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快乐学习把梦圆
数学
假期作业八复数
有问必答周双基
【方法指导】复数分类的关键
(1)利用复数的代数形式，对复数进行分
1.两个虚数不能比较大小吗？
类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满
足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全
面，当条件不满足代数形式z=a+bi(a,b∈
R)时应先转化形式
2.在进行复数的加法时，实部与实部相加得
(2)注意分清复数分类中的条件，设复数
实部，虚部与虚部相加得虚部.对吗？
x=a+bi(a,b∈R),则①x为实数台→b=0,②
之为虚数台b≠0，③z为纯虚数台a=0,b≠0，
④z=0台9a=0,且b=0.
【例2】(1)已知x=2-i,则（之十i)=
3.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等
()
于0，那么这两个复数相等.对吗？
A.6-2i
B.4-2i
C.6+2i
D.4+2i
【解析】z(x+i)=(2-i)(2+i+i)=
4.若两个复数互为共轭复数，则这两个复数
(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-22=6+2i,故答
的模相等.对吗？
案选C
【答案】C
(2)已知(1-i)2x=3十2i,则x=()
要典例精析拓思维
A-1-2
B-1+
【例1】实数x分别取什么值时，复数之
-+i
D-8-i
=-x26+(x2-2x-15)i是(1)实数？
【解析】由(1一i)2x=3+2i,得之=
x+3
(2)虚数？(3)纯虚数？
3十-3计21=-1+故选B.
(1-i)2
-2i
x2-2x-15=0,
【解】(1)当x满足
【答案】B
x+3≠0，
【方法指导】1.两个复数代数形式的除
即x=5时，x是实数.
法运算步骤
x2-2x-15≠0，
(2)当x满足
(1)首先将除式写为分式；
x十3≠0，
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭
即x≠一3且x≠5时，之是虚数.
复数：
x2-x-6
=0
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运
x+3
(3)当x满足
算，并将其化为复数的代数形式
1x2-2x-15≠0，
2.常用公式
x十3≠0，
即x=一2或x=3时，之是纯虚数，
片-i2}i3-i
1
18
很期作迎证
过好假期每一天
厚积薄发
6.设1=1十i,2=-1十i,复数1和2在
》勒演练
复平面内对应点分别为A,B,O为原点，
1.已知复数z=a2一(2一b)i的实部和虚部
则△AOB的面积为
分别是2和3，则实数a、b的值分别是
c2
(
7.下面是关于复数=-1十的四个命题：
A.√2,1
B.2,5
p1:z=2;
C.±√2,5
D.±√2,1
p2:z2=2i;
2.设A,B为锐角三角形的两个内角，则复数
p3:之的共轭复数为1十i;
z=(cosB-tanA)十itan B对应的点位于
p4:之的虚部为一1.
其中的真命题为
复平面的
(
A.第一象限
B.第二象限
8.已知i为虚数单位，x,y∈R,1=(3x十y)
+(y-4x)i,z2=(4y-2.x)-(5.x+3y)i.
C.第三象限
D.第四象限
3.已知a∈R,(1+ai)i=3+i,则a=(
设之=名1一2，且之=13-2i,则名=
)
A.-1
B.1
22
C.-3
D.3
9.设m∈R,复数，=m士m+(m-15)i,
m+2
名1+2
4.定义复数的一种运算名1之=
z2=一2十m(m一3)i,若名1十2是虚数，求
2
m的取值范围.
(等式右边为普通运算)，若复数之=a十bi,
且正实数a,b满足a十b=3,则之乏的最
小值为
(
A
c
D
5.(多选题)已知i是虚数单位，下列说法中
正确的是
(
A.若复数z满足z一i=√5，则复数z对
应的点在以(1,0)为圆心，√5为半径的
圆上
B.若复数之满足之十z=2十8i,则复数之
=15+8i
C.复数的模实质上就是复平面内复数对
应的点到原点的距离，也就是复数对应
的向量的模
D.复数1对应的向量为OZ1,复数2对
应的向量OZ2,若|1十2|=之1一2，
则OZ⊥OZ参答案
过好假期每一天
参芳答案
假期作业一任意角的概念与弧度制
6.【解析】依题意，a=5×360°+224°，又3与a的终边相
同，且0°<3360°，所以B=224°
有问必答
故答案为：224
1,提示：在角的概念推广后，两条射线分别叫做角的始边和
【答案】224
终边
7.【解析】因为两圆半径都是1，正方形边长也是1，所以
2.提示：在表示a士3时，第二次旋转的是角a的终边.
△BCE为正三角形，所以△BCE的周长为3.國心角
3,提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合
的角不一定是零角，如360°，一360°等，角的大小不是根据
∠EBC,∠ECB都是，配=苓×1=子，
始边、终边的位置，而是根据射线的旋转，
4.提示：当角a,3满足S={33=a十k·360°，k∈Z}时，表示
∠EBA=受-音=吾，正=×1=吾，所以由边三角
成角α与B相隔整数个周角，即角α，3终边相同.
5.提示：不相等，这是因为长为1的弧是指孤的长度为1，在
彩ABE的同长是1十晋十吾=1十受
大小不同的圈中，由于半径不同，所以圆心角也不同.
【答案】31+受
6.提示：半径为，国心角为川的扇形孤长公式为1=0扇
8.【解析】如图所示，
形面积公式为S扇=0
切

-2下-4-T
厚积薄发
∴A∩B=[-4,-x]U[0,π].
1.D对①：一60°是第四象限角，故①正确；
对②：180°<235°<270°，故其为第三象限角，故②正确：
【答案】[-4，-π]U[0,x]
9.【解】(1)因为一80°=280°一360°，所以在区间[0°一360°)
对③：475°=360°+115°，又115是第二象限角，故475°是
内，与一80°角终边相同的角是280°，它是第四象限角.
第二象限角，③正确；
(2)因为1600°=160°十4×360°，所以在区间[0°一360°)
对④：一315°=一360°+45°，又45°是第一象限角，给
内，与1600°角终边相同的角是160°，它是第二象限角.
一315°是第一象限角，④正确.
(3)因为一81936=260°24'-3×360°，所以在区间[0°
故正确的有4个.
360)内，与一81936角终边相同的角是260°24'，它是第
故选：D.
三象限角.
2.D-1485°=-5×360°+315°.
10.【解】设扇形的圆心角为a,半径为r,面积为S,弧长为
化为a十2kπ(0≤a<2x,k∈Z)的形式为7-10元
4
2,则有1+2，=301=30-2r,从而5=号1=2(30
3.ACD因为412°=360°+52°，
所以与412°角的终边相同的角为3=k×360°十52°，k∈Z,
2r-f+15r=-（-9）广+要0当k=一1时，8=一308°；当k=0时，3=52°；
,,当半径r=
当飞=2时，3=772；当k=3时，3=1132°；
m时，1-30-2x号-15(am.
15
2
当k=4时，3=1492°.综上，选项A、C、D正确
4.ABDA连项，60=号正确：B逃项，-9
3=一600°，正
痛形面积的最大位是2要5cm,这时。=L=2rd
∴当扇形的國心角为2rad,丰径为5cm时，面积装大，
确：C选项中-150°=-150X180
一Gπ，错误；D选项
为2空5cm.
中经x=4红一晋，为第四象限角，正确.故选ABD
个性飞扬
5.B如图，由题意可得：
【解析】在扇形ABA,中，圆心角恰为交，孤长L=ABX交
∠AOB=3
4
=V3+1×受
=4,
在Rt△AOD中，可得：
在扇形A,CA:中，圆心角也为艺，弧长4=A,CX2=1×
∠AOD=F∠DA0
=
在扇形ADA,中，国心角为x一艺-吾=智，
0D=含A0=合×4=2，
孤长L=ADX5-5×于=，
331
可得：失=4一2=2，
由AD=A0im吾=4X号=25.
所以点A走过的路程为1，十4十4，=9+23)π
2
BA=√1+(W3)2=2.
可得：弦=2AD=4√3，
所以：孤田面积=合（弦×失十失）=2(43×2+2)
∠ABA,=S==·号·2=元
4√3十2≈9平方米.故选：B.
【答案】9+23)x元
6
33

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