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2024-2025学年固始县一高二高一模联考
高三数学试题卷
注意事项:
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。考试时间120分钟，满分150分。考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。交卷时只交答题卡。
第I卷(选择题，共58分)
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。）
1．若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知复数满足：，则（ ）
A． B． C． D．
3．的值为（ ）
A． B． C． D．
4．设为数列的前项和，，则“”是“数列是以为公比的等比数列”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知A、B、C、D、E、F六个人站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的排法共有（ ）种
A．186 B．264 C．284 D．336
6．设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
7．设椭圆的一个焦点，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，，平面平面，且该四棱锥的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知为两个平面，且是两条不重合的直线，则下列结论正确的是（ ）
A．存在，使得
B．存在，使得
C．对任意，存在，使得
D．对任意，存在，使得
10．已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在区间上单调递减
C．过点能作两条不同直线与相切
D．函数有5个零点
11．已知数列满足：，其中，下列说法正确的有（ ）
A．当时，
B．当时，数列是递增数列
C．当时，若数列是递增数列，则
D．当时，
第II卷(非选择题，共92分)
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）
12．已知函数与的图象在区间上的交点个数为m，直线与的图象在区间上的交点的个数为n，则 ．
12．
13．三棱锥中，是边长为的正三角形，， 若三棱锥的体积为，则长度的最小值为
13．
14．平面向量 满足：， ，，且 ，，则 .
14．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．(13分)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角B；
(2)若，，求的取值范围．
16．(15分)如图，在长方体中，点E、F分别在，上，且，．
(1)求证：平面；
(2)当，，时，求平面与平面的夹角的余弦值．
17．(15分)如图，在四棱锥中，平面，，底面为直角梯形，，，，是的中点，点，分别在线段与上，且，.
(1)若平面平面，求、的值；
(2)若平面，求的最小值.
18．(17分)已知是二维离散型随机变量，其中X、Y是两个相互独立的离散型随机变量，的分布列用表格表示如下：
X 0 3 6
0
5
(1)求和；
(2)“”表示在条件下的的取值，求“”的分布列；
(3)为的数学期望，为“”的分布的期望，证明：.
19．(17分)已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆的短轴长为，离心率为. 点为椭圆上的一个动点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，设，.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：为定值；
(3)已知，用表示的面积，并求出的最大值.
2024-2025学年固始县一高二高一模联考
高三数学试题卷答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A B A C D B A C BC AD ACD
15．（1）解：因为，
由正弦定理得，
因为，可得，所以，所以．（3分）
（2）解：因为，，由正弦定理可得，
所以，，（6分）
所以
，（10分）
由且，可得，所以，所以，
所以，即的取值范围为．（13分）
16．（1）因为平面，平面，所以．
又，，所以平面
因为平面，所以（3分）
同理：因为平面，平面，所以．
又，，所以平面（5分）
因为平面，所以
又因为，，所以平面（7分）
（2）以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图．
则，，，，，．
所以，且是平面的一个法向量．（10分）
，
设平面的法向量为
则，即 （12分）
所以，令，得．
则平面的一个法向量为．
所以．
，
所以．
所以平面与平面的夹角的余弦值为．（15分）
17．（1）若平面平面，平面平面，平面平面，所以，
又因为为的中点，所以为的中点，同理为的中点，所以.（4分）
（2）因为，底面，
如图，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴正半轴建立空间直角坐标系，
（6分）
故，则，，
设平面的法向量为，则取，可得.
因为，，所以，，（10分）
则，
因为平面，所以，即，
所以，即，（12分）
所以，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8.（15分）
18．（1）由已知.（3分）
（2）法一：“”可取的值为，
因为
所以，（6分）
，
，（8分）
所以“”分布列为
0 3 6
（10分）
法二：“”可取的值为，由已知，随机变量相互独立，
故，其中，
由已知，，
所以得“”分布列为
0 3 6
（3）法一：因为，所以，
因为，（12分）
所以，
又因为，（14分）
所以，
所以.（17分）
法二：
.
19．（1）由题知，得到，又，解得，
所以椭圆的方程为.（2分）
（2）由（1）知，，设，，
则，，，，
由，得到，所以，（4分）
又在椭圆上，所以，即.
又，故，即.
将其展开，得到，即.
从而，即，（6分）
易知，所以，得到，
同理，由，得到，所以，
又在椭圆上，所以，即.
又，故，即.
将其展开，得到，即.
从而，即，
易知，所以，得到，所以，（9分）
即为定值.
（3）因为，
又因为，，故，.（11分）
所以，，从而
.
又，故.（13分）
然后考虑的最大值.
首先，由于，故.
同时由可知，
故，从而，故.（15分）
这意味着；
另一方面，当的坐标是时，有，，此时.（17分）
所以的最大值是.

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