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课后作业(五十二)　直线与椭圆(一)
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分
一、单项选择题
1．(2025·浙江温州期中)已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＝1有公共点，则m的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
2．(人教B版选择性必修第一册P178复习题B组T13改编)已知椭圆C：＝1，过点P的直线交椭圆C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为(　　)
A．3x－2y－2＝0 B．3x＋2y－4＝0
C．3x＋4y－5＝0 D．3x－4y－1＝0
3．(2025·山东济南模拟)已知椭圆＋y2＝1，点P是椭圆上任意一点，则P到直线x－y＋＝0的距离的最大值是(　　)
A． B．
C． D．
4．椭圆C：＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA1的斜率的取值范围是，那么直线PA2斜率的取值范围是(　　)
A． B． 　
C． D．
5．直线x－2y＋2＝0经过椭圆＝1(a＞b＞0)的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于M点，若＝3，则该椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
6．(2025·湖南长沙模拟)椭圆＝1，若椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝3x＋m对称，则实数m的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
二、多项选择题
7．(2024·福建南平期末)已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于P，Q两点，则(　　)
A．△PF2Q的周长为4
B．|PF1|的取值范围是
C．|PQ|的最小值是3
D．若点M，N在椭圆上，且线段MN中点为(1，1)，则直线MN的斜率为－
8．(2025·浙江杭州模拟)已知椭圆C：＝1(0A．b＝
B．|AB|∈
C．离心率e＝
D．若OA⊥OB，则＝
三、填空题
9．过椭圆C：＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A，B两点，则＝________．
10．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于P，Q两点，若＝，且||＝||，则椭圆C的离心率为________．
四、解答题
11．(2024·河南开封一模)已知直线l：y＝kx＋2(k≠0)与椭圆C：＝1(a>b>0)在第一象限交于A，B两点，E为线段AB的中点，O为坐标原点，直线AB，OE的斜率之积为－．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若直线l与x轴，y轴分别相交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|AB|＝，求椭圆C的方程．
12．(2024·新高考Ⅰ卷)已知A(0，3)和P为椭圆C：＝1(a>b>0)上两点．
(1)求C的离心率；
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
13．(2025·广东珠海模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4，点M在椭圆C上，直线l：y＝x＋t．
(1)若直线l与椭圆C有两个公共点，求实数t的取值范围；
(2)当t＝2时，记直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，P，Q为椭圆C上两动点，求四边形PAQB面积的最大值．
1 / 4课后作业(五十二)
[A组　在基础中考查学科功底]
1．A　[将直线方程y＝x＋m代入椭圆方程消去y得7x2＋8mx＋4m2－12＝0，
∵直线与椭圆有公共点，∴方程有解，
∴Δ＝64m2－4×7×(4m2－12)≥0，
解得－≤m≤，即m的取值范围为 ．故选A．]
2．B　[设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由中点坐标公式可得 所以
由
①－②得＝0，即＝－，即＝kAB＝－，所以kAB＝－，因此直线AB的方程为y－＝－(x－1)，即3x＋2y－4＝0．]
3．A　[根据题意，消去y得5x2＋8x＋16＝0，
则Δ＝(8)2－4×5×16＝0，
所以直线x－y＋＝0与椭圆＋y2＝1相切，
且在椭圆上方，当椭圆在点P处的切线与直线x－y＋＝0平行时，点P到直线x－y＋＝0的距离最大．设直线方程为x－y＋m＝0，
联立消去y得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
故Δ＝0，即64m2－4×5(4m2－4)＝0，
解得m＝(舍去)或m＝－， 则x－y－＝0，故d＝＝，故选A．]
4．A　[由题意，椭圆C：＝1的左、右顶点分别为A1(－2，0)，A2(2，0)，设P(x0，y0)，则＝，
又由＝＝＝－，可得＝，因为∈，即≤－1，可得，所以直线PA2斜率的取值范围是．故选A．]
5．C　[直线x－2y＋2＝0，令y＝0，解得x＝－2，令x＝0，解得y＝1,
故F(－2，0)，M(0，1)，则＝(2，1)，设A(x0，y0)，则＝(－x0，1－y0)，而＝3，
则解得
则A，又点A在椭圆上，左焦点F(－2，0)，右焦点F′(2，0)，
由2a＝|AF|＋|AF′|＝＝，
则a＝，椭圆的离心率e＝＝＝．故选C．]
6．B　[椭圆＝1，即5x2＋9y2－45＝0，
设椭圆上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝3x＋m对称，AB中点为M(x0，y0)，
则－45＝－45＝0，
两式作差得5(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即＝－＝－，即y0＝x0，
代入直线方程y＝3x＋m得x0＝－，y0＝－，
即M，
因为(x0，y0)在椭圆内部，所以5×＋9×<45，
解得－即m的取值范围是．故选B．]
7．BCD　[由题意可知椭圆的长轴长2a＝4，左焦点F1(－1，0)，由椭圆的定义可知＝|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝|PF2|＋|QF2|＋|PF1|＋|QF1|＝4a＝8，
故A错误；
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，|PF1|＝＝＝|x1＋4|，
易知x1∈ x1＋4∈，故|PF1|的取值范围是[1，3]，故B正确；
若PQ的斜率存在，不妨设其方程为y＝kx＋k，
联立椭圆方程 (4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，Δ＞0，
则
所以|PQ|＝＝＝3＋>3，
若PQ的斜率不存在，则其方程为x＝－1，与椭圆方程联立易得|PQ|＝3，
显然当PQ的斜率不存在时，|PQ|min＝3，故C正确；
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，有 ＝0
＝－＝·kMN，
若MN中点为(1，1)，则x3＋x4＝y3＋y4＝2 kMN＝－，故D正确．故选BCD．]
8．AB　[如图所示，连接OA，OB，
易知a＝3，由椭圆定义可知|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝12，因为(|AF2|＋|BF2|)max＝8，当AB⊥x轴，即|AB|为通径时，|AB|最小，所以|AB|min＝＝4，
解得b＝，所以A正确；
当AB为长轴时，|AB|最大，此时|AB|＝2a＝6，
所以|AB|∈，即B正确；
可得椭圆方程为＝1，
易知c＝＝，所以离心率e＝＝，
即C错误；
因为F1(－，0)，可设直线l的方程为x＝my－，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
整理可得(2m2＋3)y2－4my－12＝0，Δ＞0，
因此y1＋y2＝，y1y2＝－，
若OA⊥OB，可得＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
所以(m2＋1)y1y2－m(y1＋y2)＋3＝0，
整理得6m2＋1＝0，此时方程无解，因此D错误．
故选AB．]
9．　[由题意可知F(－1，0)，故l的方程为y＝(x＋1)．
由得5x2＋8x＝0，
∴x＝0或x＝－．
设A(0，)，B．
又F(－1，0)，∴|AF|＝2，|BF|＝，
∴＝．]
10．　[因为||＝||＝2c，
所以||＝2a－||＝2a－2c，
又＝，
所以||＝||＝(2a－2c)＝(a－c)，
所以||＝2a－||＝2a－(a－c)＝，在△PF1F2中，cos ∠F1PF2＝＝，在△PQF2中，
cos∠F1PF2＝，
以上两式相等整理得(5a－7c)(a－c)＝0，
故5a＝7c或a＝c(舍去)，故＝．]
11．解：(1)易知k<0，不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为E，
所以
可得＝0，
即－＝，
易知kAB＝，kOE＝，
又直线AB与直线OE的斜率之积为－，
所以－＝－，
则椭圆C的离心率e＝＝＝＝．
(2)因为直线l与x轴，y轴分别相交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，E为线段AB的中点，
所以E为线段MN的中点，
直线l：y＝kx＋2(k≠0)与x轴，y轴的交点为M，N(0，2)，所以E，
可得kOE＝＝－k，
因为kAB·kOE＝－，即－k2＝－，
解得k＝－或k＝(舍去)，
所以直线l：y＝－x＋2，
因为椭圆C：＝1(b>0)，
联立消去y并整理得x2－2x＋4－b2＝0，
此时Δ＝4(b2－2)>0，解得b2>2，
由根与系数的关系得x1＋x2＝2，x1x2＝4－b2，
所以|AB|＝|x1－x2|＝＝，
解得b2＝3，则a2＝6，
故椭圆C的方程为＝1．
12．解：(1)由题意得解得
所以e＝＝＝．
(2)由(1)知C：＝1．kAP＝＝－，则直线AP的方程为y＝－x＋3，即x＋2y－6＝0，|AP|＝＝，
设点B到直线AP的距离为d，则d＝＝，
则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移个单位长度即可，
此时该平行线与椭圆的交点即为点B，
设该平行线的方程为x＋2y＋D＝0，
则＝，解得D＝6或D＝－18．
当D＝6时，联立
解得或
即B(0，－3)或，
当交点为B(0，－3)时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x－3，即3x－2y－6＝0，
当交点为B时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0．
当D＝－18时，联立得2y2－27y＋117＝0，
Δ＝272－4×2×117＝－207<0，此时该直线与椭圆无交点．
综上，直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0．
[B组　在综合中考查关键能力]
13．解：(1)设椭圆的半焦距为c，则c＝2，故a2－b2＝8，
因为M在椭圆上，故＝1，
解得a2＝12，b2＝4，故椭圆方程为＝1，
联立消去y可得4x2＋6tx＋3t2－12＝0，
故Δ＝36t2－16(3t2－12)>0，即192－12t2>0，解得－4所以实数t的取值范围为(－4，4)．
(2)当t＝2时，直线l：y＝x＋2，故A(－2，0)，B(0，2)，
由题设可得P，Q位于直线AB的两侧，不妨设Q在直线AB上方，P在直线AB的下方，
当过Q的直线与直线AB平行且与椭圆相切时，Q到直线AB的距离最大，△QAB的面积最大，
当过P的直线与直线AB平行且与椭圆相切时，P到直线AB的距离最大，△PAB的面积最大，
由(1)可得直线y＝x＋t与椭圆相切时，Δ＝0，即t＝±4，
当t＝4时，该切线为过Q点的切线，方程为y＝x＋4，其到直线AB的距离为d1＝＝，
当t＝－4时，该切线为过P点的切线，方程为y＝x－4，其到直线AB的距离为d2＝＝3，
此时四边形PAQB面积
S＝S△QAB＋S△PAB＝|AB|d1＋|AB|d2＝×2×(＋3)＝8，
故四边形PAQB面积的最大值为8．
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