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集合易错题 突破练
2026年高考数学复习备考
一、单选题
1．，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知全集，集合，，则=（ ）．
A． B． C． D．
4．已知集合，，那么集合（ ）
A． B．
C． D．
5．已知集合，是实数集，表示空集，则（ ）·
A． B．
C． D．
6．已知，，则的元素个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知集合，，则集合可以是（ ）
A． B． C． D．
8．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．已知全集为，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
10． ，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知集合．若，则a的最大值为 ．
12．已知A，B是非空集合，若，且满足，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．若集合，则A，B的“基因元”的对数是 ．
13．已知集合，若，则实数的取值范围是 .
14．已知集合，，则集合的子集个数为 ．
15．已知非空数集满足：
（i），有；
（ii），有；
（iii）且，有，
则称是的“理想子集”．给出下列四个结论：
①若，则是的“理想子集”；
②若是的“理想子集”，且存在非零实数，则；
③若是的“理想子集”，则也是的“理想子集”；
④若是的“理想子集”，则也是的“理想子集”．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
16．已知全集，集合，集合，求：
(1)；
(2)；
(3)
17．已知全集，集合，.
(1)当时，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
18．已知集合，其中且，，非空集合，记为集合中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，．
(1)若，，写出所有可能的集合；
(2)若，，且是12的倍数，求集合的个数；
(3)若；证明：存在非空集合，使得是的倍数．
19．设集合.如果对于的每一个含有个元素的子集，中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”.
(1)当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由；
(2)若为集合的“相关数”，证明：；
(3)给定正整数.求集合的“相关数”的最小值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B A C D B D C A
1．C
【分析】应用集合的交运算求集合.
【详解】由．
故选：C
2．D
【分析】解不等式，根据集合的运算即可得解.
【详解】由可得，又，
所以，即为.
故选：D.
3．B
【分析】根据补集和交集的定义求解即可.
【详解】由，，则，
又，所以.
故选：B.
4．A
【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合.
【详解】因为，，所以，.
故选：A.
5．C
【分析】求出集合和，利用交集和补集定义求解.
【详解】集合，，
所以，故A错误；
，故B错误；
，所以，故C正确；
，所以，故D错误.
故选：C.
6．D
【分析】先利用对数函数的性质确定集合，再根据集合的运算确定即可.
【详解】因为，即，解得，
所以，又因为，
所以，所以的元素个数为.
故选：D
7．B
【分析】逐一验证选项即可得出结果.
【详解】已知集合，.
对于A选项，，则，不合题意；
对于B选项，，则，合题意；
对于C选项，，则，不合题意；
对于D选项，，则，不合题意.
故选：B
8．D
【分析】先解带绝对值的不等式化简集合再求即可.
【详解】或，，
所以或.
故选：D
9．C
【分析】根据交集的运算判断A，根据并集的运算举反例判断B，根据补集和交集的运算判断C，根据补集和并集的运算判断D.
【详解】对于A选项，因为，，所以，故A不正确；
对于B选项，因为，但，得，故B不正确；
对于C选项，由，，则或，
所以，故C正确；
对于D选项，由，得，
又，所以，故D不正确.
故选：C.
10．A
【分析】根据可得，从而可讨论B是否为空集建立不等关系解出的范围即可．
【详解】已知集合，，
，，
①当时，满足，此时，故；
②当时，因，则，解得．
综上，．
故选：A.
11．
【分析】利用集合的包含关系求出的取值范围即可.
【详解】集合，又，
则，所以a的最大值为.
故答案为：
12．13
【详解】，当a取2时，分别为1，1，4，6，共3对；当a取3时，分别为2，0，3，5，共3对；当a取5时，分别为4，2，1，3，共3对；当a取9时，分别为8，6，3，1，共4对．．
13．
【分析】把转化为，借助数轴即可求出实数的取值范围.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
14．8
【分析】先求出集合，再结合子集的定义求解即可.
【详解】由，
则，
所以集合的子集个数为.
故答案为：8.
15．①②④
【分析】根据“理想子集”的定义，结合元素与集合的包含关系逐一判断即可.
【详解】①集合表示所有偶数构成的集合，
所有的偶数都是整数，任意两个偶数的和仍是偶数，任意偶数和整数的积仍是偶数，
满足（i）（ii）（iii），故是的“理想子集”，①说法正确；
②若是的“理想子集”，且存在非零实数，
则由“理想子集”的概念可知对任意的有，所以，②说法正确；
③若是的“理想子集”，则，有，，有，
但对于，，不一定有，
例如，，，此时，，，③说法错误；
④若是的“理想子集”，对于显然，有，满足（i），
令，，则，又是的“理想子集”，所以，，
同理由是的“理想子集”可得，
所以，满足（ii）（iii），
所以若是的“理想子集”，则也是的“理想子集”，④说法正确；
故答案为：①②④
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新概念或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.本题的关键是理解“理想子集”的概念，结合元素与集合的包含关系求解.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分别求出集合，利用交集的意义即可求解；
（2）利用补集的意义与并集的意求解即可；
（3）利用并集和补集的意义求解即可.
【详解】（1）解不等式，得或，
所以；
由，得，解得，；
所以；
（2）因为，所以，
所以；
（3）， ，
，.
17．(1)，或
(2)
【分析】（1）根据交集、补集、并集的定义计算可得；
（2）依题意可得，即可得到，解得即可.
【详解】（1）当时，又，
所以，或，
所以或.
（2）因为，所以，
显然，即，
所以，解得，即实数的取值范围为.
18．(1)，，，；
(2)4；
(3)证明见解析．
【分析】（1）根据定义直接写出集合；
（2）由和只有为12或24，直接写出集合，即可得个数．
（3）进行分类讨论，先根据和分类，在时，则是从这个数所取，对个数按和为分组，再取数即可证，对，设，然后在剩下的个数中找到若干个数的和是的倍数，再按这个倍数的奇偶性分类取得集合证得结论成立．
【详解】（1），集合可能为：，，，；
（2）不妨设，则，，
因此或，
时，，
时，，
因此中只能选项一个，中选两个，为，
综上集合有，共有4个；
（3）（1）若，则是从这个数所取，
把这个数分成组，每组中两个数的和为，
从这组中取个数，必有两个数属于同一组，例如，则取，是的倍数，结论成立；
（2）若，不妨设，
从中任取3个数，，
若与都是的倍数，则，这与矛盾，
所以中任意两个数的差都不是的倍数，不妨设不是倍数，
考虑这个数：，
①若这个数除以的余数各不相同，则必有一个是的倍数，又且均不为，
故存在，使得，
若为偶数，取，则，结论成立；
若为奇数，取，则，结论成立；
②若这个数除以的余数中有两个相同，由它们的差是的倍数，又均不为的倍数，
所以存在，使得，
若是偶数，取，，结论成立，
若是奇数，取，，结论成立，
综上，存在非空集合，使得是的倍数．
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，关键点是如何找到集合，使得是的倍数．
19．(1)5不是集合的“相关数”，6是集合的“相关数”，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）根据相关数的定义判断，即可求解；
（2）根据相关数的定义，得到时，一定不是集合的“相关数”，得到，从而证明结论；
（3）根据，将集合的元素分成组，对的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合，不妨设与无相同元素，此时这4个元素之和为，从而求出的最小值．
【详解】（1）解：当时，，
①对于的含有5个元素的子集，
因为，所以5不是集合的“相关数”；
②的含有6个元素的子集只有，
因为，所以6是集合的“相关数”．
（2）考察集合的含有个元素的子集，
中任意4个元素之和一定不小于，
所以一定不是集合的“相关数”；
所以当时，一定不是集合的“相关数”，
因此若为集合的“相关数”，必有，
即若为集合的“相关数”，必有.
（3）由（2）得，
先将集合的元素分成如下组：，
对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合，
再将集合的元素剔除和后，分成如下组：，
对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合，
这一组与上述三组中至少一组无相同元素，
不妨设与无相同元素，
此时这4个元素之和，
所以集合的“相关数”的最小值为.
【点睛】思路点睛：数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移，对于第二问，利用特例排除的情况即可证明；第三问，将集合的元素两两分组结合第二问的结论分析即可.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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