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单县一中2024级高一下学期第二次阶段性考试数学参考答案
1--5DBCAB 6--8CAC 9.AB 10.ABD 11.AC
12.【答案】 13.【答案】 14.【答案】（1）（3）（4）
6【详解】因为复数和，满足，
则，所以，所以.
7.【详解】以为原点，为轴，点在第一象限，建立如图所示的平面直角坐标系， 则有，，,为弧上的点且，则，
，
.
8.【详解】因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得:，即:，根据正弦定理得，所以，
因为为三角形内角，则，则.
11.【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，即；，即；又圆台的母线长，所以圆台的高，A正确；圆台的体积，B错误；
圆台的表面积，C正确；因为，即圆台的母线长等于上下底面半径和，所以圆台的高即为内切球的直径，所以内切球的半径为，
所以内切球的表面积为，D错误.故选：AC.
13.【解析】求出、、三点的坐标，由为钝角可得出且与不共线，由此可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.
【详解】由题意，可得，，.
因为是钝角，所以，且与不共线.
由，得.
由与不共线可得，解得.
故实数的取值范围为.故答案为：.
14.【答案】（1）（3）（4）
【详解】解：对于（1），由于固定，所以在倾斜的过程中，始终有，且平面平面，
故没有水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且为棱柱的一条侧棱，故（1）正确；对于（2），因为水面为矩形，所以，其中，随着倾斜角的变化而变化，故水面的面积是变化的，故（2）错误；
对于（3），当容器倾斜如图（2）所示时，四棱柱的体积不变，又，其中，又是定值，是定值，所以为定值，故（3）正确；
对于（4），当容器倾斜如图（3）所示时，三棱柱的体积不变，
其中，因为高是定值，则底面积为定值，
即为定值，则为定值，故（4）正确．
15．解：(1)点M为PD的中点．理由如下：如图，连接BD．设BDAC＝O，则点O为BD的中点，连接OM．∵ PB∥平面ACM，PB平面PBD，平面PBD平面ACM＝OM，∴ PB∥OM．
在△PBD中，∵ O为BD的中点，∴OM为△PBD的中位线，
∴ 点M为PD的中点．
(2)∵ PA⊥底面ABCD，又底面是边长为1的正方形，
∴ S正方形ABCD＝1，S△PAB＝S△PAD＝，S△PBC＝S△PCD＝，
∴ 四棱锥P-ABCD的表面积为S＝2＋．
16.解：(1)∵ P，Q分别为AE，AB的中点，∴ PQ∥EB．又∵ DC∥EB，∴ PQ∥DC．
又PQ平面ACD，∴PQ∥平面ACD．
(2)如图，连接CQ，DP．∵Q为AB的中点，且AC＝BC，∴ CQ⊥AB．∵ DC⊥平面ABC，EB∥DC，∴ EB⊥平面ABC，∴ CQ⊥EB，∴ CQ⊥平面ABE．由(1)有PQ∥DC，又∵ PQ＝EB＝DC，∴ 四边形CQPD为平行四边形，∴ DP∥CQ，∴ DP⊥平面ABE，∴ ∠DAP为AD和平面ABE所成的角．在Rt△DPA中，∵ AD＝，DP＝1，sin∠DAP＝，∴ AD和平面ABE所成角的正弦值为．
17.【答案】(1)或(2)，此时
【详解】（1）因为，且，所以设，所以，
解得，所以或.
（2）由，得，所以，因为，，可得，因为，所以，
当且仅当，时取等号.所以.设与夹角为，则此时.
18.【详解】（1）连接，交于点F，因为底面，底面，所以．因为，所以，
所以，所以，
所以，又平面，，
所以平面，又平面，所以．
（2）设，过E作于G，连接，
由（1）知，又平面，
所以平面，又平面，所以，又，所以，
所以，由，得，
所以，所以，
解得，即.
19.【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．单县一中2024级高一下学期第二次阶段性考试
数学试题
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
3．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )．
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．已知在四边形中，，，，则四边形为（ ）
A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形
5．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m α，n β．有下列命题：
①若α∥β，则m∥n；
②若α∥β，则m∥β；
③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；
④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β．
其中正确命题的个数是( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知复数和，满足，则（ ）
A． B．3 C． D．1
7．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在弧AC上，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．在中,内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为
B．若，则的值为
C．若，则与的夹角为锐角
D．若，则
10．已知中，其内角，，的对边分别为，，，下列命题正确的有（ ）
A．若，则为等腰或直角三角形
B．若，，则外接圆半径为4
C．若，则为直角三角形
D．若，是钝角三角形
11.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是和，且，则该圆台的（ ）
A．高为 B．体积为
C．表面积为 D．内切球的表面积为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为 ．
13．已知复数，，在复平面内对应的点分别为、、，若是钝角，则实数的取值范围为 .
14.如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同,有下面五个命题：
（1）没有水的部分始终呈棱柱形
（2）水面所在四边形的面积为定值
（3）当容器倾斜如图（2）所示时，为定值
（4）当容器倾斜如图（3）所示时，为定值
其中所有正确命题的序号是______________
四 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，
PA＝AB，点M在棱PD上，PB∥平面ACM．
(1)试确定点M的位置，并说明理由；
(2)求四棱锥P-ABCD的表面积．
16．(15分)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
(1)证明：PQ∥平面ACD；
(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．
17．（15分）已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中.
(1)若，且，求；
(2)若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值.
18．（17分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E在棱上，底面，．
(1)若，证明：；
(2)若点D到平面的距离为，求的长．
19．（17分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．

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