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役期作业
过好假期每一天
假期作业四
向量的数量积
望有问必答图双基
【解析】(1)因为b=(一2,4)，c=
(-1,2),
1.在△ABC中，向量AB与向量BC的夹角是
所以b十c=(-2,4)+(-1,2)=(-3,6).
角B吗？为什么？
又因为a=(2,3),
所以a·(b十c)=(2,3)·(-3,6)
=2×(-3)+3×6=-6+18=12.
2.向量的数量积a·b什么时候为正，什么时
【答案】12
候为负，什么时候为零？
(2)【解】a·b=1×2+3×5=17.
因为3a=3(1,3)=(3,9),b=(2,5),
所以3a-b=(1,4),
3.一个向量在一个非零向量上的投影，与这
所以|3a-b|=√/1+4=√/17.
个非零向量共线吗？若共线，它们的方向
因为a十b=(3,8),2a=(2,6),
相同还是相反？
所以2a-b=(2,6)-(2,5)=(0,1),
所以(a+b)·(2a-b)=3×0+8×1=8.
【方法指导】数量积坐标运算的技巧
4.“若a·b=a·c,则b=c”成立吗？请说明
(1)进行数量积运算时，要正确使用公式
原因
a·b=x1x2十y1y2,并能灵活运用以下几个
关系：
1a2=a·a,(a+b)·(a-b)=a2-b12,
5.|AB的计算公式与解析几何中两点间的
(a+b)2=|a2+2a·b+|b|2.
距离公式一样吗？为什么？
(2)求平面向量的坐标，一般来说应当先
设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条
件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量
典例精析拓思维
积的坐标运算列出方程（组）进行求解.
【例】(1)已知向量a=(2,3),b=
厚积薄发勤演练
(-2,4),c=(-1,2),则a·(b十c)
1.已知□ABCD中，∠DAB=60°，则AD与
(2)已知向量a=(1,3),b=(2,5),求
C元的夹角为
()
a·b,3a-b,(a+b)·(2a-b)
A.30°B.60°
C.120°
D.150°
【思路探究】(1)利用平面向量数量积
2.(多选题)已知向量a,b和实数入，下列选
的坐标运算公式进行计算，
项中正确的是
(2)利用平面向量数量积的坐标运算公
A.al2=a2
B.a·b=|aIb
式、模的坐标公式计算.
C.λ(a·b)=a·bD.a·b≤aIb
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3.若a=2,|b=4,向量a与向量b的夹角
10.如图，在同一平面内，∠AOB
为120°，则向量a在向量b方向上的投影
=150°，∠A0C=120°，1OA
数量等于
()
=2,1Oi1=3,1OC1=4.
A.-3B.-2C.2
D.-1
(1)用Oi和OC表示OA;
4.已知a=3,|b|=4,且a与b的夹角0=
(2)若AD=λAC,AC⊥BD,求λ的值.
120°，则a·b等于
A.-6B.6
C.-63D.6√3
5.(多选题)在△ABC中，AB=(2,3),AC
(1,k),若△ABC是直角三角形，则k的值
为
()
B号c生压n月
2
6.a=(2,1),b=(2,一1)，c=(0,1),则(a+
b)·c=
;a·b=
7.如图，在△ABC中，AD⊥AB,BC=√3
BD,|AD1=1,则AC·AD=
8.已知平面向量a,b满足|a=2,b=√3，
1a-b=1,则a·b=
,a十b|=
9.已知a=1,b=2,a与b的夹角是60°，
计算
(1)计算a·b,a+b;
(2)求a十b和a的夹角的余弦值.
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如图，图1是某晶体的阴阳离子单层排列的
平面示意图，其阴离子排列如图2所示，图2
中圆的半径为1，且相邻的圆都相切，A,B,
C,D是其中四个圆的圆心，则AB·CD=
图1
图2
10参答案
过好假期每一天
参芳答案
假期作业一任意角的概念与弧度制
6.【解析】依题意，a=5×360°+224°，又3与a的终边相
同，且0°<3360°，所以B=224°
有问必答
故答案为：224
1,提示：在角的概念推广后，两条射线分别叫做角的始边和
【答案】224
终边
7.【解析】因为两圆半径都是1，正方形边长也是1，所以
2.提示：在表示a士3时，第二次旋转的是角a的终边.
△BCE为正三角形，所以△BCE的周长为3.國心角
3,提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合
的角不一定是零角，如360°，一360°等，角的大小不是根据
∠EBC,∠ECB都是，配=苓×1=子，
始边、终边的位置，而是根据射线的旋转，
4.提示：当角a,3满足S={33=a十k·360°，k∈Z}时，表示
∠EBA=受-音=吾，正=×1=吾，所以由边三角
成角α与B相隔整数个周角，即角α，3终边相同.
5.提示：不相等，这是因为长为1的弧是指孤的长度为1，在
彩ABE的同长是1十晋十吾=1十受
大小不同的圈中，由于半径不同，所以圆心角也不同.
【答案】31+受
6.提示：半径为，国心角为川的扇形孤长公式为1=0扇
8.【解析】如图所示，
形面积公式为S扇=0
切

-2下-4-T
厚积薄发
∴A∩B=[-4,-x]U[0,π].
1.D对①：一60°是第四象限角，故①正确；
对②：180°<235°<270°，故其为第三象限角，故②正确：
【答案】[-4，-π]U[0,x]
9.【解】(1)因为一80°=280°一360°，所以在区间[0°一360°)
对③：475°=360°+115°，又115是第二象限角，故475°是
内，与一80°角终边相同的角是280°，它是第四象限角.
第二象限角，③正确；
(2)因为1600°=160°十4×360°，所以在区间[0°一360°)
对④：一315°=一360°+45°，又45°是第一象限角，给
内，与1600°角终边相同的角是160°，它是第二象限角.
一315°是第一象限角，④正确.
(3)因为一81936=260°24'-3×360°，所以在区间[0°
故正确的有4个.
360)内，与一81936角终边相同的角是260°24'，它是第
故选：D.
三象限角.
2.D-1485°=-5×360°+315°.
10.【解】设扇形的圆心角为a,半径为r,面积为S,弧长为
化为a十2kπ(0≤a<2x,k∈Z)的形式为7-10元
4
2,则有1+2，=301=30-2r,从而5=号1=2(30
3.ACD因为412°=360°+52°，
所以与412°角的终边相同的角为3=k×360°十52°，k∈Z,
2r-f+15r=-（-9）广+要0当k=一1时，8=一308°；当k=0时，3=52°；
,,当半径r=
当飞=2时，3=772；当k=3时，3=1132°；
m时，1-30-2x号-15(am.
15
2
当k=4时，3=1492°.综上，选项A、C、D正确
4.ABDA连项，60=号正确：B逃项，-9
3=一600°，正
痛形面积的最大位是2要5cm,这时。=L=2rd
∴当扇形的國心角为2rad,丰径为5cm时，面积装大，
确：C选项中-150°=-150X180
一Gπ，错误；D选项
为2空5cm.
中经x=4红一晋，为第四象限角，正确.故选ABD
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5.B如图，由题意可得：
【解析】在扇形ABA,中，圆心角恰为交，孤长L=ABX交
∠AOB=3
4
=V3+1×受
=4,
在Rt△AOD中，可得：
在扇形A,CA:中，圆心角也为艺，弧长4=A,CX2=1×
∠AOD=F∠DA0
=
在扇形ADA,中，国心角为x一艺-吾=智，
0D=含A0=合×4=2，
孤长L=ADX5-5×于=，
331
可得：失=4一2=2，
由AD=A0im吾=4X号=25.
所以点A走过的路程为1，十4十4，=9+23)π
2
BA=√1+(W3)2=2.
可得：弦=2AD=4√3，
所以：孤田面积=合（弦×失十失）=2(43×2+2)
∠ABA,=S==·号·2=元
4√3十2≈9平方米.故选：B.
【答案】9+23)x元
6
33

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