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2025年山东梁山一中高考数学二模考试试卷
总分: 150分时间: 120分钟
注意事项：
1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码．
2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页．
3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡．上的非答题区域均无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合.A={x||x-1|≤2},B={x|2x≥1},则A∩B=
A. (-1,0) B. [-1.3] C. [0.3] D.[-1.2]
2. 某同学记录了3月1日到8日每天的最高气温(单位: ℃),分别为13,9,13,10,8, 8,15,14，则该组数据的第80百分位数为
A. 10 B.13 C. 13.5 D. 14
3．已知平面向量满足与的夹角为，则实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．
4．计算 的值是(　　)
A． B．
C． D．
5. 已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上且满足轴，若，则双 曲线的实轴长为
A. B. C. D.
6. 定义：到定点的距离为定值的直线系方程为，此方程也是以为圆心，为半径的圆的切线方程. 则当变动时，动直线围成的封闭图形的面积为
B. C. D.
7．当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　)
A．3 　 B．4
C．6 　 D．8
8．已知函数f (x)的定义域为R，f (x)>f (x－1)＋f (x－2)，且当x<3时，f (x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　)
A．f (10)>100 　 B．f (20)>1 000
C．f (10)<1 000 　 D．f (20)<10 000
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，，令，，则（ ）
A．与的单调区间相同 B．与的单调区间相同
C．与有相同的最小值 D．与有相同的最小值
10．某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼.学生的体能检测结果服从正态分布，其中检测结果在以上为体能达标，以上为体能优秀，则（ ）
附：随机变量服从正态分布，则，，.
A．该校学生的体能检测结果的期望为
B．该校学生的体能检测结果的标准差为
C．该校学生的体能达标率超过
D．该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等
11．在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于1，记点的轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线关于原点对称 B．曲线与轴恰有3个公共点
C．的周长最小值为4 D．的面积最大值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12、已知f(x)为幂函数,且f(2)=4,则
13.已知双曲线 的左、右焦点分别为F ,F 、过点 F 且斜率为 的直线与双曲线交于A、B 两点，其中点A在x轴上方，设△AF F 与 的面积分别为 则
14.已知方程 有且仅有两个不相等的正实数根，则实数a的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 为了解高三，1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛（满分100分），成绩如下：
数据Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92；
数据Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95．
（1）求数据Ⅰ（高三，1班）的第80百分位数；
（2）从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自于高三，2班的学生人数为，求的概率分布列和数学期望．
16. 已知函数.
（1）若，求在上的极大值；
（2）若函数，讨论函数在上零点的个数.
17．如图，在三棱柱中，，，
(1)求证：；
(2)侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
18．已知椭圆：的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，为椭圆上异于点的两点，且，，点为垂
足，求证：直线过定点；并判断是否存在定点，使得为定值．若存
在，求出定值；若不存在，请说明理由．
19. 对于数列，若存在正整数，使得从数列的第项起，恒有成立，则称数列为第项起的周期为的周期数列．
（1）已知数列满足，且，证明：3是的一个周期．
（2）已知数列（其中，不全为0），，证明：存在正整数，使得时，成立，并求出满足条件的一个周期．
（3）已知数列，求证：不是周期数列．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.C
2.D
3.B
4.C
5.B
6.C
7.C
8.B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 AC AD AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.-2 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 为了解高三，1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛（满分100分），成绩如下：
数据Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92；
数据Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95．
（1）求数据Ⅰ（高三，1班）的第80百分位数；
（2）从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自于高三，2班的学生人数为，求的概率分布列和数学期望．
【答案】（1）89 （2）分布列见详解；
【解析】
【分析】（1）将数据从小到大排列，根据百分位数的定义进行求解即可；
（2）的所有可能取值为1，2，3，求出对应的概率，即可得出分布列和数学期望.
小问1详解】
将数据Ⅰ从小到大排列：54，58，65，68，70，75，80，88，90，92，
因为，所以数据Ⅰ的第80百分位数为.
【小问2详解】
数据Ⅰ中60分以下的有54分，58分；
数据Ⅱ中60分以下的有52分，55分，56分，59分；
即符合题意共6人，其中高三，1班有2人，高三，2班有4人.
可知X的所有可能取值为1，2，3，
则，，，
所以X的概率分布列为
X 1 2 3
P
数学期望.
16. 已知函数.
（1）若，求在上的极大值；
（2）若函数，讨论函数在上零点的个数.
【答案】（1）极大值为0， （2）答案见详解
【解析】
【分析】（1）求出导数，列表分析随变化情况，根据单调性和极值定义求解；
（2）化简得，令，得或，分或，，，讨论判断方程解得个数得解.
【小问1详解】
当时，，
则，
令，得或或，
因此，当变化时，，的变化情况如下表所示：
0 + 0 0
单调递减
单调递增
单调递减
单调递增
所以当时，有极大值，极大值为.
【小问2详解】
，
当时，由，得或，
其中，，则，
当或时，方程无解，此时函数只有一个零点，
当时，方程只有一解为，此时函数只有一个零点，
当时，方程有两个不同的解且均不等于，此时函数有三个零点，
当时，方程有一解且不等于，此时函数有两个零点.
综上，当或时，函数只有一个零点，
当时，函数有三个零点，
当时，函数有两个零点.
17．(1)证明见解析
(2)存在，在靠近的三等分点处.
【分析】（1）根据这条件证明平面，即可证得结果；
（2），以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解.
【详解】（1）证明：在三棱柱中，取的中点，连接，，
在与中，
，
由，同理，，
由平面；
（2）在中，，，则，
在中，，，，同理，
在等腰，，，
在中，由余弦定理得：，即，
在平面内过作，则平面，于是直线，，两两垂直，
以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
在平面内过作于，
则平面，
则，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，
取平面的一个法向量，
设，，
则，由与平面所成角的正弦值为，
得，
整理得，解得或（舍），即在靠近的三等分点处.
18.解析
（1）因为，所以
即椭圆C的标准方程为
（2）（法一）由题可知，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=ty+m,设,
19. 对于数列，若存在正整数，使得从数列的第项起，恒有成立，则称数列为第项起的周期为的周期数列．
（1）已知数列满足，且，证明：3是的一个周期．
（2）已知数列（其中，不全为0），，证明：存在正整数，使得时，成立，并求出满足条件的一个周期．
（3）已知数列，求证：不是周期数列．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析，；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）升次作差并因式分解得，则；
（2）分和讨论即可得到对的自然数，恒有；
（3）利用反证法假设是周期数列，递推得，再利用换元法得，则出现矛盾点，从而假设不成立.
【小问1详解】
由于，①
，②
由②①得，，
即，
又，则，故3是的一个周期．
【小问2详解】
由递推和，，
得，，，．
（i）若，则，，，，．
（ii）若，则，，，，．
无论何种情况，都有，．
由递推关系得，会逐渐进入循环，对的自然数，恒有．
故是的一个周期．
【小问3详解】
假设是周期数列，则至少存在，，不妨设，使得．
由递推关系得，
整理得．
再进一步得到，如此进行下去，最后得到．
设，则，得，但这不可能．
接下来证明：，．
设，，
则；
；
以此类推，得到，．
于是有，（）
若存在，不妨设，其中s，t都是非负整数，
则式（）经过s步倒推后，得到，则，得．
由于，得，
但经过递推后得到都是有理数，两者矛盾．
故，，假设不成立，故不是周期数列.

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