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课后作业(六十四)　用样本估计总体
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共95分
一、单项选择题
1．(2024·浙江温州一模)某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为(　　)
A．93 B．93.5
C．94 D．94.5
2．某组样本数据的频率分布直方图如图所示，设该组样本数据的众数、平均数、第一四分位数分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(注：同一组中数据用该组区间中点值近似代替)(　　)
A．x3C．x13．某校高三年级一共有1 200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为(　　)
A．220 B．240
C．250 D．300
4．样本数据x1，x2，…，xn的平均数＝4，方差s2＝1，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数，方差分别为(　　)
A．9，4 B．9，2
C．4，1 D．2，1
5．在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10．2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是(　　)
A．100 B．85
C．65 D．55
6．某班50名同学进行了一次党史知识竞赛，该次竞赛测试成绩统计如下表，其中两个数据被遮盖．
成绩/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
人数 ■ ■ 1 2 3 5 6 8 10 12
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是(　　)
A．平均数，方差 B．中位数，方差
C．中位数，众数 D．平均数，众数
二、多项选择题
7．(2023·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　)
A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
8．(2025·福建莆田模拟)已知一组正实数样本数据xi，满足x1≤x2≤x3≤…≤x10，则(　　)
A．样本数据的第80百分位数为x8
B．去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变
C．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数
D．将组中的每个数据变为原来的2倍，则所得的新样本数据组的方差变为原数据组方差的2倍
三、填空题
9．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如表(单位：环)：
甲 10 8 9 9 9
乙 10 10 7 9 9
如果甲、乙只有1人能入选，则入选的应是 ________．
10．某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m．若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数m(1≤m≤10)的值可以是________(写出一个满足条件的m值即可)．
四、解答题
11．某校有高中生2 000人，其中男、女生比例约为3∶2，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽取了样本量为n的样本，得到如图所示的频数分布表和频率分布直方图．方案二：采用简单随机抽样方法，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为170，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20．
身高/ cm [145， 155) [155， 165) [165， 175) [175， 185) [185， 195]
频数 m p q 6 4
(1)根据图表信息，求n，q并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表)
(2)计算方案二中总样本的均值及方差；
(3)计算两种方案总样本均值的差，并说明用方案二总样本的均值作为总体均值的估计合适吗？为什么？
12．(2024·云南昆明双基检测)某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客．某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务，为此先根据前一年沙滩开放的160天进入沙滩的人数，做前期的市场调查来模拟饮品店开卖之后的利润情况，考虑沙滩承受能力有限，超过1．4万人即停止预约．如下表格是160天内进入沙滩的每日人数(单位：万)的频数分布表．
人数 /万 [0， 0．2) [0.2， 0．4) [0.4， 0．6) [0.6， 0．8) [0.8， 1．0) [1.0， 1．2) [1.2， 1．4]
频数 /天 8 8 16 24 a 48 32
(1)绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图(用阴影表示)，并求出a的值和这组数据的第65百分位数；
(2)据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，X(单位：个)为进入该沙滩的人数(X为10的整倍数．如有8 006人，则X取8 000)．每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理．若该店每日准备1 000杯饮品，记Y为该店每日的利润(单位：元)，求Y和X的函数关系式；
(3)以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7 000元的概率．
13．(2025·山东德州模拟)在一次体育赛事的志愿者选拔面试工作中，随机抽取了200名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0．7，第一组和第五组的频率相同．
(1)利用该频率分布直方图，估计这200名候选者面试成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)从成绩在第四、五组的志愿者中，按分层随机抽样方法抽取10人，再从这10人中任选3人，在选出的3人来自不同组的情况下，求恰有2人来自第四组的概率．
1 / 5课后作业(六十四)
[A组　在基础中考查学科功底]
1．B　[将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为10×80%＝8，所以这组数据的80%分位数是第8个数与第9个数的平均值，即＝93.5．故选B．]
2．A　[由频率分布直方图可知众数为＝2.5，即x1＝2.5，平均数x2＝0.2×1.5＋0.24×2.5＋0.2×3.5＋0.16×4.5＋0.12×5.5＋0.04×6.5＋0.04×7.5＝3.54，显然第一四分位数位于[2，3)之间，则0.2＋(x3－2)×0.24＝0.25，解得x3≈2.208，
所以x33．B　[∵1 200×80%＝960，
∴小于103分的学生最多有960人，
则数学成绩不小于103分的学生至少有
1 200－960＝240(人)．]
4．A　[由＝4，得样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为2＋1＝2×4＋1＝9，由s2＝1，得样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的方差为4s2＝4．故选A．]
5．D　[∵s2＝＝10.2，n＝40，
∴＝10.2×40＝408．
若存在x＝55，则(x－)2＝(55－82)2＝729>408＝，
导致方差必然大于10.2，不符合题意．
∴55不可能是该班数学成绩．故选D．]
6．C　[由表格数据可知，成绩为91分、92分的人数为50－(12＋10＋8＋6＋5＋3＋2＋1)＝3，
成绩为100分的出现的次数最多，所以成绩的众数为100，
成绩从小到大排列后处在第25、26位的两个数都是98分，所以数据的中位数为98，
所以中位数和众数与被遮盖的数据无关．故选C．]
7．BD　[取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为＝，故A，C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确．故选BD．]
8．BC　[对于A，由10×80%＝8，所以样本数据的第80百分位数为，故A错误；
对于B，由题意存在这样一种可能，若x1＝x2≤x3≤…≤x10，
则极差为x10－x1＝x10－x2，此时样本数据的极差不变，故B正确；
对于C，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如图．
由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，
此时平均数大于中位数，故C正确；
对于D，将组中的每个数据变为原来的2倍，所得的新样本数据组的方差变为原数据组方差的4倍，故D错误．故选BC．]
9．甲　[甲的平均数为＝(10＋8＋9＋9＋9)＝9，
乙的平均数为＝(10＋10＋7＋9＋9)＝9，
甲的方差为＝[(10－9)2＋(8－9)2]＝，
乙的方差为＝[(10－9)2×2＋(7－9)2]＝，
∵＝，∴甲、乙的平均水平相同，
，∴甲的成绩稳定，故甲入选．]
10．7或8或9或10(填上述4个数中任意一个均可)
[7，6，8，9，8，7，10，m，若去掉m，该组数据从小到大排列为：6，7，7，8，8，9，10，则7×0.25＝1.75，故第25百分位数为第2个数即7，所以7，6，8，9，8，7，10，m，第25百分位数为7，而8×0.25＝2，所以7为第2个数与第3个数的平均数，所以m(1≤m≤10)的值可以是7或8或9或10．]
11．解：(1)因为身高在区间[185，195]的频率为0.008×10＝0.08，频数为4，所以样本量n＝＝50，m＝0.008×10×50＝4，p＝0.04×10×50＝20，q＝50－4－20－6－4＝16，所以身高在[165，175)的频率为＝0.32，小矩形的高为0.032，所以身高在[175，185)的频率为＝0.12，小矩形的高为0.012，由此补全频率分布直方图．
样本的身高均值为(150×0.008＋160×0.04＋170×0.032＋180×0.012＋190×0.008)×10＝167.2，所以由样本估计总体可知，该校高中生的身高均值为167.2 cm．
(2)把男生样本记为x1，x2，x3，…，x25，其均值为，方差为，把女生样本记为y1，y2，y3，…，y25，其均值为总样本均值记方差记为s2，所以＝＝＝165，s2＝＋()2]}＝×(16＋25)＋×(20＋25)＝43．
(3)两种方案总样本均值的差为167.2－165＝2.2，所以用方案二总样本均值作为总体均值的估计不合适，原因是没有进行等比例的分层随机抽样，每个个体被抽到的可能性不同，因此代表性较差．
[B组　在综合中考查关键能力]
12．解：(1)由题意，8＋8＋16＋24＋a＋48＋32＝160，解得a＝24．
因为＝0.5，＝0.8，
所以第65百分位数在区间[1.0，1.2)上，
则第65百分位数为1.0＋0.2×＝1.1．
画出频率分布直方图如图所示．
(2)由题意知，当X≥10 000时，Y＝(15－5)×1 000＝10 000元，当X＜10 000时，Y＝×(15－5)－×5＝1.5X－5 000，
所以Y＝
(3)记销售的利润不低于7 000元的事件为A，则人数X≥8 000，
此时P(A)＝＝0.65．
13．解：(1)因为第三、四、五组的频率之和为0.7，
所以×10＝0.7，解得a＝0.005，
所以前两组的频率之和为1－0.7＝0.3，即×10＝0.3，解得b＝0.025，
估计平均数为50×0.05＋60×0.25＋70×0.45＋80×0.2＋90×0.05＝69.5．
(2)成绩在第四、五两组的频率之比为0.02∶0.005＝4∶1，
按分层随机抽样抽得第四组志愿者人数为10×＝8，第五组志愿者人数为10×＝2，
记事件A为“选出的3人来自不同组”，记事件B为“恰有2人来自第四组”，
故A∩B＝B，
其中P＝，P＝P(B)＝，
P＝＝＝．
所以在选出的3人来自不同组的情况下，恰有2人来自第四组的概率为．
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