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课后作业(六十一)　离散型随机变量的分布列和数字特征
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共95分
一、单项选择题
1．已知随机变量X服从两点分布，且P＝0.4，设Y＝2X－1，那么P＝(　　)
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.6
2．已知A1，A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试．设该同学通过考试的高校的个数为随机变量X，则D(X)等于(　　)
A． B．
C． D．
3．(2025·广东八校联考)已知随机变量X的分布列如表所示：
X －1 0 1
P m n
若P(X≤0)＝，且2X＋Y＝1，则D(Y)＝(　　)
A． B．
C． D．
4．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为(　　)
A． B．
C．2 D．
5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为(　　)
A． B．
C． D．
6．暗箱中有编号为1，2的2个球，现从中随机摸1个球，若摸到2号球，则得2分，并停止摸球；若摸到1号球，则得1分，并将此球放回，重新摸球．记摸球停止时总得分为X，则E(X)约为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
二、多项选择题
7．(2024·辽宁沈阳一模)如图是离散型随机变量X的概率分布直方图，其中3a＝5b，2b＝3c，则(　　)
A．a＝0.5 B．E＝2.3
C．D＝0.61 D．D＝1.22
8．假定某射手每次射击命中的概率为，且只有3发子弹．该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直射击到子弹用完．设耗用子弹数为X，则(　　)
A．目标被击中的概率为
B．P＝
C．E＝
D．D＝
三、填空题
9．编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E(ξ)＝________，D(ξ)＝________．
10．(2022·浙江高考)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________．
四、解答题
11．在一次班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有红球、黄球、白球、黑球各1个，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目．
(1)求a同学摸球三次后停止摸球的概率；
(2)记X为a同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差．
12．(2024·上海松江二模)某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次．如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为p1，p2，p3，假定p1，p2，p3互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立．
(1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若p1＝，p2＝，p3＝，求该小组比赛胜利的概率；
(2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，请写出所需派出的人员数目X的分布列，并求X的期望E；
(3)已知1>p1>p2>p3，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出．
13．某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作厨余垃圾处理．
(1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：个，n∈N)的函数解析式；
(2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位：个)，整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以这100天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率．
①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，X表示日利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；
②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由．
4 / 4课后作业(六十一)
[A组　在基础中考查学科功底]
1．D　[由题意可知，当Y＝－1时，即2X－1＝－1，解得X＝0，又因为随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝0.4，所以P＝P＝0.6．故选D．]
2．A　[X的可能取值为0，1，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝＝．]
3．C　[由P(X≤0)＝，得m＝＝，n＝1－P(X≤0)＝，
则E(X)＝－1×＋0×＋1×＝，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝1×＋0×＝，
由2X＋Y＝1，得Y＝1－2X，所以D(Y)＝4D(X)＝．
故选C．]
4．D　[由题意可知取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，所以P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝2×＋3×＝．]
5．B　[依题意知，ξ的所有可能取值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为＋＝．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝＝，
ξ为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮，
P(ξ＝6)＝＝，
故E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝．故选B．]
6．A　[由题意可得X的可能取值为2，3，4，5，…，n，
P＝，P＝＝，P＝，…，P＝，
∴E＝2×＋3×＋4×＋…＋＋n×，①
则E＝2×＋3×＋4×＋…＋＋n×，②
①－②得，E＝1＋＋…＋－n×，
即得E＝3－．当n→＋∞时，E≈3．
故选A．]
7．ABC　[由题知 解得a＝0.5，b＝0.3，c＝0.2，A选项正确；
所以E＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.5＝2.3，B选项正确；
D＝(1－2.3)2×0.2＋(2－2.3)2×0.3＋(3－2.3)2×0.5＝0.61，C选项正确； D＝22·D＝2.44，D选项错误．
故选ABC．]
8．BD　[由题意可得，目标没有被击中的概率为＝，所以目标被击中的概率为1－＝，A错误；
易知该射手每次射击未命中的概率为，
X的可能取值为1，2，3，所以P＝，
P＝＝，P＝＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
E＝1×＋2×＋3×＝，
D＝＝，BD正确，C错误．
故选BD．]
9．1　1　[ξ的所有可能取值为0，1，3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，则P(ξ＝0)＝＝；
ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，
则P(ξ＝1)＝＝；
ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座，
则P(ξ＝3)＝＝．
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1．
D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1．]
10．　[由题意知P(ξ＝2)＝＝．
ξ的所有可能取值为1，2，3，4．
P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝，∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝＝．]
11．解：(1)设“a同学摸球三次后停止摸球”为事件E，
则P(E)＝＝，
故a同学摸球三次后停止摸球的概率为．
(2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4．
P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝．
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2，
方差D(X)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＋(4－2)2×＝．
12．解：(1)设事件A表示“该小组比赛胜利”，
则P＝＝．
(2)由题意可知，X的所有可能取值为1，2，3，
则P(X＝1)＝p1，P(X＝2)＝(1－p1)p2，P(X＝3)＝(1－p1)(1－p2)，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P p1 (1－p1)p2 (1－p1)(1－p2)
所以E(X)＝p1＋2(1－p1)p2＋3(1－p1)(1－p2)＝p1p2－2p1－p2＋3．
(3)若依次派甲、乙、丙进行闯关，设派出人员数目的期望为E1，由(2)可知，E1＝p1p2－2p1－p2＋3，
若依次派丙、乙、甲进行闯关，设派出人员数目的期望为E2，
则E2＝p3p2－2p3－p2＋3，
则E1－E2＝(p1p2－2p1－p2＋3)－(p3p2－2p3－p2＋3)＝p1p2－2p1－p3p2＋2p3＝p2(p1－p3)－2(p1－p3)＝(p1－p3)(p2－2)，
因为1>p1>p2>p3，所以p1－p3>0，p2－2<0，
所以E1－E2<0，即E1所以要使派出人员数目的期望较小，应先派出甲．
[B组　在综合中考查关键能力]
13．解：(1)y＝
(2)①由题意可得，X的所有可能取值为720，840，960，对应的概率分别为0.1，0.2，0.7，所以X的分布列为
X 720 840 960
P 0.1 0.2 0.7
E(X)＝720×0.1＋840×0.2＋960×0.7＝912，
D(X)＝(720－912)2×0.1＋(840－912)2×0.2＋(960－912)2×0.7＝6 336．
②当加工17个这种蛋糕时，Y表示日利润(单位：元)，则Y的分布列为
Y 660 780 900 1 020
P 0.1 0.2 0.16 0.54
则E(Y)＝660×0.1＋780×0.2＋900×0.16＋1 020×0.54＝916.8，916.8＞912．
从数学期望来看，一天加工17个这种蛋糕的日利润高于一天加工16个这种蛋糕的日利润，所以应加工17个．
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