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课后作业(五十三)　直线与椭圆(二)
1．已知动圆与圆C1：(x＋4)2＋y2＝1外切，同时与圆C2：(x－4)2＋y2＝81内切．
(1)求动圆圆心M的轨迹Γ的方程，并说明它是什么曲线；
(2)若直线l：4x－5y＋40＝0，求曲线Γ上的点到直线l的最大距离．
2．(2024·北京高考)已知椭圆E：＝1(a>b>0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点(0，t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0，1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D．
(1)求椭圆E的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
3．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右顶点分别是A1，A2，上顶点为B(0，b)，△A1A2B的面积等于2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点Q(1，0)，P(4，m)，直线PA1，PA2分别交椭圆C于点M，N，证明：M，Q，N三点共线．
4．已知斜率为k的直线l与椭圆C：＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(n，m)．
(1)若n＝1，m＝－1，求k的值；
(2)若线段AB的垂直平分线交y轴于点P，且|AB|＝4|PM|，求直线l的方程．
1 / 2课后作业(五十三)
1．解：(1)设动圆M的半径为r．
由动圆M与圆C1外切可知|MC1|＝r＋1，①
由动圆M与圆C2内切可知|MC2|＝9－r，②
则①＋②可得，|MC1|＋|MC2|＝10＞|C1C2|＝8．
所以动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为10，焦距为8的椭圆(不含顶点(－5，0))．
动圆圆心M的轨迹Γ的方程为＝1(x≠－5)．
(2)设与直线l平行的直线l0：4x－5y＋m＝0(m≠40)．
由得25x2＋8mx＋m2－225＝0．
令Δ＝(8m)2－4×25×＝0．
当Δ＝0，即m＝±25时，直线与椭圆相切．
由图形(图略)可知，当m＝－25时，切点P到直线l的距离最大．
设最大距离为d，则d＝＝．
所以曲线Γ上的点到直线l的最大距离为．
2．解：(1)由题意可知b＝，c＝，
所以a＝＝2，
故椭圆E的方程为＝1，离心率e＝＝．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋t(k≠0)，
联立得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－4＝0．
所以Δ＝(4kt)2－4(1＋2k2)(2t2－4)>0，即4k2－t2＋2>0，
由根与系数的关系得
由椭圆的对称性可得D(－x2，y2)，
因为A，C，D三点共线，所以kAC＝kCD，
所以＝，即x1y2＋x2y1－(x1＋x2)＝0．
由y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，得x1(kx2＋t)＋x2(kx1＋t)－(x1＋x2)＝0，
整理得2kx1x2＋(t－1)(x1＋x2)＝0，
所以2k·＋(t－1)·＝0，
解得t＝2．即t的值为2．
3．解：(1)由离心率为得，＝，①
由△A1A2B的面积为2得，ab＝2．②
又a2＝b2＋c2，③
联立①②③解得a＝2，b＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)证明：记点M，N的坐标分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
又A1(－2，0)，∴直线PA1的方程为y＝(x＋2)，与椭圆方程＋y2＝1联立并整理得(m2＋9)x2＋4m2x＋4m2－36＝0，Δ＝4×324＞0，
由－2＋x1＝得x1＝，
代入直线PA1的方程得y1＝，
即M，
同理可得N．
因为Q(1，0)，所以＝＝，
由＝知，∥，又有公共点Q，所以M，Q，N三点共线．
4．解：(1)由题设作差可得
＝＝0，
又xA＋xB＝2n＝2，yA＋yB＝2m＝－2，故
＝，
所以k＝＝．
(2)由题意，直线l斜率一定存在，设直线l的方程为y＝k(x－n)＋m，
若k＝0，直线l：y＝m且M(0，m)，－＜m＜，此时中垂线PM与y轴重合，
与题设中，垂直平分线与y轴交于P矛盾，不满足题意；
若k≠0，由(1)知＝－，则k＝＝－，
则中垂线PM的方程为y＋＝x，即6mx－3ny－n＝0，又M(n，m)在该直线上，
所以3mn－n＝0，得n＝0或m＝，当n＝0时k＝0，不满足题意，故m＝，
故k＝－，即l：y＝n(x－n)，与椭圆方程联立得x2＋2＝6，
整理得
9(2＋9n2)x2－18n(2＋9n2)x＋81n4＋36n2－104＝0，Δ＞0，
所以xA＋xB＝2n，xAxB＝，
则|AB|＝
＝，而|PM|＝，
由|AB|＝4|PM|，得＝8n2＋，
解得n＝±，所以l：y＝1±x．
综上，直线l的方程为y＝±x＋1．
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