资源简介

课后作业(五十六)　抛物线(二)
1．(2025·湖北武汉模拟)已知曲线C上的点到点F(－1，0)的距离比到直线x＝3的距离小2，O为坐标原点．直线l过定点A(0，1)．
(1)直线l与曲线C仅有一个公共点，求直线l的方程；
(2)曲线C与直线l交于M，N两点，试分别判断直线OM，ON的斜率之和、斜率之积是否为定值？并说明理由．
2．[蝴蝶模型]抛物线Γ：y2＝2px(p>0)经过点M(1，－2)，焦点为F，过点F且倾斜角为θ的直线l与抛物线Γ交于点A，B，如图．
(1)求抛物线Γ的标准方程；
(2)当θ＝时，求弦AB的长；
(3)已知点P(2，0)，直线AP，BP分别与抛物线Γ交于点C，D．证明：直线CD过定点．
3．已知点A(m，4)(m＞0)在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C．
(1)求证：直线BC的斜率为定值；
(2)若抛物线上存在两点关于直线BC对称，求|BC|的取值范围．
4．设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，曲线C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
1 / 2课后作业(五十六)　
1．解：(1)曲线C上的点到点F(－1，0)的距离比到直线x＝3的距离小2，
故曲线C上的点到点F(－1，0)的距离与到直线x＝1的距离相等，
故曲线C为以F(－1，0)为焦点，直线x＝1为准线的抛物线，
即有C：y2＝－4x，
过点A(0，1)的直线l与抛物线C仅有一个公共点，
当直线l与抛物线C的对称轴平行时，则有y＝1，
当直线l与抛物线C相切时，易知x＝0是其中一条直线，
另一条直线与抛物线C上方相切，不妨设直线l的斜率为k，设为y＝kx＋1，
联立可得k2x2＋(2k＋4)x＋1＝0，
则有Δ＝(2k＋4)2－4k2＝0，解得k＝－1，
故此时直线l的方程为y＝－x＋1，
综上，直线l的方程为y＝1或x＝0或y＝－x＋1．
(2)若l与C交于M，N两点，分别设其坐标为M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，
由(1)可知直线l要与抛物线C有两个交点，则直线l的斜率存在且不为0，
不妨设直线l的斜率为k，则有y＝kx＋1，
联立直线l与抛物线C方程可得k2x2＋(2k＋4)x＋1＝0，
Δ＝(2k＋4)2－4k2＝16k＋16>0，即有k>－1，
根据根与系数的关系可得x1＋x2＝－，x1x2＝，
则有k1＝＝，k2＝＝，
则k1＋k2＝＝2k＋＝－4，故为定值；k1k2＝
＝＝－4k，故不为定值．
综上，k1＋k2为定值－4，k1k2不为定值．
2．解：(1)抛物线y2＝2px经过点M(1，－2)，
所以(－2)2＝2p，所以p＝2，
所以抛物线Γ的标准方程为y2＝4x．
(2)由(1)知F(1，0)，当θ＝时，tan ＝，
所以l的方程为y＝(x－1)，
联立得3x2－10x＋3＝0，则x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝．
(3)证明：由(1)知F(1，0)，直线AB的斜率不为0，
当直线AB斜率不存在时，l：x＝1，B(1，－2)，P(2，0)，直线BP的方程为y＝2x－4，联立得xB＝1，xD＝4，同理xC＝4，所以直线CD：x＝4，过定点(4，0)．当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为x＝my＋1，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
联立 得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16>0，
因此y1＋y2＝4m，y1y2＝－4．
设直线AC的方程为x＝ny＋2，
联立 得y2－4ny－8＝0，
Δ＝16n2＋32>0，
因此y1＋y3＝4n，y1y3＝－8，得y3＝，
同理可得y4＝，
所以kCD＝＝＝＝＝－＝．
因此直线CD的方程为x＝2m(y－y3)＋x3，
令y＝0得，x＝－2my3＋x3＝
＝－2m
＝＝＝
＝＝4，
所以，直线CD过定点(4，0)．
3．解：(1)证明：∵点A(m，4)在抛物线上，
∴16＝m2，∴m＝±4，又m＞0，∴m＝4．
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
则kAB＋kAC＝＝＝＝0，∴x1＋x2＝－8，
∴kBC＝＝＝＝－2，
∴直线BC的斜率为定值－2．
(2)设直线BC的方程为y＝－2x＋b，P(x3，y3)，Q(x4，y4)关于直线BC对称，设PQ的中点为M(x0，y0)，则kPQ＝＝＝＝，
∴x0＝1．
∴M(1，－2＋b)．
又点M在抛物线内部，
∴－2＋b＞，即b＞．
由得x2＋8x－4b＝0，
Δ＝64＋16b＞0，
∴x1＋x2＝－8，x1x2＝－4b．
∴|BC|＝|x1－x2|
＝
＝．
又b＞，∴|BC|＞10．
∴|BC|的取值范围为(10，＋∞)．
4．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝＝＝1．
(2)由y＝，得y′＝．
设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|．
将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0．
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2．
从而|AB|＝|x1－x2|＝4．
由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，
解得m＝7(m＝－1舍去)．
所以直线AB的方程为y＝x＋7．
4 / 4

展开更多......

收起↑