；
当时，，当时，的斜率，
当时，的斜率，联立，
解得，
此时与左支仅有一个交点，如下图所示：
当时，与轴的交点为，，
且的斜率，的斜率，
而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和，
所以与的右支没有交点，与左支有两个交点，
如下图所示，所以符合题意；
当时，与轴的交点为，，
且的斜率，的斜率，
而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和，
所以与的右支没有交点，与左支有两个交点，
如下图所示：符合题意；
当时，与轴的交点为，且的斜率，的斜率，
而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和，
所以与的右支没有交点，与左支有两个交点，
如下图所示：符合题意；
当时，与轴的交点为，，
且的斜率，的斜率，
而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和，
所以与的右支没有交点，与左支有两个交点，
如下图所示：符合题意；
综上，实数的取值范围为.
故答案为：
17．
【分析】利用一次函数的单调性求解值域即集合B，按照、、和四种情况分类讨论，根据列不等式求解实数的取值范围即可.
【详解】由在上是增函数，得，
即．
作出的图像，该函数定义域右端点有三种不同情况，如图所示：
①当时，，即，
要使，必须且只需，得，与矛盾．
②当时，，即，
要使，由图可知：必须且只需解得．
③当时，，即，
要使，必须且只需解得．
④当时，，此时，则成立．
综上所述，的取值范围是．
故答案为：
18．(1)
(2)
【分析】（1）转化成求与的交点问题，联立求解.
（2）转化为与没有交点，联立，判别式，即可得到答案.
【详解】（1）由，得，解得，
所以.
（2）由,得，
由已知方程的判别式，
从所以．
故实数的取值范围为．
19．(1) 详见解析 (2)
【分析】(1)本题可根据得出集合是集合的子集，然后根据集合是集合的子集即可列出算式并通过计算得出结果；
(2)本题根据可分为以及两种情况，时有，时有，然后通过计算即可得出结果．
【详解】(1)因为，所以，
所以，解得，故不存在实数使得．
(2)①当时，，解得，此时；
②当时，因为，所以，
所以，解得，
综上所述，的取值范围为．
【点睛】本题考查根据集合之间的关系求参数范围，若两集合满足，则有；若两集合满足，则有，考查计算能力，是简单题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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