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课后作业(五十四)
[A组　在基础中考查学科功底]
1．B　[根据题意可得解得a＝b＝3，
∴该双曲线的虚轴长为2b＝6．
故选B．]
2．D　[设点M(x，y)，则AM的斜率为，BM的斜率为，故＝(x≠±3)，
所以＝1(x≠±3)，故D正确．故选D．]
3．C　[设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，
则|F1F2|＝2c＝8，|PF1|＝＝10，|PF2|＝＝6，
则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，
则e＝＝＝2．
故选C．]
4．A　[由题意，＝，则＝＝5，即b2＝4a2，
解得＝2, ∴C的渐近线方程为y＝±2x．故选A．]
5．B　[如图，连接PF1，PF2，由题意可得PF1⊥PF2，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义可得m－n＝2a，
且m2＋n2＝4c2，tan ∠PF2F1＝＝3，
则m＝3a，n＝a，9a2＋a2＝4c2，
即有c2＝a2，e＝＝．
故选B．]
6．C　[如图，由题意可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，
设|PF2|＝m，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由＝tan θ1＝2，所以sin θ1＝，
因为∠F1PF2＝90°，所以＝－1，则＝－，即tan θ2＝，sin θ2＝，由正弦定理可得，|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶，
则由|PF2|＝m，得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝m，
由＝|PF1|·|PF2|＝·2m·m＝8，得m＝2，
则|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2，c＝，
由双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以a＝，b＝＝2，
所以双曲线的方程为＝1．
故选C．]
7．BCD　[双曲线τ：＝1，可得(3－m)(m＋6)>0，解得m∈(－6，3)，所以A不正确；
当m＝1时，τ的方程为＝1，双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以B正确；
c＝＝3，双曲线的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，所以C正确；
当3－m＝m＋6，即m＝－时，双曲线为等轴双曲线，所以D正确．故选BCD．]
8．AD　[双曲线C：＝1的渐近线方程为bx±2y＝0，依题意，－＝－，解得b＝，
对于A，C的虚轴长2b＝2，A正确；
对于B，C的离心率e＝＝，B错误；
对于C，点F(，0)到直线l：x＋y＝0的距离为＝，即|PF|的最小值为，C错误；
对于D，直线l：x＋y＝0的斜率为－，而点F不在l上，点P在l上，则直线PF的斜率不等于－，D正确．故选AD．]
9．　[由|PA|－|PB|＝3＜|AB|＝4，根据双曲线的定义可知P点轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支， c＝2，2a＝3，a＝．
当P为双曲线的顶点时，|PA|有最小值2＋＝．]
10．　[由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入＝1，
得y＝±，即A，B，故|AB|＝＝10，|AF2|＝＝5，
又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，
故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝．]
11．解：(1)由题意可知双曲线的焦点为(－2，0)和(2，0)，根据双曲线的定义有2a＝||
＝2，
∴a＝1，又c2＝a2＋b2，∴b2＝3，
∴双曲线C的方程为x2－＝1．
(2)因为双曲线C的方程为x2－＝1，所以渐近线方程为y＝±x，由消去y整理得(3－k2)x2－4kx－7＝0．
①当3－k2＝0，即k＝±时，此时直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点，符合题意；
②当3－k2≠0，即k≠±时，由Δ＝(－4k)2＋4×7×(3－k2)＝0，解得k＝±，
此时直线l与双曲线C相切于一点，符合题意．
综上所述，符合题意的实数k的所有取值为±，±．
12．解：(1)∵x＝－c时，y＝±，∴|AF1|＝|BF1|＝，∴|AF2|＝|BF2|＝＋2a，
∴ E：x2－＝1．
(2)由(1)知F2(2，0)，显然直线l的斜率存在，当l的斜率为0时，＝3 不成立；
当l的斜率不为0时，设l：x＝my＋2，C(x1，y1)，D(x2，y2)．
由 (3m2－1)y2＋12my＋9＝0，
Δ＝36m2＋36>0，3m2－1≠0，m2≠，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝．
又∵＝3，
∴y1＝－3y2．
∴
∴得＝－，
∴m2＝，故直线CD的斜率为 或－．
[B组　在综合中考查关键能力]
13．D　[因为双曲线E的离心率为，所以c＝a，因为|AB|＝|AF1|，所以|BF2|＝|AB|－|AF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，由双曲线的定义可得|BF1|－|BF2|＝|BF1|－2a＝2a，所以|BF1|＝4a＝2|BF2|，
在△BF1F2中，由余弦定理的推论得cos ∠BF2F1＝＝＝－，
在△AF1F2中，cos ∠F1F2A＝－cos ∠F1F2B＝，
设|AF2|＝m，则|AF1|＝m＋2a，
由|AF1|2＝|F1F2|2＋|AF2|2－2|F1F2||AF2|·cos ∠F1F2A得
(2a＋m)2＝(2a)2＋m2－2×2am×，
解得m＝a，所以|AF1|＝，
所以cos ∠BAF1＝
＝＝－．
故选D．]
14．D　[设|AB|＝x，内切圆圆心为I，内切圆在BF2，AF2，AB上的切点分别为U，V，W，
则|BU|＝|BW|，|AV|＝|AW|，|F2U|＝|F2V|，
由|BF1|＝a及双曲线的定义可知，|BF2|＝3a，|AF2|＝x－a，|F2U|＝|F2V|＝(|BF2|＋|AF2|－|AB|)＝a＝r，
故四边形IUF2V是正方形，
得AF2⊥BF2，于是|BF2|2＋|AF2|2＝|AB|2，
故x2＝9a2＋(x－a)2，所以x＝5a，
于是cos∠F1BF2＝cos (π－∠ABF2)＝－，在△F1BF2中，
由余弦定理可得|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2－2|BF1|·|BF2|·cos ∠F1BF2＝a2，
从而4c2＝a2，所以e＝＝．故选D．]
15．D　[如图所示，根据对称性，不妨设M在左支上，
设右焦点为F2，连接MF2，NF2，
由对称性知四边形MF1NF2为平行四边形，
又|F1N|＝2|F1M|，∴|F2M|＝2|F1M|．
∵|F2M|－|F1M|＝2a，
∴|F1M|＝2a，|F2M|＝|F1N|＝4a，
又∠MF1N＝60°，∴∠F1MF2＝120°．
在△MF1F2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|·|F2M|·cos 120°，∴4c2＝4a2＋16a2－2×2a×4a×，
整理得c2＝7a2，∴a2＋b2＝7a2，∴＝，
∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x．故选D．]
16．　[法一：由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因为＝－，所以即所以A．
＝＝(c，y0)，因为⊥，所以＝0，即＝0，解得＝4c2．
因为点A在双曲线C上，所以＝1，又＝4c2，所以＝1，即＝1，化简得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝．
法二：由法一得＝4c2，
所以|AF1|＝＝＝＝，|AF2|＝＝＝＝，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即＝2a，即c＝a，所以双曲线C的离心率e＝＝＝．
法三：由＝－可得A，B，F2三点共线，且F2在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得|F2A|＝|F2B|．设|F2B|＝3m(m＞0)，则|F2A|＝2m，所以|F1B|＝|F2B|＝3m，|AB|＝5m，由⊥可得∠AF1B＝90°，所以|AF1|＝＝4m，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝2m，即a＝m．过点F1作F1D⊥AB，垂足为D(图略)，则|AB|·|F1D|＝|F1A|·|F1B|，即×5m×|F1D|＝×4m×3m，所以|F1D|＝m，所以|BD|＝＝m，所以|F2D|＝m，则|F1F2|＝＝m＝2c，即c＝m，所以e＝＝．]
7 / 7课后作业(五十四)　双曲线
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共98分
一、单项选择题
1．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线相互垂直，焦距为12，则该双曲线的虚轴长为(　　)
A．6　　　B．6　　　C．9　　　D．12
2．(人教A版选择性必修第一册P121探究改编)设A，B两点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为，则点M的轨迹方程为(　　)
A．＝1(x≠±3)
B．＝1(x≠±3)
C．＝1(x≠±3)
D．＝1(x≠±3)
3．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．
4．(2024·福建莆田期末)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
5．(2025·天津西青区模拟)设P是双曲线＝1(a＞0，b＞0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若tan ∠PF2F1＝3，则双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
6．(2024·天津高考)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
二、多项选择题
7．(2025·山东青岛模拟)已知双曲线τ：＝1，则(　　)
A．m的取值范围是(3，＋∞)
B．当m＝1时，τ的渐近线方程为y＝±x
C．τ的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)
D．τ可以是等轴双曲线
8．(2024·江苏南通二模)已知双曲线C：＝1(b>0)的右焦点为F，直线l：x＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则(　　)
A．C的虚轴长为2
B．C的离心率为
C．|PF|的最小值为2
D．直线PF的斜率不等于－
三、填空题
9．(2025·四川成都锦江模拟)已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是________．
10．(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
四、解答题
11．(2025·云南昆明模拟)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，且过点(－3，2)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值．
12．(2025·陕西渭南模拟)已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，E的一条渐近线方程为y＝x，过F1且与x轴垂直的直线与E交于A，B两点，且△ABF2的周长为16．
(1)求E的方程；
(2)过F2作直线l与E交于C，D两点，若＝3，求直线CD的斜率．
13．(2024·广东深圳一模)已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若|AB|＝|AF1|，且双曲线E的离心率为，则cos∠BAF1＝(　　)
A．－ B．－
C． D．－
14．如图，已知双曲线C：＝1(a＞0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C分别在第一、二象限交于A，B两点，△ABF2内切圆半径为r，若|BF1|＝r＝a，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
15．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1，M为C上一点，M关于原点的对称点为N，若∠MF1N＝60°，且|F1N|＝2|F1M|，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
16．(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥＝－，则C的离心率为________．
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