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2025 年普通高等学校招生全国统一考试
高考模拟调研卷数学(五)
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。
1. 已知复数 满足 ,则
A. B.
C. D.
2. 函数 的值域为
A. B. C. D.
3. 设 为均不为零的实数,且 ,则
A. B.
C. D.
4. 在平面直角坐标系中,圆 与圆 相交于 两点,则四边形 的周长为
A. 4 B. 7 C. 8 D. 10
5. 下列四个函数中,以 为最小正周期,且在 上是减函数的是
A. B.
C. D.
6. 将一个半径为 的金属球熔化后,先浇铸成6个半径为 的小球,再把剩余材料铸成1个正方体, 则该正方体的棱长大约为
A. B. C. D.
7. 用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的三位数组成集合 ,现从集合 中任取一个数,它能被 3 整除的条件下, 这个数能被 5 整除的概率为
A. B. C. D.
8. 已知等差数列 的前 项和分别为 ,若 ,对 , 则 的最小值为
A. B. C. D. 1
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 关于双曲线 ,下列说法正确的是
A. 离心率 B. 两条渐近线互相垂直
C. 焦距为 2 D. 实轴长与虚轴长相等
10. 已知数列 的通项公式为 ,则
A. B.
C. D.
11. 已知函数 定义域为 ,其中 为偶函数, ,且 , ,则
A. B. 为奇函数
C. D.
三、填空题: 本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 若 ,则 满足的条件可以为_____.(写出一个符合条件即可)
13. _____.
14. 在 的二面角 中, 到棱 的距离为 到棱 的距离为 4 , 则直线 与棱 夹角的正弦值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13 分)
已知 的内角 的对边分别为 , .
(1) 求 ；
(2)若 , ,求 .
16.(15 分)
在独立重复试验中,记每次试验中事件 发生的概率为 ,如果随机变量 为事件 首次出现时试验次数,则 的可能取值为 ,称 服从几何分布,其分布列为
且
(1)有三个朋友去喝茶,他们决定用抛硬币的方式决定谁付账:每人抛一枚硬币,如果有人抛出的结果与其他两人不一样, 那么就由他来付账; 如果三个人抛出的结果是一样的, 那么就重新抛, 一直进行下去, 直到确定由谁付账. 求以下事件的概率:
①进行到了第 2 轮确定由谁来付账；
②进行了 3 轮还没有确定付账人；
(2)若随机变量 服从分布列 ,求 的期望.
17.(15 分)
如图, 是平行六面体,底面 是边长为 1 的正方形, , ,点 , 满足 .
(1)求证: 四点共面；
( 2 )求平面 与平面 夹角的余弦值.
18.(17 分)
已知函数 .
(1)若 ,求不等式 的解集；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若不等式 在区间 上有解,求 的取值范围.
19.(17 分)
已知点 在抛物线 上,直线 过点 与 的焦点 ,交 于点 .
(1)求抛物线 的方程与点 的坐标；
(2)若动点 在 上,且 .
① 求 面积的最大值；
②若 ,直线 交直线 于点 ,直线 交直线 于点 ,求使得
与 面积相等的点 的坐标.数学（五）参考答案
一、选择题：
1～4 ADCC 5～8 DBBC
二、选择题：
9．ABD 10．BD 11．AC
三、填空题：
12．（，答案合理即可） 13． 14．
12题解析：由题意则有，集合与有交集，且有，，，所以可以是或，合理即可．
(
A
B
C
D
E
)13题解析：．
14题解析：如图，过做，过做，过做，
过做，交于点，所以，，
，，在中，
，，
面，则，所以与棱的夹角即为
与的夹角，即，所以．
四、解答题：
15．（ 13分）
解：（1）由，
由余弦定理，所以． ……………6分
（2），
由正弦定理． ……………13分
16．（ 15分）
解：（1）设为所抛轮数，则服从几何分布，且每一轮能决定付账的概率，
①进行到了第2轮确定由谁来付账的概率为：， …………3分
②进行了3轮还没有确定付账人的概率为
．……………7分
（2）设，则，
所以服从几何分布，且事件发生的概率为，且，
则，所以． ……………15分
17．（ 15分）
解：（1），
所以，所以四点共面． ……………5分
（2）设，，
设为平面的法向量，
，有，令，有
所以， ……………9分
设为平面的法向量，
，有，令，有
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．……………15分
18．（ 17分）
解：（1）的定义域为；若，则；
故解不等式得，即不等式的解集为．……………4分
（2）的定义域为；；
①时：在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增；
②当：在上，所以函数在上单调递增．
综上所述：当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增． ……………10分
（3）由题意：函数在上的最小值；
由（2）知：①当时：在上单调递减，
故，解得；
②当时：在上单调递增，故，解得；
③当时：；
而当时是显然的，故此时无解；
综上所述：实数的取值范围是． ……………17分
19．（17分）
解：（1）由题意，，得，所以， ……………2分
，直线，
与抛物线方程联立，解得， ……………4分
（2）由（1）设点，，，
，
点到直线的距离，
从而面积的最大值为， ……………10分
（3）设直线与直线交于点，可得，从而，
因为，，
由与面积相等，从而与的面积相等，有
，有，
由，，
得，，
有，解得，
所以使得与面积相等的点的坐标为． ……………17分

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