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课后作业(五十五)
1．C　[由题意可知，抛物线C的标准方程为x2＝2y，则p＝1，
即点F到抛物线C的准线的距离是1．
故选C．]
2．C　[表示点P(x，y)到点(1，0)的距离；|x＋1|表示点P(x，y)到直线x＝－1的距离．
因为＝|x＋1|，
所以点P(x，y)到点(1，0)的距离等于点P(x，y)到直线x＝－1的距离，所以P的轨迹为抛物线．故选C．]
3．C　[由y2＝2px(p>0)，得焦点F，
设抛物线上一点P(x，y)，则由抛物线的定义知，|PF|＝x＋，所以1＝，解得p＝2．
故选C．]
4．C　[如图所示，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线方程为x＝－，分别过A，B作准线的垂线，垂足为A′，B′，直线l交准线于点C，作BM⊥AA′，垂足为M，
则＝＝，
又|FA|＝3|FB|，
所以＝2＝4，
所以∠ABM＝30°，即直线l的倾斜角等于∠AFx＝60°，同理可得直线l的倾斜角为钝角时即为120°，故选C．]
5．B　[由题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立可得x2－2pkx－6p＝0，Δ＞0，所以x1＋x2＝2pk，x1x2＝－6p，
则y1y2＝＝9．因为|AF|＝2，|BF|＝10，所以y1＝2－，y2＝10－，
则＝9，解得p＝2或p＝22．因为2－>0，所以p＝2．
故选B．]
6．B　[抛物线y2＝8x的准线l：x＝－2，焦点F(2，0)，由抛物线的定义可得|AF|＝xA＋2，
圆(x－2)2＋y2＝16的圆心(2，0)，半径R＝4，
所以△FAB的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，
联立消去y得x2＋4x－12＝0，解得x＝2(x＝－6舍去)，
即交点的横坐标为2，
所以xB∈(2，6)，所以6＋xB∈(8，12)，
所以△FAB的周长的取值范围是(8，12)．
故选B．]
7．C　[如图，过点B作BD垂直准线x＝－2于点D，则由抛物线定义可知，|BF|＝|BD|＝3，
设直线AB的方程为x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－2，yC)，不妨设m＞0，则y1＞0，y2＜0，
所以x2＋2＝3，解得x2＝1，
则＝8x2＝8，解得y2＝－2，则B(1，－2)，
所以－2m＋4＝1，解得m＝，
则直线AB的方程为x＝y＋4，
所以当x＝－2时，即y＋4＝－2，
解得yC＝－4，则C(－2，－4)，
联立消去x得y2－6y－32＝0，则y1y2＝－32，
所以y1＝8，其中＝＝＝＝．
故选C．]
8．A　[由题意知，抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，l1，l2的斜率存在且不为0．不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为－，故l1：y＝k(x－1), l2：y＝－(x－1)．
由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝＝2＋，
由抛物线定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋．
同理得|DE|＝4＋4k2，
所以|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋≥8＋2＝16，
当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号．
故|AB|＋|DE|的最小值为16．]
9．ACD　[对于A，如图所示，过点P作准线y＝－的垂线，垂足为Q，
则由抛物线的定义可知，|PF|＝|PQ|＝2＋＝4，
解得p＝4，
∴抛物线C的方程为x2＝8y，故A正确；
对于B，抛物线的准线方程为y＝－＝－2，故B错误；
对于C，如图所示，取AF的中点C，过点C作x轴的垂线，垂足为D，连接AD，DF．
易知抛物线的焦点F(0，2)，设A(x1，y1)，
则C，D，
∵kDF·kDA＝＝＝－1，
所以DF⊥DA，
所以以AF为直径的圆与x轴相切，故C正确；
对于D，当直线l过抛物线的焦点F且与抛物线相交于A，B两点时，直线l的斜率存在，
设l：y＝kx＋2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M，则M，
如图所示，作MN垂直准线于点N，连接AN，NB，则N，
联立消去y并整理可得x2－8kx－16＝0，Δ＞0，
所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－16，
所以＝4k，所以N(4k，－2)，
∴y1＋y2＝kx1＋2＋kx2＋2＝k(x1＋x2)＋4＝8k2＋4，
y1y2＝＝(x1x2)2＝×(－16)2＝4，
∵kNA·kNB＝
＝
＝＝＝－1，
∴NA⊥NB，
∴以AB为直径的圆与准线相切，故D正确．
故选ACD．]
10．ABD　[由题意，开口向右的抛物线方程为y2＝2x，顶点在原点，焦点为F1，
将其逆时针旋转90°后得到的抛物线开口向上，焦点为F2，则其方程为x2＝2y，即y＝x2，故A正确；
对于B，根据A项分析，由 可解得x＝0或x＝2，即xA＝2，代入可得yA＝2，
由图象对称性，可得A(2，2)，B(2，－2)，故|AB|＝4，故B正确；
对于C，如图，设直线x＋y＝t与第一象限花瓣分别交于点M，N，
由
解得由
解得
即M(t＋1－－1)，N(－1，t＋1－)，
则|MN|＝＝|t＋2－2|，
由图知，直线x＋y＝t经过点A时，t取最大值4，经过点O时，t取最小值0，
即在第一象限部分满足0代入得|MN|＝＝|(u－2)2－1|(1由函数y＝|(u－2)2－1|(1＜u≤3)的图象(图略)知，当u＝2时，|MN|取得最大值，为，故C错误；
对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状、大小相同，故可以先求部分面积的近似值．
如图，
在抛物线y＝x2(x≥0)上取一点P，使在点P处的切线与直线OA平行，
由y′＝x＝1可得切点坐标为P，lOA：x－y＝0，则点P到直线OA的距离为d＝＝，
于是S△OPA＝＝，由图知，半个花瓣的面积必大于，故原图中阴影部分的面积必大于8×＝4，故D正确．
故选ABD．]
11．ABD　[A选项，抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，
⊙A的圆心(0，4)到直线x＝－1的距离显然是1，等于圆的半径，
故准线l与⊙A相切，A选项正确；
B选项，当P，A，B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标yP＝4，
由＝4xP，得到xP＝4，故P(4，4)，
此时切线长|PQ|＝＝＝，B选项正确；
C选项，当|PB|＝2时，xP＝1，此时＝4xP＝4，故P(1，2)或P(1，－2)，
当P的坐标为(1，2)时，A(0，4)，B(－1，2)，kPA＝＝－2，kAB＝＝2，
不满足kPAkAB＝－1；
当P的坐标为(1，－2)时，A(0，4)，B(－1，－2)，kPA＝＝－6，kAB＝＝6，
不满足kPAkAB＝－1，
于是PA⊥AB不成立，C选项错误；
D选项，法一：利用抛物线定义转化．
根据抛物线的定义，|PB|＝|PF|，又F(1，0)，
于是|PA|＝|PB|时，P点的存在性问题转化成|PA|＝|PF|时，P点的存在性问题，
A(0，4)，F(1，0)，AF中点坐标为，AF中垂线的斜率为－＝，
于是AF中垂线的方程为y＝，与抛物线y2＝4x联立可得y2－16y＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，即AF的中垂线与抛物线有两个交点，
即存在两个点P，使得|PA|＝|PF|，D选项正确．
法二：设点直接求解．
设P，由PB⊥l可得B(－1，t)，又A(0，4)，|PA|＝|PB|，
根据两点间的距离公式，得＝＋1，整理得t2－16t＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，则关于t的方程有两个解，
即存在两个这样的点P，D选项正确．
故选ABD．]
12．4　[如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，
将A(6，－3)代入x2＝my，解得m＝－12，所以x2＝－12y，将B(x0，－2)代入，解得x0＝2，故水面宽度为4 m．]
13．3　[由题意可知，点F的坐标为，
又F为△ABC的重心，故＝，
即xA＋xB＋xC＝．又由抛物线的定义可知||＋||＋||＝xA＋xB＋xC＋＝＝3．]
14．　[如图所示，不妨设点P在第一象限，
联立
可得
即点P(1，)．
易知PH⊥y轴，则PH∥x轴，则∠xFP＝∠HPF＝60°，
所以直线PF的倾斜角为60°，易知点F，
所以kPF＝＝，整理可得2＝(2－p)，且有2－p＞0，故0＜p＜2，
等式2＝(2－p)两边平方可得3p2－20p＋12＝0，即(3p－2)(p－6)＝0，
解得p＝(p＝6舍去)．]
15．解：设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋＝4，所以x1＋x2＝．
由 可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
Δ＝144(t－1)2－4×9×4t2＞0，即t＜，
则x1＋x2＝－，
从而－＝，得t＝－．
所以l的方程为y＝x－．
(2)由＝3得y1＝－3y2．
由得y2－2y＋2t＝0，Δ＝4－4×2t＞0，即t＜，
所以y1＋y2＝2．
从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3．
代入C的方程得x1＝3，x2＝．
故|AB|＝．
9 / 9课后作业(五十五)　抛物线(一)
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共86分
一、单项选择题
1．(2025·辽宁大连模拟)已知抛物线C：y＝x2的焦点为F，则点F到抛物线C的准线的距离是(　　)
A． B．
C．1 D．2
2．(2024·重庆期末)已知点P(x，y)满足＝|x＋1|，则点P的轨迹为(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
3．(2024·江苏徐州一模)若抛物线y2＝2px(p＞0)上的点到其焦点的距离的最小值为1，则p＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线l的倾斜角等于(　　)
A．30°或150° B．45°或135°
C．60°或120° D．与p值有关
5．(2024·陕西西安三模)设抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过点M(0，3)的直线与抛物线E相交于A，B两点，|AF|＝2，|BF|＝10，则p＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．22
6．如图所示，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是(　　)
A．(6，10) B．(8，12)
C．[6，8] D．[8，12]
7．设抛物线E：y2＝8x的焦点为F，过点M(4，0)的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比＝(　　)
A． B．
C． D．
8．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)
A．16 B．14
C．12 D．10
二、多项选择题
9．(2025·江苏南京模拟)抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，P为抛物线上一动点，当P运动到(t，2)时，|PF|＝4，直线l与抛物线相交于A，B两点，则下列结论正确的是(　　)
A．抛物线的方程为x2＝8y
B．抛物线的准线方程为y＝－4
C．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切
D．当直线l过焦点F时，以AB为直径的圆与准线相切
10．(2025·福建漳州模拟)在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线C：y2＝2px(p>0)绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得三条曲线与C围成的区域(如图阴影区域)，A，B为C与其中两条曲线的交点，若p＝1，则(　　)
A．开口向上的抛物线的方程为y＝x2
B．|AB|＝4
C．直线x＋y＝t截第一象限花瓣的弦长的最大值为
D．阴影区域的面积大于4
11．(2024·新高考Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则(　　)
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
三、填空题
12．(人教A版选择性必修第一册P139T8改编)如图为抛物线形拱桥，当拱桥的顶点距离水面3 m时，水面宽12 m，则水面上升1 m后，水面宽度为________m．
13．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||＝________．
14．已知点P在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，过P作C的准线的垂线，垂足为H，点F为C的焦点．若∠HPF＝60°，点P的横坐标为1，则p＝________．
四、解答题
15．(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|．
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