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专题--集合中的新定义 重点练
2026年高考数学复习备考
一、单选题
1．若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A． B．
C． D．
2．对于数集，，定义，
，若集合，则集合中所有元素之和为（ ）
A．5 B． C． D．
3．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下：
那么d
A．a B．b C．c D．d
4．设集合，若非空集合同时满足：①；② (其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素)，称集合为的一个“好子集”，则的所有“好子集”的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．已知是平面直角坐标系中的点集．设是中两点间距离的最大值，是中的点与原点连线的斜率，是表示的图形的面积，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的成就之一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的形式表示和除以的余数相同．已知集合满足，，．对于集合中的任意一个元素，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．我们把一些向量构成的集合称为线性空间，设是线性空间到自身的一个变换，将中所有能被变换为零向量的向量组成的集合称为变换在上的核，记作．已知线性空间，对任意，变换满足，则中的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT
②对于任意x，yT，若x下列命题正确的是（ ）
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
二、多选题
9．设是一个非空集合，是的子集构成的集合，如果同时满足：①，②若，则且，那么称是的一个环.则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 是的环
B．若，则存在的一个环，含有8个元素
C．若，则存在的一个环，含有4个元素且
D．若，则存在的一个环，含有7个元素且
10．已知集合，若对于任意，以及任意，满足，则称集合为“一字集”，记为“一字集”，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，且，则
D．若，则
11．群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G是一个非空集合，“ ”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得对任意的，有，称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元．则称G关于“ ”新构成一个群．则下列说法正确的有（ ）
A．（为虚数单位）关于数的乘法构成群
B．有理数集关于数的加法构成群
C．关于数的除法构成群
D．正实数集关于数的乘法构成群
三、填空题
12．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：
①数域必含有0，1两个数；
②整数集是数域；
③若有理数集QM，则数集M必为数域；
④数域必为无限集．
其中正确的命题的序号是 ．（填上你认为正确的命题的序号）
13．已知集合，其中，，．表示中所有不同值的个数．若集合，则 ；若集合，则 ．
四、解答题
14．已知数列，记集合．对于有限数列3，7，2，9，写出集合T；
15．已知集合，1，2，，，集合，记的元素个数为．若集合中存在三个元素，，，使得，则称为“理想集”．
(1)若，分别判断集合，2，3，，，1，2，是否为“理想集”，并说明理由；
(2)若，写出所有的“理想集”的个数并列举；
(3)若，证明：集合T必为“理想集”．
16．对于非空数集，，若，则称数集具有性质.
(1)若数集具有性质，证明：；判断，是否具有性质，并说明理由.
(2)若满足①；②，当时，都有.
（i）判断“数集具有性质”是否是“数列为等差数列”的充要条件，并说明理由；
（ii）已知数集具有性质且，，求数集具有性质的概率.
17．已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
(1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
(2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质.
18．已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”.
(1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”；
(2)证明：是“好的”，是“好的”；
(3)求所有“好的”正整数.
19．设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记
M（）=．
（Ⅰ）当n=3时，若，，求M（）和M（）的值；
（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A B C C C A ABC ACD
题号 11
答案 ABD
1．D
【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：分局题意分析即可.
【详解】对于选项A：因为，但，不符合题意，故A错误；
对于选项B：因为，但无意义，不符合题意，故B错误；
对于选项C：例如，但，不符合题意，故C错误，
对于选项D：对任意，均有，符合题意，故D正确；
故选：D.
2．D
【分析】根据集合的新定义求出和，即可求出元素之和.
【详解】根据新定义，集合，则，
则 ，则可知所有元素之和为．
故选：D
3．A
【详解】
4．B
【分析】结合“好子集”的定义，分三种情况即可.
【详解】当，即集合中元素的个数为1时，的可能情况为,,,；
当，即集合中元素的个数为2时，的可能情况为,,；
当，即集合中元素的个数为3时，的可能情况为，
综上所述，的所有“好子集”的个数为8.
故选：B
5．C
【分析】由，可作出符合题意点集的区域，根据区域即可得出结论.
【详解】对于①代入可得符合题意，故①正确；
∵对恒过点，
当时，，当时，，当时，，
由此我们可知的点集是由曲线绕A点往上直到点扫过的区域，如图：
∴，故②正确；
，，，故③错误；
有图易得，故④正确.
故选：C.
6．C
【分析】根据同余的定义式，分别求出集合中元素满足的式子，进而得到集合，再利用同余的定义式检验ABD选项，最后取特殊值，检验C选项.
【详解】因，则，
因，则，
又，，
则
又，则，故A正确；
，则，故B正确；
，则，故D正确；
不妨取，不满足，故C错误.
故选：C.
7．C
【分析】根据给定条件，求出，再求出中零向量个数即可得解.
【详解】对任意，且，
则，令，得，
则，得，又，则，
令，得，解得，且，即且，
又，因此，
于是变换将中的元素变换为零向量的，
所以中的元素个数为4.
故选：C
8．A
【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.
【详解】首先利用排除法：
若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C；
若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D；
若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；
下面来说明选项A的正确性：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，，，，，
若，则，则，故即，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍.
若，则，故即，
又，故，所以，
故，此时.
若， 则，故，故，
即，故，
此时即中有7个元素.
故A正确.
故选：A.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
9．ABC
【分析】利用题设中的信息，集合的交集、并集的运算，以及集合间的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意知：①，②若，则且，
对于A，全集且，
满足且当时，可得且，所以A正确；
对于B，由的子集，共8个元素，
若是的子集构成的集合，所以集合有8个元素，所以B正确；
对于C，若，可得，
所以是个环，其中中含有4个元素，所以C正确；
对于D，若，
可得，， ，
，，且，
所以集合中至少有8个元素，所以D错误.
故选：ABC.
10．ACD
【分析】理解“一字集”的定义，根据该内涵对每个选项进行分析判断.
【详解】对于选项A：
任取两点在该单位圆内，
则线段的所有点均满足，
因此属于该集合，A正确.
对于选项B：
取特殊值进行排除，假设两点，令，
则它们的中点不满足，所以B错误.
对于选项C:
设，因为,
所以对于任意，满足.
又因为,所以对于任意，满足.
所以，所以.所以C正确.
对于选项D：
若,设，.
那么.
因为,所以.
则.
所以选项D正确.
故选：ACD.
11．ABD
【分析】依据群的定义，对每个选项中的集合和相应运算进行逐一分析，判断是否满足群的四个条件，进而确定该集合关于给定运算是否构成群.
【详解】对于A选项：
因为，可以计算里面任意两个元素的乘积结果都属于集合.
因为数的乘法满足结合律，对于复数也不例外.
存在，对于，当时，.
当时，;当时，.
集合也满足逆元，关于数的乘法能够构成群，所以A选项正确.
对于B选项：
对于任意两个有理数，它们的和仍为有理数；有理数的加法也满足结合律.
存在，对于，有.
对于任意的，存在，使得.
所以有理数集关于数的加法构成群，B选项正确.
对于C选项：
取，无意义，不满足对任意的，
有，所以不满足封闭性，C选项错误.
对于D选项：
任意两个正实数的乘积仍然是正实数；实数的乘法满足结合律.
对于任意的，存在使得.
满足.所以D选项正确.
故选：ABD.
12．①④
【详解】解：当a=b时，a-b=0、a b =1∈P，故可知①正确．
当a=1，b=2， Z不满足条件，故可知②不正确．
对③当M中多一个元素i则会出现1+i M所以它也不是一个数域；故可知③不正确．
根据数据的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知④正确．
故答案为①④．
13． 5
【分析】（1）直接利用定义把集合中的元素代入即可求出；
（2）先由最多有个值，可得；再利用定义推得所有的值两两不同，即可证明结论．
【详解】由，得；
∵最多有个值，
∴，
又集合，任取，，
当时，不妨设，则，
即，
当时，，
∴当且仅当时，，
即所有的值两两不同，
∴．
故答案为：5；
14．
【分析】根据题意给出的集合T新定义，即可得出答案.
【详解】由题，设，按照相邻两项，三项，四项分类列举如下：
，，，
，，，
所以；
15．(1)T1不是“理想集”， T2是“理想集”，理由见解析
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，分别取集合中的三个数，利用列举法，可得答案；
（2）利用分类讨论的思想，根据集合的元素个数，结合元素的大小关系，可得答案；
（3）利用反证法，任意取三个元素，假设不等式成立，结合元素之间的大小关系，可得答案．
【详解】（1）不是“理想集”， 是“理想集”．
由题意，令，，，则；
令，，，则；
令，，，则；
令，，，则；所以不是“理想集”．
令，，，则，所以是“理想集”．
（2）共16个“理想集”．
若，有，1，2，3，4，．
当时，若，则，由可知，
故，，或；
若，则，由可知，则，故，，．
故含有三个元素的“理想集” ，1，，，1，或，2，，共3个．
当时，，1，2，，，1，3，，，1，2，，，1，3，，，1，4，，，2，3，或，2，4，，共7个．
当时，，1，2，3，，，1，2，3，，，1，2，4，，，1，3，4，，，2，3，4，，共5个．
当时，，1，2，3，4，，共1个．
综上所述，所有“理想集” 的个数为16个分别为：，1，，，1，，，2，，，1，2，，，1，3，，，1，2，，，1，3，，，1，4，，，2，3，，，2，4，，，1，2，3，，，1，2，3，，，1，2，4，，，1，3，4，，，2，3，4，，，1，2，3，4，．
（3）证明：若，记，，，且．
利用反证法，假设对于中任意三个元素，，，均有，
则，，2，，．
记，于是，则，
因此，矛盾．
故集合必为“理想集”．
16．(1)证明见解析；具有性质；不具有性质.
(2)（i）是，理由见解析；（ii）.
【分析】（1）令，由集合新定义可证明；由集合新定义判断可得；
（2）（i）由等差数列的性质结合集合新定义证明可得；
（ii）由等差数列的性质得到数列的通项，再结合集合新定义分集合中元素的个数讨论，最后由古典概率计算可得.
【详解】（1）令，则，又数集具有性质，即，所以.
，所以具有性质；
，所以，所以不具有性质.
（2）（i）“数集具有性质”是否是“数列为等差数列”的充要条件.
先证明必要性：由题知，数列单调递增，当其为等差数列时，设公差为，则，
则，显然，所以数集具有性质.
再证明充分性：显然，其中，有个元素，，，
又，数集具有性质，即，
则，所以，
所以，又，
所以数列是以0为首项，为公差的等差数列.
综上，“数集具有性质”是否是“数列为等差数列”的充要条件.
（ii）由（i）知数列是以0为首项，为公差的等差数列，即，
由知，共有11个元素，子集数为个，
，当中只有一个元素，且具有性质时，，共1个；
当中元素个数大于等于2，且具有性质时，记，
结合（i），
当时，则，，共10个；
当时，则，，共5个；
当时，则，，共3个；
当时，则，，共2个；
当时，则，，共2个；
当时，则，共1个；
当时，则，共1个；
当时，则，共1个；
当时，则，共1个；
当时，则，共1个；
综上，具有性质的集合共有28个，所以数集具有性质的概率为.
17．(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集”
(2)证明见解析
【分析】（1）根据所给定义判断即可.
（2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可；
【详解】（1）因为，
对于集合，令，解得，显然，，
所以是集合的“期待子集”；
对于集合，令，则，
因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集”
（2）先证明必要性：
当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得，
不妨设，令，，，则，即条件中的①成立；
又，所以，即条件中的②成立；
因为，
所以为偶数，即条件中的③成立；
所以集合满足条件.
再证明充分性：
当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数，
记，，，
由③得，由①得，由②得，
所以，
因为，，，所以，，均属于，
即集合是集合的“期待子集”
【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.
18．(1)，是“好的”
(2)证明见解析
(3)除、、外的正整数
【分析】（1）根据题中定义可求出集合，并由此作出判断；
（2）当时，取集合，；当时，取集合，，结合题中定义验证可得出结论；
（3）先证明出：若正整数是“好的”，则也是“好的”，再证：为奇数是“好的”，不是“好的”，同理易知，不是“好的”，由此可得出结论.
【详解】（1）当时，由题中定义可得，且，故是“好的”.
（2）时，取，，则的值为、、、，除以8的余数为4，7，5，0.
所以，此时，合乎题意；
时，取，，
的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16的余数为4，7，12，15，5，8，13，0.
所以，则，满足条件.
故是“好的”，是“好的”.
（3）①首先证明：若正整数是“好的”，则也是“好的”.（*）
事实上，若正整数是“好的”，
设，，，此时集合、满足时条件.
时，考虑，，
则也满足条件，（*）得证.
②再证：为奇数是“好的”.（**）
事实上，取，，则满足条件，（**）得证.
由（*）（**）及（2）知除1，2，4外的正整数均为“好的”.
③再证：不是“好的”.
对集合，记为中元素个数，由条件，.
若，则，矛盾.
若或，则，则，矛盾.
于是不是“好的”.
同理易知，2不是“好的”.
所以，所求为除1，2，4外的正整数.
19．(1)2,1;(2) 最大值为4;(3)
【详解】（Ⅰ），．
（Ⅱ）考虑数对只有四种情况：、、、，
相应的分别为、、、，
所以中的每个元素应有奇数个，
所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：
、、、，
、、、，
对于任意两个只有个的元素，都满足是偶数，
所以集合、、、满足题意，
假设中元素个数大于等于，就至少有一对互补元素，
除了这对互补元素之外还有至少个含有个的元素，
则互补元素中含有个的元素与之满足不合题意，
故中元素个数的最大值为．
（Ⅲ），
此时中有个元素，下证其为最大．
对于任意两个不同的元素，满足，
则，中相同位置上的数字不能同时为，
假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有，
所以除外至少有个元素含有，
根据元素的互异性，至少存在一对，满足，
此时不满足题意，
故中最多有个元素.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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