资源简介

云南省弥勒市一中2024-2025学年高二上学期期末考试
数学试卷
注意事项:
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线过椭圆＋＝1的左焦点F1，且与椭圆交于P，Q两点，则△PQF2(F2是椭圆的右焦点)的周长为(　　)
A. 24 B. 24 C. 16 D. 16
2.已知数列{xn}满足x1＝a，x2＝b，xn＋1＝xn－xn－1(n≥2)，设Sn＝x1＋x2＋…＋xn，则下列结论正确的是(　　)
A. x100＝－a，S100＝2b－a B. x100＝－b，S100＝2b－a
C. x100＝－b，S100＝b－a 　　 D. x100＝－a，S100＝b－a
3.对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)
A. 过程全部正确 B. n＝1验证不正确
C. 归纳假设不正确 D. 从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
4.设z为任一实数，则点(2,2，z)表示的图形是(　　)
A. z轴 B. 与Oxy平面平行的一条直线
C. 与Oxy平面垂直的一条直线 D. Oxy平面
5.已知数列是等差数列，且，将去掉一项后，剩下三项依次为等比数列的前三项，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知二面角α－l－β为60°，动点P，Q分别在平面α，β内，P到平面β的距离为，Q到平面α的距离为2，则P，Q两点之间距离的最小值为(　　)
A. B. 2 C. 2 D. 4
7.已知直线l：ax＋by＋c＝0与直线l′关于直线x＋y＝0对称，则l′的方程为(　　)
A. bx＋ay－c＝0 B. bx－ay＋c＝0
C. bx＋ay＋c＝0 D. bx－ay－c＝0
8.已知圆关于直线对称，则的最大值为（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是()
A. 函数f(x)存在两个不同的零点
B. 函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C. 当－eD. 若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值为2
10.(2023·福建省泉州科技中学期中)以下四个命题表述正确的是(　　)
A. 直线恒过定点
B. 圆上有4个点到直线的距离都等于1
C. 圆与圆恰有一条公切线，则
D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点
11.已知函数f(x)＝ex－ax有两个零点x1，x2，且x1＜x2，则下列说法正确的是()
A. a＞e B. x1＋x2＞2
C. x1x2＞1 D. f(x)有极小值点x0，且x1＋x2＜2x0
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为______.
13.若 是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为________.
14.若存在正实数，使得不等式成立（是自然对数的底数），则的最大值为_________.
四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分,第18、19题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若的最小值为，求a的值．
16.已知函数与函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线与曲线在公共点处的公切线方程．
17.已知椭圆的两个焦点是、，点在椭圆上，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知为坐标原点，直线与椭圆交于、两点，且，证明：直线与圆相切．
18.已知椭圆常数，点为坐标原点．
（1）求椭圆离心率的取值范围；
（2）若是椭圆上任意一点，，求取值范围；
（3）设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由．
19.已知椭圆的离心率，且上的点到点的距离的最大值为.
（1）求的方程；
（2）过的直线与交于，记关于轴的对称点为.
①试证直线恒过定点；
②若在直线上的投影分别为，记的面积分别为，求的取值范围.
一、单选题
1.【答案】D
【解析】抛物线y2＝2px(>0)的准线方程为x＝－，即椭圆＋＝1的半焦距c＝，再由椭圆中的隐含条件a2＝b2＋c2，得p2＝3p＋，解得p＝4，所以椭圆的长半轴长为p＝4，则△PQF2的周长为4p＝16.故选D.
2.【答案】A
【解析】x1＝a，x2＝b，x3＝x2－x1＝b－a，x4＝x3－x2＝－a，
x5＝x4－x3＝－b，x6＝x5－x4＝a－b，x7＝x6－x5＝a＝x1，x8＝x7－x6＝b＝x2，
所以{xn}是周期数列，周期为6，所以x100＝x4＝－a，
因为x1＋x2＋…＋x6＝0，所以S100＝x1＋x2＋x3＋x4＝2b－a.
3.【答案】D
【解析】在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法．
4.【答案】C
【解析】点(2,2，z)在过点(2,2,0)且垂直于平面Oxy的直线上，故选C.
5.【答案】C
【解析】设等差数列公差为d,由题得,解得
故等差数列的通项，则，显然去掉，
剩下三项成等比数列，则数列首项为，公比，
故.
故选：C.
6.【答案】C
【解析】作PM⊥β，QN⊥α，垂足分别为M，N.
分别在平面α，β内作PE⊥l，QF⊥l，垂足分别为E，F，如图所示，
连接ME，NF，则ME⊥l，
所以∠PEM为二面角α－l－β的平面角．
所以∠PEM＝60°.
在Rt△PME中，||＝＝＝2，
同理在Rt△NFQ中，||＝＝＝4.
又＝＋＋.
所以||2＝4＋||2＋16＋2·＋2·＋2·＝20＋||2＋2×2×4cos 120°＝12＋||2.
所以当||2取最小值0时，||2最小，此时||＝2.
7.【答案】A
【解析】在原方程中以－x代替y，以－y代替x得a(－y)＋b(－x) ＋c＝0，即bx＋ay－c＝0.
8.【答案】D
【解析】由题意
在圆中，
∴圆心为，半径为1
在直线中，
圆关于该直线对称
∴直线过圆心，
∴，即：
∵
解得：
当且仅当时等号成立
∴的最大值为.
故选：D.
二、多选题
9.【答案】ABC
【解析】对于A，f(x)＝0 x2＋x－1＝0，
解得x＝，所以A正确；
对于B，f′(x)＝－＝－，
令f′(x)>0，－1令f′(x)<0，x<－1或x>2，
故(－∞，－1)，(2，＋∞)是函数的单调递减区间，(－1,2)是函数的单调递增区间，所以f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，所以B正确．
对于C，当x→＋∞时，y→0，根据B可知，函数的最小值是f(－1)＝－e，再根据单调性可知，当－e对于D，f(x)max＝＝f(2)，结合图象可知，t的最大值是2，所以不正确．故选ABC.
10.【答案】AD
【解析】由，得，
联立，解得，
直线恒过定点，故A正确；
圆心到直线的距离等于1，
直线与圆相交，而圆的半径为2，
故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，
因此圆上有三个点到直线的距离等于1，故B错误；
两圆恰有一条公切线，则两圆内切，曲线化为标准式，圆心，半径为1，
曲线化为标准式，圆心，半径为，
∴圆心距为，解得，故C错误；
设点的坐标为，则，以为直径的圆的方程为，
两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，，
令，，解得，，故直线经过定点，故D正确．故选：AD.
11.【答案】ABD
【解析】由题意，函数f(x)＝ex－ax，则f′(x)＝ex－a，当a≤0时，f′(x)＝ex－a＞0在R上恒成立，所以函数f(x)单调递增，不符合题意；当a＞0时，令f′(x)＝ex－a＞0，解得x＞lna，令f′(x)＝ex－a＜0，解得x＜lna，所以函数f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，因为函数f(x)＝ex－ax有两个零点x1，x2且x1＜x2，则f(lna)＝eln a－alna＝a－alna＝a(1－lna)＜0，且a＞0，所以1－lna＜0，解得a＞e，所以选项A正确；又由x1＋x2＝ln (a2x1x2)＝2lna＋ln (x1x2)＞2＋ln (x1x2)，取a＝，则f(2)＝e2－2a＝0，x2＝2，f(0)＝1＞0，所以0＜x1＜1，所以x1＋x2＞2，所以选项B正确；由f(0)＝1＞0，则0＜x1＜1，但x1x2＞1不能确定，所以选项C不正确；由函数f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，所以函数的极小值点为x0＝lna，且x1＋x2＜2x0＝2lna，所以选项D正确．故选ABD.
三、填空题
12.【答案】1
【解析】设，矩形OMPN的面积为S，
所以，
所以S最大值为1.
13.【答案】
【解析】因为A为双曲线上一点，，
B为双曲线上一点，则，
所以，且
∴
因为，则，已知，
在△F1AF2中应用余弦定理得：，
得c2=7a2，则e2＝7 e＝.
14.【答案】
【解析】因为存在正实数，使得不等式成立，
成立，
所以存在正实数，使得不等式成立，
令，则，
当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增，
所以存在正实数，使得不等式成立，
因为在单调递增，
所以存在正实数使得成立，
化简得，
化简得，
所以存正实数，使得不等式成立，
令，则，
当时，，所以单调递增，
当时，，所以单调递减，
所以，所以，即，
所以的最大值为.
四、解答题
15.【答案】解：（1）当时，，故，得，
又因为，故所求的切线方程为，化为一般式得．
（2）由题函数定义域为．由题得．
当时，恒成立，故上单调递增，没有最小值．
当时，令，得,令，得，
故的减区间为，区间为，
所以，
得，又因为,故
16.【答案】解：（1），
，在点处切线的斜率.
在点处的切线方程为：；
（2）设曲线与曲线的公共点为，即切点为
，
，
令，；
即，
或（舍），，
∴所求公切线方程：，即.
17.【答案】解: (1)由椭圆的两个焦点是、，可得.
又因为点在椭圆上，且，所以，即.
根据，可得.
所以椭圆的标准方程为.
(2)①当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，.
因为，所以.
又因为点在椭圆上，所以，解得.
此时圆心到直线的距离，直线与圆相切.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，.
联立，消去得.
则，.
.
因为，所以，
即. 圆心到直线的距离，则，
所以，直线与圆相切.
18.【答案】解：（1）由椭圆方程，
则离心率，
又
所以；
（2）由已知得,
又点是椭圆上任意一点，
则，化简可得,
所以.
（3）法一：由已知，即，
①当直线斜率不存在时，，则，
又在椭圆上，
则，所以，
此时；
②当直线斜率存在时，设直线的方程为：，
联立直线与椭圆，
得，
则，
，
则，即，
所以
，
点到直线的距离，
所以，
所以的面积为定值．
法二：由已知可得，即，
平方可得，
又在椭圆上，
所以，
所以，
化简可得
设与的夹角为，
则，则，
所以的面积
，故的面积为定值；
19.【答案】解：（1）由的离心率，则，则
，设上的点，又因为
则，
，
①当，即时，的最大值在对称轴时取得，为，
由，则，
又，所以，所以此时椭圆的方程为
②当，即时，的最大值为，
由，
即，解得，不合题意.
综上可知，的方程为.
（2）①当直线斜率存在时，设直线的方程为，，关于轴的对称点为C,则，由得，
，即
，
直线方程为，
当时，
，故直线恒过定点.
当直线斜率不存在时，直线方程为也过.
故直线恒过定点.
②由题意知，此时的斜率一定存在.
，
由及，
所以
，
因为，令，
所以在上单调递增.
故的取值范围为.

展开更多......

收起↑