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2024－2025 学年高二第二学期六校联合体期末考试
高二数学
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
设集合 M＝{1，0，2a}，N＝{1，a2}，且 N M，则实数 a 的值是 ( )
A． －2 B． 0 C． 1 D． 2
设 x∈R，则“cosx＝1 ”是“sinx＝0”的 ( )
充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
已知 x＞0，y＞0，且 4x＋y－xy＝0，则 x＋y 的最小值为 ( )
A．8 B． 9 C．10 D． 11
函数 f(x)＝x·cosx的图象大致为 ( )
e|x|
B． C． D．
行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下： |a b|＝ad
－bc，已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，若|
2a3 a3－a2
a4 a3－a2 ＝0，a1＝1，q≠1，则 S7＝ ( )
A．31 B．63 C．127 D．255
抛物线 C 的顶点为坐标原点，焦点在 x 轴上，直线 x＝3 交 C 于 M，N 两点，C 的准线交 x 轴于点 P，若 PM⊥PN，则 C 的方程为 ( )
y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝12x
将各位数字之和为 6 的三位数叫“幸运数”，比如 123，402，则所有“幸运数”的个数为 ( )
A．19 B．20 C．21 D．22
已知函数 f(x)及其导函数 f '(x)的定义域均为 R，记 g(x)＝f '(x)，已知 f(2x＋1)和 g(x＋2)都是偶函数，且
2025
g(2)＝1，则 ∑ g(k)的值为 ( )
k＝0
A．1 B．－1 C．2025 D．－2025
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，
不选或有错选的得 0 分．
已知函数 f(x)＝3sin(ωx－π)，其中ω＞0，且函数的两个相邻对称轴之间的距离为π，则下列说法正确的是
6 2
( )
A．ω＝2
B．函数图象关于点( π ，0)对称
24
C．函数在区间[0，π]单调递增
6
D．函数的图象可以由 y＝3sinωx 的图象向右平移π个单位得到
6
下列等式正确的是 ( )
10 10
A．∑Ck ＝210 B．∑C2＝C3
10
k＝1
10
C k k
k 11
k＝2
10 k 1
．∑(－1) C10＝0 D．∑ ＝1－
k＝1
k＝1(k＋1)!
11!
已知双曲线 C x2 y2 1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F 、F ，过 F 作斜率为
： － ＝
a2 b2
1 2 2
— 15的直线与双曲线的右支交于 A、B 两点(A 在第一象限)，|AB|＝|BF1|，P 为线段 AB 的中点，O为坐标原点，则下列说法正确的是 ( )
|AF1|＝2|AF2| B．双曲线 C 的离心率为 2
C．直线 OP 的斜率为－ 15
5
D．△AF1F2 的面积为 2 15a2
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
圆 x2＋y2＝1 与圆 x2＋y2－6x－8y＋9＝0 的公切线的条数是 ▲ 条．
设 A，B 是一个随机试验中的两个随机事件，且 P(A)＝1，P(B)＝1，P(A＋— ＝3，则 P(—B |A)＝ ▲ ．
3 2 4
已知实数 x，y，z 均小于 1，且满足 ex－elog23＝e·(x－log23)，ey－elog35＝e·(y－log35)， ez－elog58＝e·(z－log58)，其中 e 为自然对数的底数．则 x，y，z 的大小关系是 ▲ ． (用“＜”连接)
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本题满分 13 分)
如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F 分别为 C1C，BC 的中点．
求证：A1B⊥B1C；
求直线 A1B 与平面 AEF 所成角的余弦值．
16．(本题满分 15 分)
某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取 10
箱进行检测，其中有 6 箱为一等品．
现从这 10 箱产品中随机抽取 3 箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率；
用频率估计概率，在这批产品中随机抽取 3 箱，用 X 表示抽到一等品的箱数，求 X 的分布列和数学期望．
17．(本题满分 15 分)
已知椭圆 C：x2＋y2＝1(a＞b＞0)的离心率为 3，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为 4．
a2 b2 2
求椭圆 C 的标准方程；
记椭圆 C 的左顶点为 A，右顶点为 B，过点 B 作不垂直于坐标轴的直线 l 交椭圆于另一点 G，过点 A
→ 2→
作 l 的垂线，垂足为 H，且BG ＝
5
BH ，求直线 l 的方程．
18．(本题满分 17 分)
已知 f(x)＝a·ex－x．
求 f(x)在 x＝0 处的切线方程；
求 f(x)的单调区间；
若方程 a·ex－x＝0 有两个不相等的实数根 x1，x2，且 x1＜x2，求证：(1－a)·x1＞a．
19．(本题满分 17 分)
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，若存在常数λ(λ＞0)，使得λan≥Sn＋1 对任意 n∈N*都成立，则称数列{an}
具有性质 M(λ)．
若数列{an}的通项公式 an＝－2n＋1，求证：数列{an}具有性质 M(3)；
设数列{an}的各项均为正数，且{an}具有性质 M(λ)．
①若数列{an}是公比为 q 的等比数列，且λ＝4，求 q 的值；
②求λ的最小值．
2024－2025 学年高二第二学期六校联合体期末考试
高二数学参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
D A B C C D C B
二、多选题
9 10 11
AC BD ABC
三、填空题
12 13 14
3 1 4 x＜y＜z
四、解答题
15.(1)证明：连接 AB1，
因为三棱柱 ABC－A1B1C1 为直三棱柱，所以 AA1⊥平面 ABC，又 AC 平面 ABC，所以 AC⊥AA1，
又 AC⊥AB，AB∩AA1＝A，AB，AA1 平面 ABA1，所以 AC⊥平面 ABA1，
又 A1B 平面 ABA1，则 A1B⊥AC， 2 分
因为在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝AA1，所以四边形 ABB1A1 为正方形，
所以 A1B⊥AB1， 4 分
因为 AC∩AB1＝A，AC、AB1 平面 ACB1，所以 A1B⊥平面 ACB1， 5 分
又 B1C 平面 ACB1，则 A1B⊥B1C． 6 分
(2)因为直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BAC＝90°，所以 AB，AC，AA1 两两垂直，
所以以 A 为原点，分别以 AB，AC，AA1 所在的直线为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，
所以→＝(2，0，－2)， 8 分
→ →
AE ＝(0，2，1)， AF ＝(1，1，0)．
→
n· AE ＝2b＋c＝0
设平面 AEF 的一个法向量为 n＝(a，b，c)，则
→ ，
n· AF ＝a＋b＝0
令 a＝1 可得 n＝(1，－1，2)． 10 分
设 A1B 与平面 AEF 所成角为θ，
所以 sinθ＝|cos＜n，→＞|＝
→
|n·A1B|
→ ＝
＝ 3， 12 分
6
|n||A1B|
即 A1B 与平面 AEF 成角的正弦值为 3，
6
所以 A1B 与平面 AEF 成角的余弦值为 33． 13 分
6
16．解：(1)记“这三箱中恰有两箱是一等品”为事件 A， 1 分
C2C1 60 1
则 P(A)＝
6 4＝
3 120
＝ ． 4 分
2
(2)由题意，任取一个，取到一等品的概率为 6 ＝3， 5 分
10 5
因为 X 可能的取值为 0，1，2，3，且 X 服从二项分布(3，3
5
所以 P(X＝0)＝ 2 3＝ 8 ， 7 分
( )
5 125
P(X＝1)＝ 13·(2)2＝ 36 ， 9 分
5 5 125
P(X＝2)＝ 2 3 22＝ 54 ， 11 分
C3( )
5 5
125
P(X＝3)＝ 3 3＝ 27 ， 13 分
( )
5 125
数学期望 E(X)＝3×3＝9． 15 分
5 5
17．(1)由题意：S＝1·2a·2b＝4，所以 ab＝2， 1 分
2
又因为c＝ ，
a 2
所以 a＝2，b＝1， 3 分
x2 2
所以椭圆的方程：
＋y ＝1． 4 分
4
(2)由题意，设直线 l 的方程为 y＝k(x－2)，
y＝k(x－2)
由 x2＋4y2＝4 ，可得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0，
因为 2＋x ＝ 16k2 ，所以 x ＝8k2－2，代入直线方程可得 y ＝ －4k 7 分
G
1＋4k2
G
1＋4k2
G
1＋4k2
（注：写出完整坐标或一个坐标分量都得 3 分）
过点 B 与 l 垂直的直线方程为 y＝－1(x＋2)，
k
y＝－1(x＋2)
由 k
可得 xH＝
2k2－2
，yH＝
－4k
， 10 分
y＝k(x－2)
k2＋1
k2＋1
（注：写出完整坐标或一个坐标分量都得 3 分）
→ 因为BG ＝
2→
BH ，所以(xG－2，yG)＝
5
2(xH－2，yH)
5
法一：xG－2＝2(xH－2)， 11 分
5
所以8k2－2－2＝2·(2k2－2－2)，解得 k＝±1， 13 分
1＋4k2 5 k2＋1
所以直线 l 的方程：y＝x－2 或 y＝－x＋2． 15 分
法二：yG＝2yH， 11 分
5
所以 －4k ＝2 － 4k )，解得 k＝±1， 13 分
1＋4k2 5 1＋k2
所以直线 l 的方程：y＝x－2 或 y＝－x＋2． 15 分
(注：如果先证一个结论：k
·k ＝－1，因为 k
＝k，k ＝－ 1 ，由
y＝k(x－2) 1
可得 G(8k2－2， －4k )，
酌情给分)
AG BG
4
BG AG
4k
y＝－ (x＋2)
k
1＋4k2 1＋4k2
18．(1)因为 f '(x)＝a·ex－1，所以 f '(0)＝a－1， 2 分
又因为 f(0)＝a，
所以 f(x)在 x＝0 处的切线方程为 y－a＝(a－1)x，即 y＝(a－1)x＋a． 4 分
(2)因为 f '(x)＝a·ex－1，
①若 a≤0，则 f '(x)＜0 恒成立，所以 f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，无增区间． 7 分
②若 a＞0，令 f '(x)＞0 得 x＞－lna，令 f '(x)＜0 得 x＜－lna，所以 f(x)在(－∞，－lna)单调递减，在(－lna，
＋∞)单调递增． 10 分
(注：没写综上不扣分，a＝0 单独写不扣分，a＝0 漏掉扣 1 分)
(3)若 a≤0，由(2)知 f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，方程至多有一个实根，不符题意，
所以 a＞0． 11 分
法 1．由题意知 a·ex1＝x1，所以 a＝x1 ，且 x1＞0．
ex1
要证(1－a)x1＞a，只要证(1－a)·aex1＞a，只要证(1－a)·ex1＞1，只要证(1－x1)·ex1＞1，只要证 ex1－x1＞1．
ex1
· 14 分
令 g(x)＝ex－x－1，x＞0，g '(x)＝ex－1＞0，所以 g(x)在(0，＋∞)单调增，g(x)＞g(0)＝0，因为 x1＞0，所以 g(x1)＞0，即 ex1－x1＞1，
所以(1－a)x1＞a 得证． 17 分
法 2．由(2)得 f(x)在(－∞，－lna)单调递减，在(－lna，＋∞)单调递增，
所以 f(－lna)＝1＋lna＜0，所以 0＜a＜1．
e
因为 a
1－a
＜1＜－lna，所以 x1， a
1－a
∈(－∞，－lna)，
要证(1－a)x1＞a，只要证 x1＞ a
，只要证 f(x1)＜f( a )，只要证 f( a
)＞0．
1－a
1－a
1－a
而 f(
a a
)＝a·e1－a－
a a
＝a·(e1－a－
1 )， 14 分
1－a
1－a
1－a
令 g(x)＝ex－x－1，x＞0，g '(x)＝ex－1＞0，所以 g(x)在(0，＋∞)单调增，g(x)＞g(0)＝0，
所以 x＞0 时，ex－x－1＞0 恒成立，令 x＝
a a 1
得 e1－a－
＞0，
所以 f( a
1－a
)＞0．
1－a
1－a
所以(1－a)x1＞a 得证． 17 分
19．(1)设由数列{an}的通项公式，an＝－2n＋1，Sn＝(－1－2n＋1)n＝－n2， 2 分
2
于是 3an－Sn＋1＝3(－2n＋1)＋(n＋1)2＝(n－2)2≥0，
即 3an≥Sn＋1，
所以数列{an}具有性质 M(3)． 4 分
(2)①由数列{an}具有性质 M(4)，得 4an≥Sn＋1，又等比数列{an}的公比为 q，
若 q＝1，则 4a1≥(n＋1)a1，解得 n≤3，与 n 为任意正整数相矛盾； 5 分
1－qn＋1 1－qn＋1
当 q≠1 时，4a1qn－1≥a1·
1－q
，而 an＞0，整理得 4qn－1≥
，
1－q
若 0＜q＜1，则 qn－1≥ 1 ，解得 n＜1＋log 1 ，与 n∈N*矛盾； 6 分
(q－2)2
q(q－2)2
若 q＞1，则 qn－1(q－2)2≤1，当 q＝2 时，qn－1(q－2)2≤1 恒成立，满足题意； 7 分
当 q＞1 且 q≠2 时，qn－1≤ 1 ，解得 n＜1＋logq 1 ，与 n∈N*矛盾； 8 分
(q－2)2 (q－2)2
所以 q＝2． 9 分
②由λan≥Sn＋1，得λan＋1≥Sn＋2，即λ(Sn＋1－Sn)≥Sn＋2， 11 分
因此λSn 1≥λSn＋Sn 2≥2 λSnSn 2，即Sn＋2≤λ·Sn＋1， 13 分
＋ ＋ ＋
Sn＋1
4 Sn
则有Sn＋1≤λ· Sn ≤ λ 2 Sn－1≤…≤ λ n－1 S2， 15 分
Sn 4 Sn－1
( ) · 4
Sn－2
( ) ·
4 S1
由数列{a }各项均为正数，得 S ＜S ，从而 1＜ λ n－1S2，即 λ n－1＞S1，
n n n＋1
( ) ( )
4 S1 4 S2
若 0＜λ＜4，则 n＜1＋logλS1，与 n∈N*矛盾， 16 分
4S2
因此当λ≥4 时， λ n－1≥1n－1 S1
4 S2
所以λ的最小值为 4． 17 分

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